Разработка блока уроков по теме: "Площади фигур"

Блок уроков по теме “Площади фигур”.

Цели уроков:

1. Формирование понятие площади фигур.

2. Формирование навыков самостоятельной работы с учебником.

3. Формирование метода доказательства, заключающегося в введении новой фигуры, находящейся в известных связях с теми фигурами, отношение между которыми доказывается. Вывести формулы площадей простых фигур.

4. Формирование навыков применения знаний в новых ситуациях, видение изученной закономерности в различных ситуациях.

5. Формирование умений работать с задачей.

6. Систематизировать, расширять и углублять знания, умения и навыки учащихся, связанные с понятием плошали простых фигур и умения применять знания в новой ситуации.

7. Воспитывать доброжелательные отношения друг к другу.

Выслушивать мнения других и высказывать свою точку зрения.

Литература.

1. Атанасян Л. С. “Геометрия 7 – 9”

2. Карнацевич Л.С. “Изучение геометрии в 8 классе”. Москва. Просвещение, 1984 г.

3. Хамитов Р.Г. “Геометрия 7 – 9. Тест – обучающая программа”. Казань. 2000 г.

4. Окунев А.А. “Изучение геометрии в 8 классе”. Москва. Просвещение, 1996 г.

5. Макаров Ю.А. “Технология индивидуального обучения”. Сборник статей. Пермь. 19% г.

6. Рабинович Н.М. “Геометрия 7 – 9. Задачи на готовых чертежах”. Москва-Харьков, 1998 г.

7. Саранцев Г.И. “Упражнения в обучении математики”. Москва. Просвещение, 1995 г.

8. “Энциклопедический словарь юного математика”. Москва. Педагогика, 1989г.

9. Варданян С.С. “Задачи по планиметрии с практическим содержанием”. Москва. Педагогика. 1989 г.

10. Кукарцева Р.И. “500 задач по геометрии в рисунках и тестах. 7-9 класс.” Москва. Аквариум, 2001 г.

“Каждый должен сам овладеть навыками по усвоению знаний и делать это в присущем ему стиле”

С. Пейперт.

Сколько за последние годы появилось новых учебников, новых концепций, новых программ!

На данном этапе состояния математического образования одним из приоритетных направлений преподавания математики является изменение акцентов в учебной деятельности. Поэтому проблема самостоятельности, активности учащихся является одной ш центральных проблем обучения наших дней.

Обучение путем “делания” в 6-7 раз продуктивнее обучения путем “слушания”. (И. П. Подласый. Педагогика 1996 г.)

Возможности развития учащихся скрываются в специально отобранном содержании учебного материала, т.е. в познавательных заданиях, однако это лишь предпосылка для развития. Для того, чтобы обучение проявило свой развивающий эффект необходимо соблюдать универсальное условие: развиваемый ученик должен быть вовлечен в активную деятельность и общение. Это вытекает из того, что ученик в учебном процессе не только объект, но и субъект процесса собственного учения. Эффективность обучения зависит не только от характера предъявляемых заданий, но, прежде всего, от активности самого ученика. Специалисты считают, что при возможности выбора ученик может стать субъектом управления своей собственной деятельности и работе в зоне ближайшего развития.

Пояснительная записка.

Много трудностей встречается в работе учителя математики. Если спросить школьников, какой предмет им нравится больше других, то вряд ли большинство из них назовут математику. Обычно ее скорее уважают, чем любят. Некоторые вопросы школьной математики учащимся кажутся недостаточно интересными, порой скучными.

Проверку домашнего задания и актуализацию прежних знаний в разных классах проводят по разному, в зависимости от эмоциональной и мотивационной настроенности учащихся к изучаемому материалу:

1) изучение и решение задачи или проблемы по требованию учителя;

2) изучение и решение задачи, вызвавшей удивление, интересной для учащихся;

3) учение для продвижения в жизни.

Школа призвана реализовывать и некоторые обязательные традиционные умения и навыки.

В начале урока выясняем все вопросы, возникшие у учащихся при подготовке домашнего задания. Если в классе подобраны слабые ученики, то домашнюю работу проверяем, предлагая по готовым чертежам найти площади изучаемых фигур, доказать теорему по готовому чертежу. Чаще группе таких учащихся предлагаем выполнить лабораторную работу, т.к. при выполнении лабораторных работ знания, полученные от пассивного созерцания, закрепляются при самостоятельной работе.

Более сильным ученикам предлагаем тесты, либо более трудные задачи.

Урок 1.

Тема: “Площадь многоугольника”.

– Начертите известные вам многоугольники. Перечислите их.

– С этого урока начинаем изучение площади многоугольников.

Понятие площади известно вам из повседневного опыта. Площади каких фигур, перечисленных вами, вы умеете находить?

Что такое площадь?

Площадью называется величина, характеризующая размер геометрической фигуры. Определение площадей геометрических фигур – одна из древнейших практических задач. Правильный подход к их решению был найден не сразу. Древние греки умели правильно находить площади многоугольников. Когда каменщики определяют площадь прямоугольной стены дома они перемножают высота и ширину стены. Долгий был путь к нахождению формул, позволяющим найти площади любых фигур. В настоящее время существуют и механические приборы для вычисления площадей плоских фигур – так называемые планиметры.

– Что вы понимаете под выражением “измерение площади”?

– Какие формулы вы знаете для нахождение площадей простых фигур?

– Где вы применяете эти понятия в жизни?

– Что принято за единицу измерения площади?

– В каких единицах измеряется площадь? Рассмотрите рисунок. Найдите площадь фигуры.

Этот пример иллюстрирует метод разбиения, состоящий в том, что для вычисления площади многоугольника пытаются разбить его на конечное число частей таким образом, чтобы из этих частей можно

было составить более простой многоугольник, площадь которого уже известна. О таких многоугольниках говорят, что они равносоставлены. Равносоставленные многоугольники имеют одинаковую площадь или. как говорят, равновелики.

Таким образом, для простых фигур площадь – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

1) Равновеликие фигуры имеют равные плошади.

2) Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей,

3) Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения. равна единице.

Выполнить задачу.

Начертите квадрат и примите его за единицу измерения площадей. Далее начертите: а)квадрат. площадь которою выражается числом 4; б) прямоугольник, отличный от квадрата, площадь которого выражается числом 4: в) треугольник, площадь которого выражается числом 2.

Домашнее задание: стр. 117 – 120 п.48. стр. 445, 446, 450 стр. 226

Урок № 2.

Тема: “Площадь прямоугольника”.

Так как вывод формулы для вычисления площади прямоугольника сопровождается довольно трудными для выполнения на доске рисунками, то учитель заранее изготавливает таблицу, в которой помещены рисунки и сделаны некоторые необходимые для доказательства записи.

Площадь прямоугольника.

1-й случай, а и b – конечные десятичные дроби (десятичных знаков не более n).

2-й случай, а и b – конечные или бесконечные десятичные дроби.

Доказываем, что площадь прямоугольника со сторонами а и b вычисляется по формуле S=ab. При рассмотрении первой части доказательства теоремы особое внимание следует уделить использованию свойств площади (равные квадраты имеют одинаковую площадь, площадь большого квадрата и прямоугольника равна сумме площадей содержащихся в них малых квадратов).

Следствие. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Закрепление.

1. (Устно). В прямоугольнике стороны равны 3/4 см и 1.2 дм. Найдите площадь прямоугольника.

2. Как изменится площадь прямоугольника, если: 1) увеличить одну из его сторон в 3 раза; 2) увеличить каждую из его сторон в 2 раза?

3. Как изменится площадь квадрата, если каждую его сторону увеличить в 3 раза?

Домашнее задание: вопросы 1,2, № 449, 452

Урок№3.

Тема: “Площадь прямоугольника”.

Проверка домашнего задания:

1) Как относятся площади прямоугольников, имеющие общее основание?

2) Квадрат и прямоугольник имеют равные площади. Чему равна сторона квадрата, если стороны прямоугольника 36 см и 25 см?

Затем слабым учащимся предлагаются лабораторные работы № 1 и

№2, а сильным – задачи с практическим содержанием (их можно

решать в любом порядке).

Лабораторная работа № I.

Тема: определение площади квадрата.

Цель работы: закрепление навыка определения площади квадрата.

Оборудование: линейки, квадраты.

Задание:

1. Определить сторону квадрата.

2. Записать формулу площади квадрата.

3. Записать результаты измерений и вычислений в таблицу

Лабораторная работа № 2.

Тема: определение площади прямоугольника.

Цель работы: закрепление навыка определения площади прям-ка

Оборудование: линейки, прямоугольники.

Задание:

4. Определить длину прямоугольника.

5. Определить ширину прямоугольника.

6. Записать результаты измерений и вычислений в таблицу.

Задачи с практическим содержанием.

1) Каждый из двух равновеликих участков нужно обнести забором. Один участок имеет форму квадрата со стороной 80 м. а другой – форму прямоугольника, одна сторона которого раина 50 м. На какой забор потребуется больше материала и на сколько, если на каждые 12 м забора нужно 1 м² пиломатериалов?

2) Колхозный сад имеет форму прямоугольника со сторонами 580 и 376 м. Сколько в нем яблонь, если на каждую яблоню приходится в среднем по 16 м²? Какую выручку дат сад после продажи яблок, если с 1 га собрано по 35 т яблок и каждая тонна продана в среднем по 450 р ?

3) Ребята решили пристроить к стене школы физкультурный зал прямоугольной формы. Оказалось, что кирпича у них хватит только на 100 м стены (по периметру трех новых стен). Зал должен быть как можно больше по площади. Что вы посоветуете ребятам? Какие размеры пристройки выбрать?

4) Новосел, решив выложить пол в квадратной кухне площадью 7,29 м² квадратными разноцветными плитками, купил такой набор: 1 плитка со стороной 120 см. 3 плитки со стороной 90 см. 9 плиток со стороной 60 см и 2 плитки со стороной 30 см. Другой новосел для точно такой же кухни купил на I плитку больше со стороной 120 см, на 1 плитку меньше со стороной 90 см и на 1 плитку меньше со стороной 60 см. Кто из них поступил разумно?

После знакомства с задачами, желающие объяснить решение какой-либо задачи у доски, выходят и объясняют решение. Те, кто знает решение задач, выполняют эту работу самостоятельно и сдают тетради. Домашнее задание: Практическая работа.

1. Подсчитать, сколько требуется плиток кафеля для облицовки стен вашей кухни. Кафель размером 15x15. Подсчитайте стоимость материала.

2. Подсчитать количество рулонов обоев, необходимое для ремонта вашего зала. Сколько это будет стоить?

3. Найти интересную задачу на нахождение площади прямоугольника или квадрата

4. Повторить № 49, 50.

Урок №4.

Тема: “Площадь параллелограмма”.

1. Проверка домашнего задания.

2. Изучение нового материала.

Площадь какой фигуры вы уже умеете находить?

Начертите параллелограмм ABCD.

На этом уроке мы должны вывести формулу площади параллелограмм и научиться ее применять. Для этого нам необходимо найти высоту параллелограмма.

Постройте высоту параллелограмма: из вершины А опустите перпендикуляры АК на сторону ВС и AN на сторону DC.

Отрезок AN называется высотой параллелограмма, соответствующей сторонам АВ и DC. Отрезок АК называется высотой, соответствующей сторонам AD и ВС.

На доске предложены несколько чертежей. Назовите высоту параллелограмм и соответствующие ей стороны.

Подумайте, как можно разбить параллелограмм и составить из него фигуру, площадь которой вы умеете находить. После размышления предлагаем учащимся поделиться своими результатами своей деятельности.

Чаше предлагают частный случай.

Прочитайте пункт 54 стр.124 (Атанасян А.С.).

Как предлагает найти площадь параллелограмма автор.

Расскажите, как найти площадь, используя модель. Модель
представляет собой две равные трапеции АВСЕ, вырезанные из плотной бумаги или картона. На одной трапеции выделен красным цветом треугольник ADE, а на другой – треугольник BFC. При объяснении нового материала учитель может на одной модели загнуть треугольник BCF, а на другой – треугольник ADE.

После этого предложить учащимся прокомментировать нахождение площади каждой фигуры на рис. 1.

Затем вывешиваем таблицу № 1. (Без формул).

Как найти площадь параллелограмма, у которого известны стороны а и b и угол ? между ними? Предлагаем решить самостоятельно, затем выслушиваем решение. Заполняем таблицу маркером в ходе урока.

Решить №459. Ученик решает на откидной доске. Проверяем, выясняем все возникшие вопросы, заполняем таблицу (до конца).

Домашнее задание: 1) Как разделить участок, имеющий форму параллелограмма на две равновеликие части межой, проходящей через произвольную точку, которая задана на плане?

2) Выучить п.51 решить №464(а,б), 465.

Урок №5.

Тема: “Площадь треугольника”.

Проверка домашней работы. Выполнение лабораторных работ.

Лабораторная работа № 1. Тема: определение площади параллелограмма.

Цель работы: закрепить навыки учащихся по нахождению площади параллелограмма.

Оборудование: модели параллелограммов, линейка, карандаш.

Задание.

1. Измерить основание параллелограмма, провести высоту – и измерить ее.

2. Записать формулы для вычисления площади параллелограмма

и вычислить ее.

3. Результаты записать в таблицу:

Лабораторная работа № 2. Тема: определение площади ромба.

Цель работы: закрепить навыки учащихся по нахождению площади ромба

Оборудование: модели ромбов, линейка, карандаш.

Задание.

4. Измерить основание ромба, провести высоту и измерить ее.

5. Записать формулы для вычисления площади ромба и вычислить ее.

6. Результаты записать в таблицу:

Изучение нового материала.

Начертите остроугольный треугольник, проведите все его высоты. Начертите тупоугольный треугольник, проведите все его высоты. Начертите прямоугольный треугольник, проведите его высоту.

На этом уроке вам предстоит доказать формулу площади треугольника, используя при доказательстве ранее изученные формулы.

Рассмотрите любой треугольник. Подумайте, как получить формулу для нахождения площади треугольника. Выслушать предложения уч-ся.

Затем прочитать по учебнику стр.219 п. 124.

Можно предложить уч-ся рассмотреть треугольник, равносоставленный с параллелограммом.

S_^=l/2ha

Этот способ вычисления площади многоугольников был известен еще Евклиду, который жил более 2000 лет назад.

Запишите площадь каждого треугольника, которые вы чертили в начале урока.

Заполните полезную таблицу.

Решить № 21 (самостоятельно, выборочно взять тетради на проверку).

Найдите площадь треугольника, если известны стороны а, b, с.

Обсуждение задачи. Какую из известных формул мы можем использовать при решении? Если известны все стороны, можно ли найти стороны треугольника? Как?

1) По теореме косинусов находим Cos A

2) Из равенства Sin²A+Cos²A = 1 найдем Sin A

3) По формуле S=l/2bcSinA найдем площадь треугольника.

Домашнее задание: выучить п.52, №464, 465

Урок №6.

Тема: “Площадь треугольника”.

Проверка домашнего задания.

Решить задачу (самостоятельно, с последующим объяснением).

В треугольнике две стороны равны 2см и 4 см. Высота треугольника, проведенная на меньшую из данных сторон, равна 5 см. Что можно сказать о величине высоты, проведенной на большую сторону? Найдите эту высоту.

Самостоятельно № 36(2), проверить выборочно.

Задача: выразите площадь треугольника через его стороны а, b, с и радиус вписанной окружности r. Сделайте чертеж к задаче.

S_СВА=S_COB+S_BOA+S_COA

S=l/2ar+1/2br+l/2cr=l/2r(a+b+c)= =pr, где р – полупериметр треугольника ABC.

Результат заносим в полезную таблицу.

При изучении теоремы синусов доказали, что

SinA/a = SinB/b = SinC/c = 1/2R

где R – радиус описанной около треугольника окружности.

a=2RsinA. Выразите площадь треугольника через его стороны и радиус описанной окружности и формулу S=l/2bcSinA.

Т.к. SinA=a/2R, то abc/4R=S.

В заключении урока систематизировать знания уч-ся по теме “Площадь треугольника” с помощью таблицы. Необходимо выучить все формулы, знание их будут необходимы при дальнейшем обучении. Этой таблицей можно будет пользоваться в 11 классе при нахождении площадей поверхностей многогранников и их объемов.

Домашнее задание: индивидуальное.

Урок №7.

Тема: “Площадь трапеции”.

Проверка домашнего задания. Изучение нового материала.

Начертите 5 трапеций. Проведите высоту. Докажите, что площадь трапеции равна S=l/2(a+b)h.

S=ah-l/2(b-a)h = ah+(bh-ah)/2 = l/2ah+l/2bh = l/2h(a+b).

S=l/2bh+l/2ah=l/2h(b+a)

Предлагаем уч-ся поделиться своими находками.

Затем прочитать п. 126 стр.221.

Запишите площадь каждой трапеции, построенной в начале урока.

Разобрать по учебнику решение задачи № 40.

Решаем задачи.

1) Средняя линия трапеции равна 10 см, а высота 5 см. Найдите площадь трапеции.

2) Найдите площадь трапеции по данным, отмеченным на рисунках:

Домашнее задание: п.53; №480, 481.

На последующих уроках решаем задачи на нахождение площадей многоугольников.