Цели:
- научить находить значение многочлена, его корни, используя теорему Безу, схему Горнера;
- формировать умения и навыки в нахождении корней многочленов;
- научить обобщать и систематизировать материал;
- развивать вычислительные навыки, концентрацию внимания, функции самоконтроля;
- воспитывать требовательность к себе, усердие.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
II. Актуализация знаний учащихся
1. Проверка домашнего задания.
а) Найти НОД ((x 6 – 1);(x 8 – 1)) по алгоритму Евклида (ученик готовит на доске).
Решение:
НОД ((x 6 – 1);(x 8 – 1)) = x 2 – 1.
Ответ: x 2 – 1.
б) Узнайте, делится ли многочлен f(x) = x 5 – 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 + x + 2 на (x – 1), (x + 1), (x – 2) (проверяется фронтально). [1]
Решение. По теореме Безу, если f(1) = 0, то f(x) делится на (x – 1). Проверим это.
f(1) = 1 – 5 + 8 – 5 + 1 + 2 > 0, f(x) не делится
на (x – 1);
f(–1) = – 1 – 5 – 8 – 5 – 1 + 2 < 0, f(x) не
делится на (x + 1);
f(2) = 32 – 80 + 64 – 20 + 4 = 0, f(x) делится на (x – 2).
Ответ: делится на (x – 2).
в) Многочлен P(x) при делении на (x – 1) дает остаток 3, а при делении на (x – 2) дает остаток 5. Найти остаток от деления многочлена P(x) на (x 2 – 3 x + 2).
(Решение проектируется на экран или заранее написать на доску).
Решение.
P(x) = (x – 1) Q 1(x) + 3 (1)
P(x) = (x – 2) Q 2(x) + 5
(2)
Из (1) и (2) следует, что P(1) = 3, P(2) = 5.
Пусть P(x) = (x 2 – 3 x + 2)
Q (x) + a x + b или
P(x) = (x – 1) (x – 2) Q (x) +
a x + b
(3)
Подставив в (3) последовательно x = 1 и x = 2, получим систему уравнений, из которой a = 2, b = 1.
Ответ: 2 x + 1.
г) При каких m и n многочлен x 3 + m x + n при любых x делится на x 2 + 3 x + 10 без остатка.
(Решение проектируется на экран или заранее написать на доску).
Решение. При делении “уголком” получим x 3 + m x + n = (x 2 + 3 x + 10) (x – 3) + ((m – 1) x + (n + 30)).
Т.к. деление выполняется без остатка, то (m – 1) x + (n + 30) = 0, а это возможно (при любом x) только в случае, когда m = 1, n = –30.
Ответ: m = 1, n = –30.
2. Теоретический опрос.
а) Как читается теорема Безу?
б) Привести пример, где используется теорема
Безу.
в) Из правила перемножения двух многочленов как
найти старший коэффициент произведения?
г) Имеет ли степень нулевой многочлен?
д) Найти степень многочлена (3 x 499 – 5 x
400 + 7 x 372 – 11) 4 + (x – 1) 2006 .
(Ответ: десятая)
е) Приведите многочлен (x 2 – 1) (x 2005 + x 2003 + x 2001 + … + x)
к стандартному виду. (Ответ: x 2007 – 1).
III. Подготовка к изучению нового материала
В многочлен, как и в любое буквенное выражение, можно вместо переменной подставлять числа, и в результате он превращается в числовое выражение, то есть, в конечном счете, в число. Сделаем два важных для решения задач замечания:
- Значение f(0) равно свободному члену многочлена.
- Значение f(1) равно сумме коэффициентов многочлена.
Нахождение значений многочлена не представляет никаких принципиальных трудностей, однако вычисления при этом могут оказаться достаточно громоздкими. Для упрощения вычислений существует прием, называемый схемой Горнера – по имени английского математика XVI века. Эта схема состоит в заполнении некоторой таблицы из двух строк.
Например, чтобы вычислить значение многочлена f(x) = 2 x 4 – 9 x 3 – 32 x 2 – 57 при x = 7 (то есть узнать делится ли он на (x – 7) по теореме Безу), надо подставить вместо x число 7. Если f(7) = 0, то f(x) делится без остатка. Если f(7) не равно 0, то f(x) делится на (x – 7) с остатком. Чтобы облегчить нахождение значения f(7) применим схему Горнера. Заполним таблицу из двух строк по следующему алгоритму:
1. Строка коэффициентов записывается первой.
2. Старший коэффициент дублируется во второй
строке, а перед ним ставится значение переменной (в
нашем случае число 7), при котором вычисляем
значение многочлена.
Получается таблица, пустые клетки которой надо заполнить.
Таблица 1
2 |
– 9 |
– 32 |
0 |
–57 |
|
7 |
2 |
|
|
|
|
3. Это делается по единому правилу: для пустой клетки, стоящей справа, число 2 умножается на 7 и складывается с числом, стоящим над пустой клеткой. Ответ записывается в первую пустую клетку. Так делают для заполнения остальных пустых клеток. Поэтому, в первой пустой клетке ставится число 2 • 7 – 9 = 5, во второй пустой клетке ставится число 5 • 7 – 32 = 3, в третьей ставится число 3 • 7 + 0 = 21, а в последней 21 • 7 – 57 = 90. Полностью эта таблица выглядит так:
Таблица 2
2 |
– 9 |
– 32 |
0 |
–57 |
|
7 |
2 |
5 |
3 |
21 |
90 |
Последнее число второй строки является ответом.
Замечание: программа для вычисления значений многочлена в ЭВМ составляется по схеме Горнера.
IV. Закрепление изученного материала
Рассмотрим решение домашнего задания № 1 (б) по схеме Горнера. Итак, применяя схему Горнера, узнайте, делится многочлен (x) = x 5 – 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 + x + 2 на (x – 1), (x + 1), (x – 2). Если требуется проверить несколько значений, то для экономии выкладок строят одну объединенную схему.
Таблица 3
3 |
– 5 |
0 |
– 7 |
0 |
12 |
|
1 |
3 |
– 2 |
– 2 |
– 9 |
– 9 |
3 |
– 1 |
3 |
– 8 |
8 |
– 15 |
15 |
– 3 |
2 |
3 |
1 |
2 |
–3 |
– 6 |
0 |
В последнем столбце в третьей, четвертой и пятой строках – остатки от деления. Тогда f(x) делится без остатка на (x – 2), т.к. r = 0. [2]
V. Нахождение корней многочлена
Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого на единицу меньше. Иногда этим приемом – он называется “понижением степени” – можно найти все корни многочлена.
В частности, подобрав один корень кубического уравнения, тем самым понизив степень, можно его полностью решить, решив полученное квадратное уравнение.
При решении таких задач большую пользу приносит та же схема Горнера. Однако, на самом деле схема Горнера дает гораздо больше: числа, стоящие во второй строке (не считая последнего) – это коэффициенты частного отделения на (x – a).
В таблице 3:
| f(1) = 3, f(–1) = – 3, f(2) = 0, |
f(x) = (3 x 4 – 2 x 3 – 2 x 2 – 9 x – 9) (x – 1) + 3; f(x) = (3 x 4 – 8 x 3 + 8 x 2 – 15 x + 15) (x + 1) – 3; f(x) = (3 x 4 + x 3 + 2 x 2 – 3 x – 6) (x – 2). |
Пример 1. Найти корни многочлена f(x) = (x 4 – x 3 – 6 x 2 – x + 3).
Решение. Делители свободного члена: – 1, 1, – 3, 3 могут быть корнями многочлена. При x = 1 очевидно сумма коэффициентов равна нулю. Значит, x1 = 1 – корень. Проверим по схеме Горнера на корень число – 1 и другие делители свободного члена.
Таблица 4
1 |
– 1 |
– 6 |
– 1 |
3 |
|
– 1 |
1 |
– 2 |
– 4 |
3 |
0 |
– 1 |
1 |
– 3 |
– 1 |
4 |
|
3 |
1 |
1 |
– 1 |
0 |
x = –1 — корень
второй раз x = –1 — не корень
проверим x = 3
x = 3 – корень.
f(x) = (x + 1) (x – 3) (x 2 + x – 1),
x 2 + x – 1 = 0,
Замечание. При нахождении корней
многочлена не следует проводить лишних точных
вычислений в тех случаях, когда очевидные грубые
оценки приводят к нужному результату.
Например, схема Горнера для проверки значений 31
и – 31 как “кандидатов в корни” многочлена
x 5 – 41 x 4 + 32 x 2 – 4 x + 31
может выглядеть следующим образом:
Таблица 5
1 |
– 41 |
0 |
32 |
– 4 |
31 |
|
31 |
1 |
– 10 |
– 310 |
– |
– |
– |
– 31 |
1 |
– 71 |
+ |
+ |
+ |
+ |
31 и – 31 не являются корнями многочлена x 5 – 41 x 4 + 32 x 2 – 4 x + 31.
Пример 2. Найти корни многочлена f (x) = x 4 + 2 x 3 – 6 x 2 – 22 x + 55.
Решение. Делители 55: – 1, 1, – 5, 5, – 11, 11, – 55, 55. Заметим, что – 1 и 1 не являются корнями многочлена. Следует проверить остальные делители.
Замечание. Очень важно учащимся овладеть “длинной” схемой Горнера. В данном примере как раз удобна “длинная” схема.
Таблица 6
1 |
2 |
– 6 |
– 22 |
53 |
|
– 5 |
1 |
– 3 |
9 |
– 57 |
– |
5 |
1 |
7 |
29 |
+ |
+ |
– 11 |
1 |
– 9 |
93 |
– |
+ |
11 |
1 |
13 |
137 |
+ |
+ |
– 55 |
1 |
– 53 |
2 909 |
– |
+ |
55 |
1 |
57 |
3 129 |
+ |
+ |
x 2 + 57 x + 3 129 = 0, корней нет.
Ответ: корней нет. [2]
VI. Самостоятельная работа
На доске три человека решают для последующей проверки.
Найти корни многочлена по схеме Горнера:
а) f (x) = x 3 + 2 x 2 – 5 x – 6;
Ответ: – 1; 2; – 3.
б) f (x) = x 5 – 5 x 4 + 6 x 3 – x 2 + 5 x – 6;
Ответ: 1; 2; 3.
в) f (x) = x 4 + 12 x 3 + 32 x 2 – 8 x – 4.
Ответ: 
(Проверка осуществляется в парах, выставляются оценки).
VII. Исследовательская работа учащихся
– Ребята, вы не заметили, какие многочлены в основном мы разбирали на уроках?
(Ответы учащихся).
– Да, это многочлены с целыми коэффициентами и со старшим членом k = 1.
– В каких числах получались ответы?
(Ответы учащихся).
– Правильно, корни многочлена с целыми коэффициентами и со старшим членом k = 1 либо целое, либо иррациональное, либо целые и иррациональные, либо не имеют корней. Запишите вывод в своих тетрадях.
VIII. Задание на дом
1. № 129 (1, 3, 5, 6) – Н. Я. Виленкин –
10, стр. 78. [3]
2. Выучить теорию данного урока.
IX. Подведение итогов урока и выставление отметок
Литература
- М.Л. Галицкий. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. // Просвещение, 1997 г.
- Г.В. Дорофеев. Многочлены с одной переменной. // Санкт-Петербург. Специальная литература, 1997 г.
- Н.Я. Виленкин. Алгебра и математический анализ. 10 класс // Просвещение, 1998 г.