Цель работы: создание тренировочной программы по геометрии (раздел стереометрии, тема ”Вписанные тела”) для учеников 10-11 классов, помогающей разобраться в данной теме и способствующей закреплению знаний и развитию абстрактного мышления ученика.
Работа состоит из семи нестандартных задач на тему “Вложенные тела”. К каждому заданию прилагается рисунок. Перед тем, как ученик начнёт решать задачу, он может ознакомиться с её кратким описанием. Имеются также опорные пункты, своего рода план решения данной задачи, с помощью которого учащемуся будет проще понять структуру задачи и продумать ход решения.
Решение сложных стереометрических задач зачастую сводится к планиметрии. Учитывая этот факт, в работе приводятся выносные чертежи (где это необходимо), с помощью которых сложные для понимания объёмные изображения, переложенные на плоскость, становятся более доступными и понятными.
Проект может помочь не только научиться решать трудные стереометрические задачи, но и проверить себя (в том случае, если учащийся уже знаком с подобными заданиями).
Воспользовавшись наглядным чертежом, ученик может самостоятельно решить задачу, а затем проверить правильность ответа, сравнить ход решения, а также (что очень важно для абитуриента) проследить за оформлением задачи.
Задача №1
Дано: ABCA1B1C1
– правильная треугольная призма, описанная
вокруг шара, AN = NB.
Найти:? 
Для решения этой задачи необходимо повторить:
Определение вписанного шара;
Определение описанной призмы;
Определение правильной треугольной призмы;
Свойство медиан равнобедренного треугольника;
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Решение.
Так как шар вписан в треугольную призму, следовательно, касается её верхней и нижней граней, поэтому диаметр шара будет равен ребру правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 (СС1 = d = 2r). Рассмотрим выносной чертёж:
В треугольнике A2B2C2 все стороны равны (т.к. по условию призма правильная), O2 – центр вписанной окружности. Пусть A2B2 = B2C2 = A2C2 = a , Z – точка касания окружности стороны С2A2 треугольника A2B2C2, тогда O2Z – радиус данного шара. Рассмотрим прямоугольный треугольник B2C2Z:
B2C2 = a ( по построению);
B2Z = a/2 ( по свойству медиан в равнобедренном треугольнике);
(по
теореме Пифагора), следовательно,
Рассмотрим треугольник С1СN
(прямоугольный, т.к. 
): 
, 
(искомый), тогда 
.
Рассмотрим треугольник ABC: т.к. AN=NB
(по условию), то CN является высотой этого
треугольника и, значит, 
Отсюда 
. Следовательно, 
.
Ответ: .
Задача №2
Дано: SABC - треугольная пирамида, N
– центр описанного шара, AB = BC = AC = 
, AS
перпендикулярен (ABC), AS = 8, 
.
Найти: радиус шара Rш.
Задача №3
Дано: ABCDA1B1C1D1 –правильная четырёхугольная призма. O – центр описанного шара, AA1 = 1, AD = 2.
Найти: объем шара Vш.
Задача № 4
Дано: ABCA1B1C1
– правильная треугольная призма, O – центр
описанного шара, Rш = 5. AA1 = 8, 
, 
.
Найти: ON.
Задача №5
Дано: DABC – правильная треугольная пирамида, O – центр вписанного шара, M – точка касания вписанного шара. DO:OO1 = 2:1.
Найти: 
.
Задача №6
Дано: SABCD – правильная четырёхугольная пирамида, O1 – центр описанного шара, AM = MS.
Доказать: SA·SM = SO1·SO.
Задача №7
Дано: ABCA1B1C1
– прямая треугольная призма, O – центр
описанного шара, Rш = 5; CC1 = 8; 
.
Найти: AB.
Полный текст работы, содержащий решения всех задач, находится в файле Приложение1.