Цель математического образования: развитие навыков оперирования с числами и фигурами, пространственного воображения, логического мышления - словом, развитие интеллекта. Ничто не может способствовать этому лучше, чем математика, поэтому система работы учителя должна быть направлена на развитие учащихся: их мировоззрения, креативных способностей, познавательной активности. Обучение для всех должно быть интересным, увлекательным, но особо значимым для тех, кто действительно испытывает удовольствие от поиска истины, от красоты самой математики. Преподавание ее в профильных классах или углубленное изучение в классах физико-математической направленности заставляют учителя постоянно пересматривать арсенал средств обучения и воспитания, выбирая наиболее эффективные формы.
Особого внимания заслуживает система обобщающих лекций по основным темам курсов “Алгебра” и “Геометрия”, которые необходимы для целостного восприятия математических знаний. Урок-лекция - это, прежде всего, приобщение школьников к исследовательской деятельности на учебном материале. Подготовлен и проведен он должен быть так, чтобы, с одной стороны, был обеспечен научный уровень излагаемого материала, а с другой стороны, его доступность. Школьная лекция имеет свою структуру, в ней обычно выделяются три части: введение, основная и заключительная части”. Каждая часть имеет свою задачу и способы ее решения. Вступительная часть выполняет несколько функций: а) заинтересовать учащихся и создать положительный эмоциональный настрой; б) показать значимость темы и выдвинуть проблемы; в) установить логические связи с изученным материалом и тем, что будет рассматриваться. Основная часть включает: а) теоретические положения с подробными доказательствами; б) практические задания, подтверждающие их. В процессе работы создается широкое информационное поле, роль учителя – включить учащихся в активное слушание, понимание, побуждающее критически мыслить, анализировать, делать самостоятельные выводы и обобщения, а также соответствующие записи.
Очевидны следующие требования к школьной лекции:
- Лекция должна быть интересной и для учащихся, и для учителя.
- Ее научный уровень должен соответствовать уровню развития учащихся.
- Важно, чтобы лекция была обучающей, развивающей и воспитывающей.
- Тема лекции естественным образом вытекает из ранее изученного, и быть траекторией к последующему.
- Лекция должна быть емкой, целостной, размерной, ритмичной, обстоятельной.
- Главные мысли нужно повторить несколько раз, выписать аккуратно на доске и законспектировать.
Предлагаю конспект обобщающих лекций в 9 физико-математическом классе, которые проводятся после изучения тем “Уравнения с двумя переменными и его график” в курсе “Алгебра” и “Окружность Аполлония. Эллипс. Гипербола. Парабола.” в курсе “Геометрия”.
Тема лекции: Аналитические и геометрические обобщения кривых II-го порядка (на примере эллипса, гиперболы, параболы).
Методическая карта
Предмет – Геометрия
Класс – 9
Профиль – физико-математический
Учитель – Волкова Елена Михайловна, учитель математики ЦООД “Элистинский лицей”
Цели:
Образовательная:
- систематизировать и обобщить понятия
канонических уравнений эллипса, гиперболы и
параболы, используя термин “отношение
расстояний до прямой l и точки
есть
постоянное число k”, показав историческую
значимость данного открытия в геометрии; - показать (в дальнейшем выработать в устойчивый навык) процесс построения кривых II-го порядка пользуясь геометрическими преобразованиями;
- познакомить учащихся с методами распознавания ГМТ, координаты которые удовлетворяют общему уравнению второго порядка с двумя переменными.
Развивающая: расширить и углубить изучение различных видов кривых, соответствующих общему уравнению кривых II-го порядка, разнообразными методами.
Воспитательная: показать значимость изучаемой темы на стыке двух разделов математики алгебры и геометрии, их широкую применяемость в черчении, физике, информатике.
Используемые методы обучения – Их применение
- Объяснительно-иллюстрационный – Построение кривых II-го порядка.
- Обобщения, аналогии и сравнения – Анализ общего уравнения кривых II-го порядка.
- УДЕ – Создание ключевых задач, аналогия изображений на плоскости и пространстве.
- Интегрированный – Сопоставление разделов алгебры и геометрии.
Формирование общеучебных умений и навыков:
- Выделение существенных признаков изучаемых объектов на основе анализа и сравнения.
- Выработка практических навыков построения правильных эстетических чертежей.
- Используемые методы работы с аудиторией: работа в диалоговом режиме.
- Психологические аспекты урока
- Создание комфортной рабочей атмосферы;
- Побуждение к активной диалоговой деятельности.
Введение
В математической литературе нередко встречаются задания с формулировкой: “Постройте график уравнения …”, “Какую фигуру задает на координатной плоскости график уравнения…” и т.д. В частности, если многоточие заполнить уравнением первой степени с двумя переменными вида ax+by+c=0, где хотя бы один из коэффициентов a или b отличен от нуля, то его графиком является прямая, а если уравнением вида (x-a)2+(y-b)2=R2, то окружность с центром в точке с координатами (a; b) и радиусом R.
Поставим задачу: Выяснить, каким может быть график уравнения с двумя переменными второй степени общего вида, т.е. ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0, где хотя бы один из коэффициентов a, b или c отличен от нуля. Или точнее, какие геометрические образы ему соответствуют?
Таким образом, мы сформулируем тему лекции: “Аналитические и геометрические обобщения кривых II-го порядка (на примере эллипса, гиперболы, параболы)”.
Обозначим основные проблемы:
- обобщение определений канонических уравнений кривых II порядка;
- способы построения эллипса и гиперболы методом равномерного сжатия;
- распознавание линий второго порядка по их уравнениям.
Для их достижения цели необходимо выбрать определенную стратегию, считаю наиболее приемлемой – интегрирование (синтез) разделов алгебры и геометрии.
I этап – Взгляд в историю.
“Замечательные кривые”
Древнегреческие ученые знали лишь несколько линий, отличных от прямых и окружностей; большинство из них они изучали в связи с тремя знаменитыми задачами древности: об удвоении куба, о трисекции угла и о квадратуре круга. Дошедшая до нас древняя легенда гласит: “Во время страшной эпидемии чумы дельфийского оракула спросили, как умилостивить богов, чтобы они умерили свою ярость. Ответ гласил, что недовольство богов вызвано размерами алтаря, на котором приносят жертвы, боги требуют возвести новый алтарь, вдвое большего объема”. Старый алтарь имел форму куба. Один невежественный стихотворец решил, что достаточно увеличить все его размеры в два раза, чтобы воля богов оказалась выполнимой, он даже воспел в своей поэме новый алтарь. Над невежеством стихоплета смеялись все, поскольку древним грекам было хорошо известно, что если сторону куба увеличить в два раза, то его объем возрастет в восемь раз.
Если обозначить сторону старого куба через 1, а
нового – через х, то их объемы равны
соответственно 13 и х3. “Воля богов”
состояла в том, чтобы найти такое х, при котором 
, т.е. 
.
Попытки ученых решить делосскую задачу с помощью
циркуля и линейки, т.е. построить отрезок, длина
которого равна 
, к успеху не привели, ибо они
пользовались методом геометрических мест, т.е.
описывали условия, при которых множество точек
образуют нужную кривую. Эти теоретические
решения воспринимались с восхищением, поскольку
требовали огромного умственного труда.
Полное решение этой задачи оказалось возможным только в IV в. до н.э. Геометр МЕНЕХЕМ предложил использовать для этой цели конические сечения.
Рассмотрим конусы вращения трех типов в зависимости от величины угла при вершине конуса: тупого, прямого и острого, при этом секущую плоскость станем направлять перпендикулярно образующей. Тогда в первом случае мы получим кривую – гиперболу, во втором – параболу, в третьем – эллипс. (См.Рис.1).
Современные школьники легко решают делосскую
задачу с помощью параболы и гиперболы, уравнения
которых им хорошо известны. Если сторону
удваемого куба принять за 1, то выбрав простейшие
уравнения параболы у=х2 и гиперболы 
.
Составив уравнение 
, получим . Наглядно (См.Рис.2) это означает,
что абсцисса точки пересечения данных кривых
является длиной искомого отрезка, т.е. стороной
удвоенного куба.
Основная часть
II этап – “Кривые второго порядка, их аналоги в пространстве”.
В геометрии мы познакомились с каноническими
уравнениями параболы 
,
эллипса 
, гиперболы 
,
используя метод координат в соединении с алгеброй. Этот раздел геометрии называется аналитической геометрией. Ее создателями являются знаменитые французские ученые Рене Декарт (1596 – 1650) и Пьер Ферма (1601 – 1665).
Эллипс, гипербола и парабола имеют много общих или очень похожих свойств.
Сформулируем и докажем общее утверждение:
Множество точек М, отношение расстояний которых
до прямой l и точки F, где 
, равно постоянному числу k,
есть:
- эллипс – при
; - гипербола – при
; - парабола – при
.
Доказательство. Введем систему координат, F(0;h)
Oy, l||Ox.
По определению уравнение множества точек М имеет вид
(*)
Пусть , тогда уравнение (*) примет вид 
, где
далее 
-
парабола.
Пусть 
. В этом случае 
Имеем 
;
Получили: 
.
Положим 
.
Получим:
- эллипс при :
- гипербола при
:
;
Сравним уравнения (2) и (3) с каноническими уравнениями эллипса и гиперболы.
Вопрос: Какое преобразование переводит уравнения (2) и (3) в (1)?
Ответ: Преобразование параллельного переноса, а в уравнении гиперболы еще необходимо поменять х на у.
III этап – Линии второго порядка как результат геометрических преобразований
Родство между этими кривыми имеет
алгебраическое объяснение: все они задаются
уравнениями второй степени. В любой системе
координат уравнения этих кривых имеют вид: ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0,
где a, b, c, d, e, f - числа, причем 
и именно в таком виде
предлагают построить графики некоторых
уравнений (в алгебре), а упростить этот
достаточно трудоемкий процесс помогает метод
преобразования координат.
Итак, реализуем идею “Построение эллипса с помощью геометрического преобразования окружности” (путем ее равномерного сжатия и параллельного переноса).
Работа с учащимися в диалоговом режиме.
| Учитель (задает вопросы, добивается верных ответов, выполняет чертеж на доске) | Учащиеся (заполняют конспект, отвечают на вопросы) |
| Задайте и изобразите в декартовой системе координат с центром в начале координат и радиусом R. | x2+ y2=R2 |
| Произведите равномерное сжатие этой окружности к вертикальному диаметру с коэффициентом k>0. | В процессе работы возникают вопросы |
| Какой вид примет уравнение окружности? | (необходимо добиться ответа) kx2+ y2=R2 |
| Как называется линия, задаваемая данным уравнением? | эллипс |
| Изобразите эллипс при k>1, 0<k<1. | работают в конспектах. |
На слайде, в конспектах появляются рисунки
| Какие свойства эллипса можно выделить? | а) центрально-симметричная фигура
относительно координатных осей, имеет две оси; б)
вокруг него описывается прямоугольник, который
является результатом сжатия квадрата, описанной
около окружности – это осевой прямоугольник
эллипса со сторонами |
Отсюда:
| Чтобы изобразить эллипс, надо научиться строить осевой прямоугольник |
Пример 1: Начертить график уравнения а) x2+ 4y2=9; б) 3x2+ y2= 7.
Запишем уравнение в виде:
| а) x2+ (2y)2=32 | б)  |
Выпишем основные характеристики:
 |
 |
Построим осевой прямоугольник со сторонами
 и  |
 и  |
Изображаем эллипс
Он получен равномерным “сжатием” окружности
| к оси ОХ | к оси ОУ |
Пример 2. Если центр эллипса находится не в
начале координат, но его оси параллельны
координатным осям, то он задается уравнением 
, где
С(а;в) – его центр. Изобразить эллипс 
.
Имеем, С(5;-4) – центр эллипса. Его основные
характеристики: 
, стороны осевого прямоугольника
4 и 6. Строим эллипс. (См. Рис.3)
Продолжим реализацию идеи.
Выясним, что представляет собой график
уравнения 
.
Перепишем уравнение в виде (х-у)(х+у)=l и введем
новые переменные 
, тогда в системе координат (u,v)
(где u – ось абсцисс, v – ось ординат), уравнение
примет вид 
- это гипербола, расположение ветвей
которой определяется знаком числа l.
Выясним, как расположены оси системы координат (u,v) в координатной плоскости (х,у).
Ось абсцисс OU – это множество точек, для которых v =0, т.е. х+у=0, у=-х.
Ось ординат OV – это множество точек, для которых u=0, т.е. х-у=0, у=х.
Значит, оси системы (u,v) – это биссектрисы координатных углов.
Найдем их направление. На оси OU выберем точку А(1;-1), тогда u=1-(-1)=2>0, т.е. принадлежит положительной полуоси.
Далее, В(1;1)
OV.
v=1+1>0, тоже принадлежит положительной полуоси.
Итак, преобразование переводит систему
координат (х,у) в систему (u,v), оси которой
повернуты на угол – 450, при этом уравнение принимает
вид ,
что равносильно 
(при u=0 имеем x-y=o и значит l=0), т.е.
получено изображение гиперболы.
- Точки пересечения гиперболы с осями координат
называются вершинами гиперболы. (При у=0 имеем х2=l,
значит l>0 и 
. При х=0 имеем у2=-l, значит l<0 и 
), т.е. 
-
координаты вершин гиперболы).
- Прямые у=х и у=-х называются асимптотами гиперболы.
- Если в вершинах гиперболы провести
касательные, то они пересекут ее асимптоты в
точках, которые будут вершинами квадрата. (Имеем 
).
Назовем этот квадрат осевым, а гиперболу
равнобокой. На слайде, в конспектах появляются
рисунки:
Пример 3. Построить график уравнения 
.
Заметим, что l=8>0, значит, вершины гиперболы
лежат на оси ОХ и имеют координаты 
и 
, осевой
квадрат со стороной 
, выберем дополнительные точки
х=4, у=
,
воспользуемся симметрией.
Работа с учащимися в диалоговом режиме
| Учитель | Учащиеся |
Что произойдет с гиперболой, если провести
равномерное сжатие к оси ОХ с коэффициентом k>0, k 1? Какое уравнение
получим?Осуществите параллельный перенос
гиперболы, задаваемой уравнением (**) на вектор |
Осевой квадрат преобразуется в осевой
прямоугольник, диагонали квадрата – в диагонали
прямоугольника, они будут ее асимптотами. Уравнение
k2x2-y2=l (**), где k2 k2(x-а)2-(y-b)2=l |
. Какой
вид примет уравнение?На слайде, в конспектах появляются рисунки
В качестве самостоятельного задания: Построить
гиперболу по ее уравнению 
.
IV Этап. Распознавание линий второго порядка по их уравнениям.
Постановка проблемного вопроса: Рассмотрим канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы (1): после выполнения преобразований, переноса всех слагаемых в левую часть мы получим уравнение следующего вида:
(*).
Часто приходится отвечать на вопрос: “Какая фигура является графиком уравнения?”
Его реализация:
Самой естественной и полезной схемой преобразования уравнения (*) является исключение полного квадрата по одной или двум переменым. Задание: По данному уравнению определить вид графика.
| Уравнение | Соответствующие преобразования | Вид графика | |
| 1 | х2+ у2-2х-4у-4=0 | (x2+2x+1)+(y2-4y+4)-9=0; (x+1)2+(y-2)2=9 |
Окружность |
| 2 | 4х2-8х+у2+2у-11=0 | 4x2- +4+y2+ +1-16=0; 4(x-1)2+(y+1)2=16 |
Эллипс |
| 3 | 4х2-8х-у2-2у-11=0 | 4x2-+4 - y2--1-14=0; 4(x-1)2-(y+1)2=14 |
Гипербола |
| 4 | y2-6y-x-7=0 | x=y2- +9-16=(y-3)2-16 |
Парабола с горизонтальной осью |
| 5 | 9x2-6x+y2+2y+2=0 | (9x2- +1)+ (y2+ +1)=0; (3x-1)2-(y+1)2=0 |
Точка с координатами  |
| 6 | х2-4у2=0 | (x-2y)(x+2y)=0 | Пара пересекающихся прямых |
| 7 | х2-2x-3=0 | (x+1)(x-3)=0 | Пара параллельных вертикальных прямых |
| 8 | y2-2y-3=0 | (y+1)(y-3)=0 | Пара параллельных горизонтальных прямых |
| 9 | 9x2-6x+y2+2y+3=0 | (3x-1)2+(y+1)2=-1 | Пустое множество |
Вывод: Общее уравнение второго порядка с двумя
переменными Ах2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0, где A2+B2+C2
0 представляет
следующие множества точек плоскости:
| Эллипс | Гипербола | Парабола |
при  ,  , F=-1,
B=D=E=0 |
при  ,  , F=-1,
B=D=E=0 |
при C=1, D=-2p, A=B=E=F=0 |
| Пара пересекающихся прямых | Две параллельные прямые | Пара совпавших прямых |
| a2x2-b2y2=0 при A=a2, C=-b2, B=D=E=F=0 | y2-a2=0 при C=1, F=-a2, A=B=D=E=0 | y2=0 при C=1, A=B=D=E=F=0 |
| Точка | Пустое множество | Пустое множество |
| a2x2+b2y2=0 при A=a2, C=b2, B=D=E=F=0 | 
при , , F=1, B=D=E=0 |
y2+a2=0 при C=1, F=a2 0, A=B=D=E=0 |
Заключение
Математики имеют обыкновение изучать вещи, кажущиеся совершенно бессмысленными, но проходят века и эти исследования приобретают огромную научную ценность. Вряд ли можно найти лучший пример этому, чем исследования древними греками кривых второго порядка. Вплоть до XVII века их исследования не имели практического приложения, но именно к этому времени был изобретен метод координат. Декарт, открыв его, сказал: “Я решил все задачи”, имея в виду геометрические задачи своего времени. Именно переводя геометрические понятия на язык координат, мы получаем возможность рассматривать алгебраические. Наглядный пример – задача об окружности Аполлония: “Найти геометрическое место точек М, отношение расстояний которых до данных точек А и В, постоянно”. Ее геометрическое решение помещено в трактате “О кругах” (II век до н.э.) и оно довольно сложно, а если ее перевести на язык координат, решение совсем доступно.
Интерес к коническим сечениям особенно возрос после того, как Галилей установил, что тело, брошенное под углом к горизонту, двигается по параболе, и Кеплер сформулировал законы движения планет, согласно которым они описывают эллипсы.
Изучение кривых второго порядка дало толчок развитию теорий алгебраических и механических кривых: лемнискаты, конхоиды, циклоиды, эпициклоиды, гипоциклоиды, кардиоиды и т.д. Изучение этих кривых, их свойств могут вылиться в интересные ученические исследовательские работы.
Предлагается дополнительная литература:
- Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Прямые и кривые. Изд-во “Наука”., М. – 1970.
- Гельфанд И.М., Глаголева Е.Г., Кирилов А.А. Метод координат. Изд-во “Наука”., М. – 1970.