Урок по алгебре и началам анализа в 10-м классе (углублённое изучение) по теме "Применение свойства ограниченности функций при решении уравнений"

Тема урока: Применение свойства ограниченности функций при решении уравнений.

Цели:

• познакомить учащихся с нестандартными методами решения уравнений;
• формировать умения анализировать, обобщать, использовать знания в нестандартных ситуациях;
• воспитывать целеустремленность, взаимоуважение;
• формировать навыки коллективного труда.

Основная форма работы на уроке: групповая.

Подготовка к уроку:

1. Класс разбит на четыре группы по 5-6 человек, в каждой группе выбран консультант, который организует работу группы, оценивает каждого члена группы.
2. Карточка-задание. (Приложение 1)
3. Сообщение по теме “Использование ограниченности тригонометрических функций sinx, cosx при решении уравнений” (материал готовится двумя учащимися за неделю до урока).

План урока:

1. Организационный момент.
2. Повторение теоретического материала.
3. Поиск методов решения уравнений.
4. Решение уравнений.
5. Знакомство с методами решения равнений, в которых используется ограниченность тригонометрических функций.
6. Подведение итогов. Задание на дом.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Повторение теоретического материала:

• Какую функцию называют ограниченной снизу на множестве Х? (Функцию f называют ограниченной снизу на множестве Х, если существует такое число М, что на Х выполняется неравенство f(x) М)
• Какую функцию называют ограниченной сверху на множестве Х? (Функцию f называют ограниченной снизу на множестве Х, если существует такое число М, что на Х выполняется неравенство f(x) М)
• Какую функцию называют ограниченной на множестве Х? (Функцию, ограниченную на Х и снизу и сверху, называют ограниченной на этом множестве).

Устные упражнения:

Найдите множество значений функции. Определите, является ли функция ограниченной.

1. 

(, функция f(x) является ограниченной на множестве R).

2. 

(, функция f(x) является ограниченной сверху на множестве R).

3. 

(, функция f(x) является ограниченной снизу для всех х -1).

4. 

(t(x) – сложная функция, пусть t(g) – определена, когда 0g1, следовательно, и t(x) является ограниченной для всех ).

3. Изучение новых методов решения уравнений.

На доске записано уравнение:

Перед учащимися ставится задача: Как, используя свойство ограниченности функций, можно решить данное уравнение?

Деятельность учащихся. Учащиеся в группах приступают к обсуждению методов решения уравнения. Задача каждой группы – выработать план решения уравнения. Когда большинство групп закончили микродискуссию, приступаем к обсуждению плана решения уравнения, записываем его на доске:

1. Рассматриваем функции и , стоящие в левой и правой частях уравнения;
2. Находим область значений каждой функции: для всех действительных х, g(x) 0 для всех х-1. Имеем f(x)0, g(x)0 всех х-1.
3. Отвечаем на вопрос: Когда возможно равенство f(x) = g(x)?

(f (x) = g(x) при f (x) = 0 и g(x) = 0).

4. Определяем, какое число является корнем уравнения.

(g(-1) = 0, f (-1) = 0, следовательно, х = -1 – корень уравнения)

Ответ: -1.

(В процессе обсуждения ребята предлагают и другой способ решения: графический)

4. Решение уравнений:

Решение каждого уравнения обсуждается в группе, затем представитель одной из групп записывает решение на доске.

1.

Пусть ,а .

,

Имеем , следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

2.

Пусть .

,

f(x)=g(x) при f(x)= –1 и g(x)= –1.

, следовательно, х=3 – корень уравнения.

Ответ: х =3.

3.

Пусть f(x)=6 arccos (5x – x² – 5,75), a

а) ,

, функция arccos() определена, если -1 (х) 0,5, тогда ;

;

б)

;

;

;

;

;

.

в) , следовательно, равенство f(x) = g(x) возможно при .

.

Найдем

Таким образом, x=2,5 – корень уравнения.

Ответ: 2,5

5. Сообщения, подготовленные учащимися.

Первый учащийся:

При решении некоторых алгебраических уравнений используется ограниченность именно тригонометрических функций sin x и cos x.

Решим уравнение:

ОДЗ.

Воспользуемся тем, что и выполним подстановку .

Так как .

,

.

Условию удовлетворяют

; .

Ответ: .

Второй учащийся:

Сколько корней на отрезке имеет уравнение 8x(1– 2x²)(8x⁴ – 8x 2 + 1)=1?

По условию корни должны принадлежать отрезку , поэтому, учитывая, что при , выполним подстановку .

Заметим, что х=0, х=1 не являются корнями данного уравнения, поэтому .

Умножим обе части уравнения на (, т.к. )

или

Промежутку принадлежат .

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

6. Подведение итогов. Задание на дом. (№ 5-8 из карточки).