Цели, преследуемые решением занимательных (нестандартных) задач.
“Ни один наставник не должен забывать,
что его главнейшая обязанность состоит
в приучении воспитанников к умственному
труду и что эта обязанность более важна,
нежели передача самого предмета”
К.Д. Ушинский.
“Знание только тогда знание, когда оно
приобретено усилиями твоей мысли, а не памяти”.
Л.Н. Толстой.
Что может заставить младшего школьника задуматься, начать размышлять над тем или иным математическим заданием, вопросом, задачей, когда эти задания не обязательны для него? Во всяком случае не принуждение? Не всегда могут активизировать мысль ученика и словесные просьбы и убеждения.
Основным источником побуждения младшего школьника к умственному труду может послужить интерес. Привлечь внимание детей, вызвать их удивление - это лишь начало возникновения интереса, и добиться этого сравнительно легко. Труднее удержать интерес к математике и сделать его достаточно стойким.
Поддерживая интерес различными заданиями, различными способами, приемами решения этих заданий, постепенно воспитывать интерес к самой деятельности, интерес к математике как к науке, который перерастает в интерес к процессу самой мыслительной деятельности, к новым знаниям. Это можно отнести не только к математике, но и к другим направлениям обучения.
Материал, преподносимый учителем и отдельными учениками, должен быть понятен каждому ученику, иначе он не вызовет желания работать, т.к. будет лишен для него смысла. Для поддержания интереса во всяком новом должны быть определенные элементы старого, известного детям. Только при условии установления связи нового со старым возможны проявления сообразительности и догадки.
Занимательный материал многообразен, но его объединяет следующее:
- способ решения занимательных задач неизвестен. Для их решения характерно применение метода проб и ошибок. Эти поисковые пробы могут закончиться догадкой, которая представляет собой нахождение пути искомого решения;
- занимательные задачи способствуют поддержанию интереса к предмету и играют роль мотива к деятельности учащихся. Необычность сюжета, способа подачи задачи находят эмоциональный отклик у детей и ставят их в условия необходимости ее решения;
- занимательные задачи составлены на основе знаний законов мышления.
Систематическое применение задач такого типа способствует развитию указанных, мыслительных операций и формированию математических представлений детей.
Итак, для решения занимательных задач характерен процесс поисковых проб. Появление догадки свидетельствует о развитии у детей таких качеств, как смекалка и сообразительность. Смекалка — это особый вид проявления творчества. Она формируется в результате анализа, сравнений, обобщений, установления связей, аналогий, выводов, умозаключений. О проявлениях сообразительности свидетельствует умение обдумывать конкретную ситуацию, устанавливать взаимосвязи, на основе которых решающий задачу приходит к выводам и обобщениям. Сообразительность является показателем умения оперировать знаниями. Из этого следует, что смекалка, сообразительность, влекущие за собой догадку как результат поиска решения занимательной задачи, не есть что-то данное свыше. Эти качества умственной деятельности можно и нужно развивать в процессе обучения.
В любом случае догадке как способу решения задачи предшествует тщательный анализ: выделение в задаче существенных признаков, установление связей между исходными данными, установление исходных свойств, попытки опереться на ранее решенные задачи и т.п.
Однако метод проб и ошибок нерационален, ненадежен. Гораздо важнее научить детей тем приемам умственной деятельности, которые более необходимы для решения задач: анализ и синтез, сравнение, аналогия, классификация.
Предлагая учащимся занимательные задачи, мы формируем у них способность выполнять эти операции и одновременно развиваем их. Критерием отбора таких задач является их учебное назначение; соответствие теме урока или серии уроков. Такие задачи можно решать и при объяснении нового материала, и при закреплении пройденного.
При решении занимательных задач преследуются следующие цели:
- формирование и развитие мыслительных операций: анализа и синтеза;
- сравнения, аналогии, обобщения и т.д.;
- развитие и тренинг мышления вообще и творческого в частности;
- поддержание интереса к предмету, к учебной деятельности (уникальность занимательной задачи служит мотивом к учебной деятельности);
- развитие качеств творческой личности, таких, как познавательная активность, усидчивость, упорство в достижении цели, самостоятельность;
- подготовка учащихся к творческой деятельности (творческое усвоение знаний, способов действий, умение переносить знания и способы действий в незнакомые ситуации и видеть новые функции объекта).
Последовательное осуществление органической связи между повседневной учебной работой и внеклассными занятиями позволяет добиваться определенных успехов. Обнаружить это возможно, когда учащиеся решают предложенные им новые, ранее не встречавшиеся задачи, совершенно оригинальным способом, не похожим на рассмотренные раньше. Бывают случаи, когда ученики находят такой путь решения, который не предусмотрел сам учитель. Цель, к которой должен стремиться каждый педагог: научить учиться так, чтобы ученик со временем превзошел учителя.
На внеклассных факультативных занятиях учащиеся получают и домашние задания, в выполнении которых могут принимать участие родители. Кроме того, каждый из школьников может побывать в роли учителя и дома, и в школе. Интересные задачи, решение которых разобрано совместными усилиями учителя и учеников, предлагаются последними родителям. Это важный воспитательный момент — показать ребенку, что он может знать больше и лучше, если поставит себе такую цель.
Методы (приемы) решения.
Методы (приемы) работы над задачей:
- Изучение условия задачи;
- Выдвижение идеи (плана) решения;
- Поиск аналогии, сравнительные чертежи.
- Разбиение задачи на подзадачи.
- Решение одной задачи несколькими способами;
- Прием разбора готового решения;
Метод же один: метод указаний и самостоятельного поиска “мыши” в куче камней.
“Помогая ученику, учитель должен оказывать ему внутреннюю помощь, т.е. ограничиться такими подсказками, которые могли бы рождаться в сознании самого ученика, и избегать внешней помощи, т.е. давать куски решения, которые не связаны с сознанием ученика” (Д. Пойа).
Невозможно сказать, как возникает решение трудной задачи. Но ясно, что в решении велика роль происходящих в мозгу бессознательных процессов. Здесь же я буду говорить об отработке лишь элементарных приемов мышления, пользуясь тремя заповедями учителя, (по Д. Пойа):
- Старайся научить своих учеников догадываться;
- Старайся научить своих учеников доказывать;
- Пользуйся наводящими указаниями, но не старайся навязывать своего мнения насильно.
При обучении неискушенных в математике учащихся, которые привыкли решать задачи только на определенные правила, все представляет сложность.
- учащиеся не понимают, что же такое “рассуждение”, зачем вообще что-то нужно доказывать (дедуктивный аспект мышления);
- не видят логических проблем (формальнологический аспект);
- не то, что не могут найти подход к решению, а просто не осознают, что же это такое - “идея решения” (индуктивный аспект);
- они (учащиеся) не привыкли рассматривать связи между задачами (ассоциативный аспект мышления).
Для отработки элементарных навыков мышления представляется естественным выделить типы таких задач, при решении которых указанные выше аспекты применяются, так сказать, в чистом виде.
Начну с задач, служащих формированию дедуктивного аспекта мышления.
Первый тип - задачи с “естественным рассуждением”, их педагогическая роль состоит в том, чтобы приучить школьников проводить последовательную цепочку рассуждений (к чему сводится решение любой математической задачи). На первых порах следует отбирать задачи, в которых нет сколько либо необычных математических идей, такие, как простейшие логические и комбинаторные задачи, математические ребусы.
Два конкретных примера:
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и купцы, которые всегда лгут. Островитянин в присутствии другого островитянина говорит, что по крайней мере один из них лжец. Кто они?
Миша, Сережа, Дима, Валера и Костя рисовали машины:
- кто-то рисовал пожарную машину красным карандашом;
- кто-то гоночную машину синим фломастером;
- кто-то - грузовик коричневой ручкой;
- кто-то - легковую машину синим карандашом;
- кто-то - легковую машину коричневым фломастером.
Миша и Сережа рисовали карандашом. Сережа и Дима рисовали одинаковым цветом. Кто что рисовал?
Второй тип - “задачи - ловушки”, в которых напрашивающийся ответ является неверным. Их роль показать необходимость доказательств (рассуждений).
- 100 кг свежесобранных грибов имели влажность 99%. Через 2 дня их влажность составляла 98%. Сколько стали весить грибы?
- Два мальчика играли в шашки 2 часа. Сколько играл каждый из них?
- Масса петуха на двух ногах 4 кг. Какова будет масса, если петух встанет на 1 ногу.
Третий тип. Следующая ступенька в развитии дедуктивного мышления связана с формально-логическим аспектом. Его можно подчеркнуть с помощью так называемых очевидных задач, в которых ответ абсолютно очевиден (и верен), но на первых порах совершенно неясно, как же его получить.
Мама купила 4 воздушных шара: красные и голубые. Красных шаров больше, чем голубых. Сколько шаров каждого цвета купила мама?
С этого момента переходим от формально-логических и дедуктивных задач к индуктивным, которые уже непосредственно связаны с поиском идеи. И наша цель – помочь детям.
Один из древних и действенных методов обучения это “метод Сократа”, т.е. диалог с аудиторией. Искусство наставника состоит в том, чтобы задавать учащимся такие вопросы, которые они должны бы задавать сами себе. Безусловно, такой вопрос можно поставить практически к любой задаче, однако желательно, чтобы он не был прямой подсказкой.
Итак, четвертый тип задач - это “задачи с внутренним вопросом”.
а) Переложить 2 спички из числа имеющихся так, чтобы образовалась фигура, состоящая из четырех одинаковых квадратов.
Перейдем теперь к вопросу о формировании ассоциативного аспекта мышления.
Как известно, интеллект человека во многом определяется числом задействованных связей между клетками его мозга. Естественно, что для развития математического мышления необходимо устанавливать связи между фактами, понятиями, задачами и т.д. Причем устойчивость возникшей связи зависит от того, насколько самостоятельно она была открыта. “Тем, что вы были вынуждены открыть сами, можете снова воспользоваться, когда в этом возникает необходимость” (Г. Лихтенберг).
Решение задач часто возникает по ассоциации с чем-то известным, подчеркну, что не по аналогии, а “по ассоциации”.
В этой связи представляю пятый тип задач - задачи-загадки:
- Сосчитай быстро: 012345678910.
Сколько в сумме 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 составят числа, записанные в ряд? - Сколько девочек в классе?
Если от наибольшего двузначного числа отнять числа, записанные двумя восьмерками, а к полученному числу прибавить наименьшее двузначное число, то как раз получается нужное число. Сколько девочек было в классе?
Умение воспринимать ход мысли и “читать между строк” — важная составляющая общего образования, которую можно воспитать в процессе обучения математике. Ведь математика “ум в порядок приводит”.
Задачи для самостоятельного анализа.
- Найдите все целочисленные решения уравнения:
х у = х + у. - Папа купил арбуз Д=20см, толщина корки которого составила 1см. Какой % стоимости этого арбуза оказался истраченным на корку?
- Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей, чтобы они не били друг друга?
- Скорый поезд вышел из Москвы в С-Петербург и шел без остановки со скоростью 60 км/ч. Другой поезд вышел ему навстречу из С-Петербурга в Москву и тоже шел без остановок со скоростью 40 км/ч. На каком расстояний будут эти поезда друг от друга за час до встречи?
Отсюда понятно, что нестандартные задачи это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения. Такие задачи обычно включены в олимпиады (Приложение 1).
Правил решения задач нестандартного характера нет. Но великими решателями задач найдено ряд общих рекомендаций-указаний, которыми можно пользоваться при решении. Эти советы -рекомендации назовем эвристическими правилами.
Чтобы решить нестандартную задачу, надо составить (найти) план (ход) решения - не обязательно точный и полный перечень действий. Большей частью это даже не ход, а только идея, а все остальное возникает в процессе решения. Иногда оказывается, что идея не верна, и надо все начинать снова. Процесс этот не поддается точному определению, но говорить при этом о каких-то общепринятых шагах можно, хотя поиску решения задач нельзя научить, можно лишь самому научиться.
Совет 1. Распознай вид данной задачи.
Как распознать вид задачи? Первым признаком является характер требования задачи. По этому признаку выделим 3 вида задач:
- Задачи на нахождение искомого (вычислительные задачи).
- Задачи на доказательство или объяснение (верность, ложность утверждения, объяснение какого - то фактора).
- Задачи на преобразование или построение (сконструировать что -то, изменить).
Совет 2. Сведи решение к уже решаемому.
Совет прост, но практически воспользоваться им не так-то просто. Ведь нет определенных правил для такого сведения незнакомых задач к уже решенным. Однако, если внимательно, вдумчиво анализировать задачи, вдумчиво решать каждую задачу, фиксируя в своей памяти все приемы, с помощью которых были найдены решения, какими методами, способами были решены задачи, то постепенно у вас вырабатывается умение в таком сведении. Не секрет ведь, что человек, который не умеет решать стандартные задачи, не решит и нестандартную.
Один из организаторов математических олимпиад в России, известный математик Тартаковский Владимир Абрамович сравнивал поиск решения задачи с поиском (задачей) пой мать мышь, прячущуюся в куче камней. Есть два способа к этому:
- отбрасывать постепенно по камню, пока не покажется мышь;
- ходить вокруг горы и внимательно смотреть, не покажется ли хвостик; тогда хватать и вытягивать мышь из кучи.
Действительно, поиск решения напоминает поиск этой самой мыши. Живой пример такого поиска (задача о ракушках, найденных мальчиком). Ответ. Среди мальчиков нет такого, который не нашел ни одной ракушки. Так как мальчики нашли 5 ракушек, то могут быть такие варианты решения:
- 2 мальчика нашли по 1, один 3.
- 2 мальчика - по 2, третий - 1.
- Один нашел - 4, один - 1, один - ни одной.
Так как варианты 1 и 3 не соответствуют условию задачи, решением является только варианты 2: 2+2+1.
Поиск решения нестандартной задачи сводится к работе над задачами .процессуальными, которые способствуют развитию умений сравнивать, анализировать, обобщать, прогнозировать, рассуждать, планировать. Задачи на нахождение и описание процесса достижения поставленной цели при определенных условиях называются процессуальными. Ответом задач является сам процесс получения того фактора, который выступает целью деятельности.
Ценность таких задач в том, что их решение способствует формированию операционного стиля мышления, необходимого для изучения математики и информатики.
Процессуальные задачи по виду деятельности учащихся при их решении можно разделить на эвристические и алгоритмические (пошаговые). Деление это чисто условное. Эвристические процессуальные задачи вовлекают детей в творческую поисковую или частично - поисковую деятельность, содействующих развитию интеллектуальных умений.
Способы решения таких задач:
- Составление таблиц, (переливание).
- Использование рисунка и рассуждения по рисунку
- Оформление схем или блок- схем. (Задача про козу, волка и капусту).
(блок - схема - взвешивание монет).
(рисунок к задаче с велосипедами).
Такого рода задачи можно найти сколько угодно или составить. При решении учащиеся используют разные символы, образы, а ответы получают в результате рассуждений. Это и продвигает их в развитии.
Третий вид задач: преобразование или построение содержит задачу воссоздать образ изображенных предметов и различные мыслительные операции с этими образами. Очень распространены в этом виде задач со спичками (примеры на листах).
В заключении сформируем основные рекомендации для поиска решения нестандартных задач:
- Прочтя задачу, надо попытаться установить, к какому виду задач она принадлежит.
- Если вы узнали в ней стандартную задачу знакомого вида, то примените для решения общее правило.
- Если же задача нестандартная, то следует:
а) Вычленять из задачи или разбивать ее на подзадачи стандартного вида (способ разбиения), привлечь аналогию;
б) Ввести в условие вспомогательные элементы, построения;
в) Заменить задачу другой равносильной задачей (способ моделирования).
Для того, чтобы было легче понять и решить задачу, полезно предварительно построить вспомогательную модель задачи - ее схематическую запись.
Решение нестандартных задач есть искусство, которым можно владеть лишь в результате глубокого постоянного самоанализа действий по решению задач и постоянной тренировки в решении разнообразных задач.
Помните, что решение задач - есть вид творческой деятельности, а поиск решения - процесс изобретательства.
Нестандартная задача - это задача, решение которой для данного ученика не является известной цепью известных действий.
В умении решать нестандартные задачи входят моральные качества: настойчивость, терпение, воля к победе;
- Знание методов решения; знание эвристических приемов и умение избирать новые приемы решения;
- Умение пополнять полезную информацию.
Следующим важнейшим аспектом является тщательное изучение и осмысление требований задачи. Эвристическое правило “Изучи цель, поставленную задачей. Не начинай решение в слепую. Выбери направление поиска плана на решения, руководствуясь целью задачи”.
Метод указаний позволяет детям успешнее и быстрее решить задачу, но применять его нужно только тогда, когда есть полная уверенность в его полезности.
Если задача такова, что в ходе ее решения предстоит сделать слишком много указаний, то полезнее применить прием разбора готового решения.
Поиск плана решения многих задач требует у школьников так называемых комбинаторных способностей, под которыми понимают умение сделать подходящий выбор. При первой же трудности учащийся должен спросить, как он ранее преодолевал трудности, отыскать подходящую аналогию. Для этого полезно применять сравнительные чертежи, вспомогательные характеристики.
Установление сходства сразу наталкивает на плодотворные идеи.
Прием разбиения задачи на подсказки, каждая из которых решается довольно легко. (Задачи на построение 3 вид).
Метод решения одной задачи несколькими способами. Зачем он? Различные способы решения задачи дают возможность использовать те или иные теоретические положения. Это делает знания более прочными, осознанными (Приложение 2).
Общепринятое в методике математики деление процесса решения задачи на 4 основных этапа:
- Осмысления условия задачи;
- Составление плана - выдвижение идеи, гипотезы;
- Осуществление плана решения;
- Изучение найденного решения.