1. В одной системе координат схематично изобразить графики функций:
y= x 2;
y= 3 x 2;
y=0,5x 2.
2. В системе координат схематично изображён график функции у = ах 2 (рисунок 1). Нарисовать в этой же системе координат график функции y = - ах 2.
3. В одной системе координат схематично изобразить графики функций:
у = - 3 х 2;
у = - 3х 2 + 2.
4. В одной системе координат схематично изобразить графики функций:
У = 3 х 2;
у = 3(х + 4)2
5. В системе координат схематично изображен график функции у = 0,5х 2 (рисунок 2). С помощью параллельных переносов построить в той же системе координат график функции у = 0,5 (х + 3)2 - 2 .
6. Построить график функции у = 2 х 2 + 8 х + 2. .
7. Изобразить схематично параболу, точно указав на координатной прямой лишь нули квадратного трёхчлена и с её помощью определить и записать промежутки, являющиеся решениями неравенства 5х 2 +9х -2 < 0.
_____|___________|_________x
8. Найти область определения функций у = (16 -24 х + 9 х 2)1/2 /(х + 2).
9. Решить методом интервалов неравенство: х (х -0,5) (х + 9) >0.
10. Решить методом интервалов неравенство: (х + 10)(х -7)/(х-1)>0.
Карточки-подсказки.
| Карточка 1(к 1 и 2 заданию). График функции у = а х 2. |
1. a>0; а =1; а = 2; а =1/2.
Во всех этих случаях получаются параболы, симметричные относительно оси ординат и расположенные целиком в верхней полуплоскости. Ветви параболы направлены вверх (рисунок 3).
Чем больше а, тем круче ветви параболы.
2. а<0; a = -1; a = -2; a = -1/2.
Во всех этих случаях получаются параболы, симметричные относительно оси ординат и расположенные целиком в нижней полуплоскости. Ветви параболы направлены вниз (рисунок 4).
3. Пострить графики функций: у = 4х 2; у = 1/4 х 2; у = - 4х 2.
| Карточка 2 (к 3 заданию). График функции у = а х 2 +n. |
1. График функции у = а х 2 + n является параболой, которую можно получить из графика функции у = а х 2 с помощью параллельного переноса вдоль оси у
на n единиц вверх, если n>0 (рисунок 5), или
на - n единиц вниз, если n<0 (рисунок 6).
2. Построить графики функций:
а) у = ? х 2 – 3; б) у = 2 х 2 + 4; в) у = - х 2 +5.
Запомни!
а) a>0 ,n>0 (рисунок 7),
б) a>0 ,n<0 (рисунок 8),
в) a<0 ,n>0 (рисунок 9),
г) a<0 ,n<0 (рисунок 10).
| Карточка 3 (к 4 заданию). График функции у = а (х – в)2 |
1. Графиком функции у = а (х – в) 2 является парабола, которую можно получить из графика функции у = а х 2 с помощью параллельного переноса вдоль оси х.
а) на в единиц вправо, если в > 0 (рисунок 11);
б) на – в единиц влево, если в < 0 (рисунок 12).
2. Построить графики функций:
а) у =1/2 (х – 2)2; б) у = 2(х+3)2; в) у = (х-5)2 .
Запомни!
а) а>0; в>0 (рисунок 13),
б) a>0; в<0 (рисунок 14),
в) a<0; в >0 (рисунок 15),
г) a<0; в <0 (рисунок 16).
| Карточка 4 (к 5 заданию). График функции у = а (х – m)2 +n |
1. График функции у = а (х- m)2 +n можно получить из графика функции у = а х 2 с помощью двух соответствующих параллельных переносов. В результате перемещения получается парабола с вершиной в точке, координаты которой равны (m;n).
2. Рассмотрите график функции у = 2(х – 1)2 – 2 (рисунок 17).
3. Построить графики функций:
а) у = 1/2 (х -1)2 + 3;
б) у = 2(х -1)2 -3;
в) у = 1/2 (х + 1)2 -1.
| Карточка 5 (к 6 заданию). График функции у = а х 2 + в х +с |
1. Графиком функции у = а х 2 +в х + с является парабола, вершиной которой является точка (m; n), где m = -в/(2а) ,n =(- в 2 + 4ас)/(4а).
Осью симметрии параболы служит прямая х = m, параллельная оси у.
При a > 0 ветви параболы направлены вверх,
при a < 0 – вниз.
2. Чтобы построить график квадратичной функции, надо:
1) найти координаты вершины параболы (m;n);
2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе;
3) соединить отмеченные точки плавной линией.
3. Построить графики функций:
а) у = -2х2 + 1;
б) у = -3х 2 + 8х + 3;
в) у = 2х2 - 3х + 2;
г) у = -3х2 + 2х – 1.
| Карточка 6 (к 7 заданию). Решение неравенств второй степени с помощью графика. |
Для решения неравенств а х 2 + в х + с >0 и а х 2 + в х +с<0 поступают следующим образом:
- находят дискриминант квадратного трёхчлена и выясняют, имеет ли трёхчлен корни;
- если трёхчлен имеет корни, то отмечают их на оси х и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой направлены вверх при а > 0 или вниз при а < 0;
- если трёхчлен не имеет корней, то схематически
изображают параболу, расположенную в верхней
полуплоскости при а > 0 или в нижней при a < 0;
находят на оси х промежутки, для которых точки параболы расположены
выше оси х (если решают неравенство а х 2 + в х + с >0) или ниже оси х (если решают неравенство ах 2+ в х + с<0).
Решите неравенство:
а)2х2 - 7х + 6>0;
б) – х 2 + 8х – 16<0;
в)1/2х2 - 3/2х + 2 >0;
г) – х 2 + 8х – 16>0;
д) 1/2х2 -3/2х + 2<0.
| Карточка 7 (к 9 заданию). Решение неравенств методом интервалов. |
Функция задана формулой f(x)=(x – x1)(x – x2). . . . (x – x n ), где х– переменная, а х 1, х 2 ,…,х n - не равные друг другу числа.
Числа х 1,х 2,…. ,х n являются нулями функции.
В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль её знак изменяется.
Пример: Решить неравенство (3х + 2)(5 – х)>0.
Преобразуем неравенство: - 3 (х +3/2) (х – 5) > 0 ( вынесем за скобки множители 3 и -1) (х +3/2)(х – 5)<0.
Рассмотрим функцию f(x)=(x + 3/2)(x – 5).
Найдём нули функции: х 1 = -3/2 и х 2= 5.
Найдём знаки этой функции в каждом из промежутков (-~;-3/2)v(-3/2;5)v(5;~).
Для этого достаточно знать, какой знак имеет функция в одном из этих промежутков, и, пользуясь свойством чередования знаков, определить знаки во всех остальных промежутках. При этом удобно начинать с крайнего справа промежутка (5;+~), т. к. в нём значение функции f(x) положительно.
+
-
+ ______|_______|______ -1,5
5
Множеством решений неравенства являются объединение промежутков
(-~;-1,5)v(5;+~).
Решить неравенство:
а) (7х – 21)(х – 8,5)<0;
б) (х + 3)(7,8 – х)<0.
Чем больше а, тем круче ветви параболы.
2. а<0;а = -1; а = -2; а = -1/2.
Во всех этих случаях получаются параболы, симметричные относительно оси ординат и расположенные целиком в нижней полуплоскости.