“Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случая сделать его немного занимательным”.
Б. Паскаль
Теоретический материал к теме
Важным элементом этого занятия служит
жизненно-наглядное представление о больших
числах. Это необходимо для того, чтобы конкретнее
представлять многие сведения из географии,
биологии, истории, физики и т.д. С большими
числами часто приходиться встречаться и в
повседневной жизни. Поэтому занятие полезно
начинать с известной легенды о награде
изобретателю шахматной игры.
Шахматная игра была придумана в Индии. По
преданию, индийскому принцу Сираму, эта игра
очень понравилась, и он захотел щедро наградить
ее изобретателя. Посмотрим, что из этого
получилось.
Легенда о шахматной доске
Действие 1
Царь (сидит за шахматной доской). Замечательно, замечательно! Я восхищен. И эту игру изобрел мой подданный! (к слуге) Позвать изобретателя сюда, я хочу наградить его за удачную выдумку.
Слуга удаляется, а затем выходит с изобретателем.
Я желаю достойно вознаградить тебя за прекрасную игру, которую ты придумал. Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание. Найди награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее. (Изобретатель молчит). Не робей! Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы его исполнить.
Изобретатель. Велика доброта твоя, повелитель. Я рад, что ты вознаграждаешь меня. Вот мое желание, повелитель. Прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.
Царь. Простое пшеничное зерно?
Изобретатель. Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать два зерна, за третью – четыре, за четвертую – восемь, за пятую шестнадцать, за шестую – тридцать два …
Царь (раздраженно). Довольно! Ты получишь свое зерно за все шестьдесят четыре клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвойне больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моей милостью. Ступай, слуги мои вынесут тебе мешок с твоей пшеницей.
Изобретатель, улыбаясь, уходит.
Действие 2
Царь (слуге). Унес ли безрассудный изобретатель свою награду?
Слуга. Повелитель, приказание твое исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен.
Царь. Медленно, очень медленно. Быстрей, быстрей!
Действие 3
Царь (слуге). Давно ли изобретатель со своим мешком пшеницы покинул дворец?
Слуга. Повелитель, математики твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить подсчет.
Царь (гневно). Почему медлят с этим делом? Завтра, прежде чем я проснусь, все до последнего зерна должно быть выдано изобретателю. Я дважды не приказываю.
Действие 4
Слуга (входит). Повелитель, старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение.
Царь. Введите его.
Слуга удаляется и вводит старшину.
Царь. Прежде, чем скажешь о своем деле я желаю услышать, выдана ли наконец изобретателю та ничтожная награда, которую он себе назначил?
Старшина. Ради этого я осмелился явиться перед тобой в столь ранний час. Мы добросовестно исчислили все количество зерен. Число это так велико…
Царь (надменно). Как бы велико оно ни было, житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана.
Старшина. Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные пожелания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, какое потребовал изобретатель. Нет его и житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. И если желаешь все же выдать награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыни. Пусть все пространство их будет засеяно пшеницей. И все, что родится на этих полях, прикажи отдать изобретателю. Тогда он получит свою награду.
Царь (с изумлением). Назови же мне это чудовищное число.
Старшина. 18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551 тысяча 615 (развертывается свиток, на котором написано число 18 446 744 073 709 551 615). Изобретатель сказал, чтобы ему в награду дали столько пшеничных зерен, сколько получится в сумме, если:
За 1-ю клетку – 1 зерно,
За 2-ю клетку – 2 зерна,
За 3-ю клетку – 4 зерна,
За 4-ю клетку – 8 зерен,
За 5-ю клетку – 16 зерен,
За 6-ю клетку – 32 зерна,
За 7-ю клетку – 64 зерна,
За 8-ю клетку – 128 зерен,
За 9-ю клетку – 256 зерен,
За 10-ю клетку – 512 зерен,
За 11-ю клетку – 1024 зерна,
За 12-ю клетку – 2048 зерен,
За 13-ю клетку – 4096 зерен,
За 14-ю клетку – 8192 зерна,
За 15-ю клетку – 16384 зерна,
За 16-ю клетку – 32768 зерен,
и т.д. (написано на доске).
Мы видим, что число зерен стало очень быстро
увеличиваться. Полный подсчет показывает, что
изобретателю надо было выдать за все 64 клетки
18 446 744 073 709 551 615 зерен.
Для чтения этого числа надо знать, что пятый
класс носит название “триллионы”, шестой класс
– “квадриллионы”, седьмой класс –
“квинтиллионы”.
Но награда в таком размере не была выдана
изобретателю, т.к. у царя не нашлось такого
количества зерна, которое попросил
шутник-ученый.
Математики подсчитали, что все это зерно будет
иметь массу около 700 млрд. т. Если его рассыпать
по всей земной суше, то образовался бы слой
толщиной около 1 см. Конечно, это число очень
большое, а как велико число миллиард? миллион?
В классе.
1. Сколько времени потребуется человеку, чтобы сосчитать миллиард зерен, если он в минуту будет считать по 100 зерен?
Решение:
1 000 000 000 : 100 = 10 000 000 (мин)
10 000 000 : 60 = 166 667 (ч) ~ 170 000 (ч)
170 000 : 24 ~ 7 000 (суток)
7 000 : 365 ~ 16 (лет) беспрерывного счета. Если же
человек будет считать по 8 ч в день, то ему
понадобится около 50 лет. Если же учитывать, что
человек не может считать с такой скоростью, то
ему понадобится еще больше времени.
2. В России проживает около 150 млн. человек. Если все люди встанут в шеренгу, то какой длины будет эта шеренга? (Пусть каждый человек занимает месть длиной 50 см). Сравнить длину этой шеренги с длиной Земного экватора.
Решение:
150 000 000 · 50 = 7 500 000 000 (см) =
75 000 000 (м) = 75 000 (км)
75 000 > 40 000 км, т.к. длина Земного экватора
около 40 тыс. км.
3. Самая высокая гора на Земле – Джомолунгма. Ее высота 8848 м. Сколько этажей имел бы дом высотой в эту гору, если считать, что расстояние между этажами 4 м?
Решение:
8 848 : 4 = 2 212 (этажей).
В заключение приведем несколько интересных сведений:
- радиус Земли – 6 400 км.
- площадь земного шара – 510 млн. кв. км.
- среднее расстояние от Земли до Солнца – 150 млн. км.
- диаметр нашей Галактики – 85 тыс. световых лет
- 1 световой год = 9 трлн. 500 млрд. км.
- Примерно 1 млн. дней минул со дня открытия первых Олимпийских игр в Древней Греции (776 г. до н.э.)
- С начала нашей эры прошло более миллиарда секунд.
Домашнее задание
1. Попробуйте подсчитать, сколько дней вы прожили, сколько километров (приблизительно) прошагали. Задумайтесь об этих числах.
2. От Земли до Марса около 60 млн. км. Сколько времени придется лететь на ракете от Земли до Марса, если скорость ракеты будет 10 км/с? Сколько времени потребовалось бы самолету, летящему со скоростью 1 000 км/ч, чтобы пролететь это расстояние?
3. Узнайте какова заработная плата у вашего папы и подсчитайте сколько лет ему надо проработать, чтобы подарить вашей маме 1 000 000 алых роз, на ее день рождения (стоимость 1 розы 130 руб.)?