Цель:
- закрепить понятие площади.
- вывести формулу площади правильного многоугольника.
- провести лабораторно-исследовательскую работу на тему: “Какой многоугольник имеет наибольшую площадь”.
Ход урока
Устно(5-7 минут). 1. Какая фигура изображена на рисунке? ( многоугольник)
Обсуждается с классом, что уже известно о многоугольниках:
а) какая фигура называется многоугольником;
б) виды многоугольников (выпуклый, невыпуклый, правильный, неправильные)
Определить на каждом рисунке вид многоугольника.
- В какую фигуру обычно вписывают многоугольники? (0кружность).
- Какой многоугольник называется вписанным? (Если все его вершины являются точками окружности).
- Какой многоугольник называется описанным? (Если все стороны многоугольника касаются окружности).
Мы уже на протяжении нескольких уроков изучаем площади различных четырехугольников и треугольника, а на этом уроке рассмотрим общий случай.
Как вычислить площадь произвольного многоугольника? Как вы думаете, площадь какого многоугольника проще всего посчитать?
Проведем лабораторно-исследовательскую работу.
Предлагаю изобразить невыпуклый, выпуклый неправильный, выпуклый правильный пятиугольник.
Как посчитать площадь каждого? Поскольку мы знаем, как вычисляются площади треугольника и четырехугольников, то есть предложение разбить каждый пятиугольник на известные нам фигуры.
Невыпуклый пятиугольник разбили на два разных треугольника, надо считать площадь каждого треугольника и складывать.
Выпуклый неправильный пятиугольник Аналогичное решение.
Правильный пятиугольник разбивается на равные треугольники. Достаточно найти площадь одного треугольника и умножить на их количество.
Значит проще всего находить площадь правильного многоугольника.
Но ученые не остановились на этом, они вывели формулу площади для правильного многоугольника. Эту теорему мы сейчас докажем.
Теорема. Площадь правильного многоугольника равна половине произведения периметра многоугольника на радиус вписанной окружности.
Дано: А1…….Аn - многоугольник правильный,
А1А2=А2А3=………=Аn-1Аn,
Все углы равны.
Доказать: S = 
Pr
Доказательство:
Правильный многоугольник делится на равные равнобедренные треугольники.
Рассмотрим треугольник A1OA2: угол А1ОА2-
центральный (как его вычислить?) 
.
Все треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Найдем площадь треугольника. Для этого проведем высоту. Эта высота будет радиусом вписанной окружности. Так как треугольники равнобедренные, то высота является медианой и биссектрисой.
S= h A1An.
Всего треугольников N штук.
S= hА1А2n=Pr. Что и
требовалось доказать
Вопросом о вычислении площади люди заинтересовались ещё с древнейших времен. Наиболее известная задача - это задача Дидоны.
Финикийская царица Дидона спасалась от своего брата, тирана Пигмалиона. Она отплыла из города Тира в 825 году до нашей эры. После долгого путешествия корабль пристал к берегам Африки. Дидоне понравилась земля. Она обратилась к местному предводителю нумидийцев Ярбу с просьбой продать кусок земли. Ярб заломил баснословную цену за клочок земли, который можно окружить бычьей шкурой. Но Дидона не растерялась и согласилась. Она расплатилась и отправилась отмерять землю. Сначала она разрезала шкуру так, что получился тонкий кожаный ремешок. Этим ремешком она окружила солидный участок земли, на котором обосновала впоследствии великий город Карфаген. Ярб был в ярости, так как его одурачили, но он был честным человеком и сдержал слово. Так гласит легенда. Но карфагенская цитадель называлась Бирса, что значит “бычья шкура”.
Итак, какую задачу так блестяще решила Дидона? Эта задача звучит так: “Какую наибольшую площадь можно окружить веревкой заданной длины?”
В геометрии эта задача звучит так: Какая геометрическая фигура с одинаковым периметром имеет наибольшую площадь?
Попытаемся и мы ответить на этот вопрос.
Проведем лабораторно-исследовательскую работу.
Класс разбивается на три группы. Каждая группа выбирает себе один из видов треугольника (разносторонний, равнобедренный, равносторонний). Р = 18см.
Задание каждой группе: вычислить площадь треугольника.
Здесь очень важно обратить внимание учеников на составление треугольника с данным периметром. (Должно выполняться условие, чтобы треугольник существовал, надо, чтобы сумма двух сторон были больше длины третьей стороны).
Пример. 1. Разносторонний треугольник. Р=18см.
а = 3, б = 8, с = 7, тогда S=
= 
=
= 6
.
а = 5, в=7, с= 6, тогда S= 
= 6
=
.
а =4, в=8, с=6, тогда S= 
= 
.
(приведены несколько примеров разносторонних треугольников с периметром 18см.)
Пример2. Равнобедренный треугольник, Р=18см.
а= 5, в=5, с=8, тогда S=
= 12 или
а=4, в=7, с=7, тогда S= 
=6
=
или
а=2, в=8, с=8, тогда S=
=
Пример3. Равносторонний треугольник.
а=в=с=6, тогда S= 
=
Из всех приведенных примеров видно, самая большая площадь получилась у равностороннего треугольника. Учащиеся при выполнении работы сами сравнивают получившиеся результаты каждой группы и делают вывод.
Может возникнуть вопрос: выполняется ли это для четырехугольников?
Учащимся предлагается тем же способом провести исследование для параллелограмма, прямоугольника, квадрата.
Пример1. Параллелограмм. Р=20см.
АВ= 1см, ВС= 9см, /_В= 30°, тогда S= 1*9*sin30°= 9*0,5=4,5см2
АВ= 2см, ВС= 8см, угол В=30°, тогда S= 2*8*sin30°= 16*0,5=8см2
АВ= 3см, ВС=7см, угол В=30°, тогда S= 3*7*sin30°=21*0,5=10,5см2
АВ=4см, ВС=6см, тогда S= 4*6*sin30°= 24*0,5=12см2.
Пример2. Прямоугольник. Р= 20см.
А= 1см, В= 9см, тогда S=9*1=9см2 или
А= 2см, В= 8см, Тогда S= 2*8=16см2 или
А=3см, В= 7см, тогда S= 3*7=21см2 или
А= 4, В= 6, тогда S= 4*6=24см2
Пример3. Квадрат. Р=20см.
А= 5см, тогда S=5*5=25см2
Вывод: здесь мы видим ту же картину наибольшая площадь у правильного четырехугольника то есть у квадрата.
Учащиеся делают заключение: наибольшую площадь будет иметь правильный многоугольник.
А если у этого многоугольника бесконечно много сторон, то он будет похож на окружность. Следовательно, максимальную площадь занимает круг. Как посчитать площадь круга вы узнаете на следующем уроке.