Тема урока: Решение логических задач методами алгебры высказываний.
Вид урока: Урок-деловая игра “Детективное агентство”.
Цели:
- Обучающая: усвоение и закрепление знаний.
- Развивающая: интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности.
- Воспитательная:
- Формирование интеллектуальной и эмоциональной активности учащихся.
- Воспитание уважительного отношения к сверстникам.
Оборудование урока: раздаточный дидактический материал, плакат, бумага и маркеры, песочные часы, выставка дополнительной литературы.
Участники ученики 9-х классов:
Босс-координатор действий агентства.
Детективы-остальные ученики.
Ход урока:
- Сегодня мы проведем с вами необычный урок, урок-деловая игра “Детективное агентство”.
Тема урока: Решение логических задач методами алгебры высказываний. Эпиграфом к уроку являются слова Б.Паскаля: “ВЕЛИЧИЕ ЧЕЛОВЕКА-В ЕГО СПОСОБНОСТИ МЫСЛИТЬ”.
Для проведения урока класс разбит на команды, три детективных агентства. Каждый ученик должен представить себя в роли детектива. Агентства в течение урока соревнуются в получении лицензии “На право проведения детективной деятельности”. Ваша задача, набрать наибольшее количество “шансиков”, которые увеличивают шанс агентства на получение лицензии. Кроме правильно выполненных заданий предусмотренных на уроке, так же будет учитываться корректное отношение к соперникам, т.е. агентство не выполняющая это условие будет оштрафована.
Вас сегодня ждут испытания в два этапа.
I этап. “Рассуждалки”-тест на профессиональную пригодность.
1.Команды приготовили домашнее задание, зашифровали названия своих агентств в анаграммы. Боссы каждого агентства представляют нам свои анаграммы (пока боссы выходят к доске, учитель представляет их).
Задание: Команды соперников должны расшифровать анаграммы.
За правильно выполненное задание агентство получает один “шансик”.
Расшифровываются одновременно анаграммы всех агентств, время на выполнение 2 мин.
2.Какой же детектив без погони.
Задание. Найдите путь от старта до финиша. Следуйте по направлению, которое указывает каждая стрелка, пока не доберетесь до следующей стрелки. Если вы встретились с двойной стрелкой, можете выбрать любое направление. (рисунок наклонен)
Рисунок 1.
Команды работают как индивидуально, так и коллективно в рамках своего агентства, в течение 5 мин. Вывешивают готовые маршруты на доску, и проанализированы действия агентства.
Награда два “шансика”.
3.Важной частью нашего интеллекта является способностью находить закономерности. Эта способность позволяет нам выделять в толпе знакомые лица, узнавать музыку и различать друга по походке.
Задание. Посмотрите на изображенные фигуры и спросите себя, какая из фигур принципиально отличается от остальных.
Рисунок 2.
Награда три “шансика”, время выполнения задания 4 мин.
4.Сыщик-любитель Варнике не раз помогал своим друзьям, знакомым, а то и просто случайным встречным разобраться в самых сложных и запутанных житейских ситуациях. Попробуйте посостязаться с ним в наблюдательности и сообразительности.
Задание. Ответьте на вопрос.
Задача 1. Вчера я вернулся домой со службы несколько раньше, чем обычно. Только я присел за стол, собираясь поужинать, как вдруг в комнате жены что-то упало. Я бросился туда и увидел лежащую на полу старинную вазу, которой моя жена очень дорожит. Ваза была разбита. В этот же момент из комнаты выбежал какой-то человек. Я кинулся за ним. Но, как только я оказался на улице, стекла моих очков тотчас запотели. Вы ведь знаете, что сейчас у нас стоят холодные вечера. Я споткнулся о грабли, упал и потерял незнакомца из виду. Я очень прошу вас разыскать злоумышленника. Ведь он, конечно, намеревался ограбить нашу квартиру. К тому же, как я объясню жене – а она сегодня возвращается от своих родителей, - каким образом ее ваза оказалась разбитой?
Рисунок 3.
- Я не могу понять, почему вы, господин Вальдемар, так боитесь своей жены. Вы вот пытаетесь ввести меня в заблуждение, ссылаясь на какого-то мнимого преступника, а будет гораздо лучше, если вы просто расскажете жене, как все произошло.
Почему инспектор Варнике отказался расследовать это происшествие?
Задача 2. во время пребывания по делам службы в Калифорнии инспектору Варнике представился случай продемонстрировать местной полиции свои незаурядные способности. Однажды он был срочно вызван на аэродром, расположенный недалеко от Лос-Анжелеса, из случайно услышанного телефонного разговора полиции стало известно, что рейс самолета, который отправляется на Аляску, закончится катастрофой. Один из пассажиров, намереваясь совершить самоубийство, берет с собой бомбу, которая при взрыве на огромной высоте даст ему двойную гарантию успеха задуманного им чудовищного предприятия. Жертвой маньяка станут десятки людей.
Рисунок 4.
Инспектор Варнике, прибыв на аэродром, принялся внимательно наблюдать за пассажирами, направлявшимися к самолету. Вот из только что подъехавшего автобуса вышло сразу пять человек. После беглого просмотра документов инспектор Варнике задержал одного из них.
На кого могло пасть подозрение Варнике?
Отвечает команда, которая приготовилась первая, другие команды могут дополнять. Награда по два “шансика” за верно решенную задачу.
Подведение итогов по первому этапу.
II этап. Мы подошли к этапу “Расследование дел”.
В архиве находятся нераскрытые дела. Материалы дела находятся у вас на столах. Дело надо рассмотреть, ход рассуждений оформить на доске. Но, одно условие применить методы алгебры высказываний.
Дело №1.
После обсуждения состава участников предполагаемого налета на банк было решено, что должны выполняться два условия:
а) если пойдет Арбузов, то должны пойти еще Брюквин или Вишневский;
б) если пойдут Арбузов и Вишневский, то пойдет и Брюквин.
Требуется установить, кто из перечисленных участников войдет в состав бандитской группировки.
Решение: Назначение в экспедицию Арбузова, Брюквина и Вишневского будем обозначать буквами А, Б, В соответственно. Тогда условие а) можно записать в виде А --> Б\/В, а условие б) в виде А /\В-->Б.
Так как оба условия должны выполняться одновременно, то они должны быть соединены логической связью “и”. Поэтому принятое решение можно записать в виде формулы
Отсюда следует, что если поедет в экспедицию Арбузов, то с ним должен ехать и Брюквин.
Дело №2.
Жили четыре друга-мошенника. Звали их Альберт, Карл, Дитрих и Фридрих. Фамилии мошенников те же, что и имена, только так, что ни у кого из них имя и фамилия не были одинаковыми, кроме того, фамилия Дитриха не Альберт.
Определите фамилию и имя каждого преступника, если дано, что имя мошенника, у которого фамилия Фридрих, есть фамилия того мошенника, имя которого фамилия Карла.
Решение: Будем обозначать имя и фамилию каждого мошенника двумя буквами в виде Xy, где X-первая буква имени, а y-первая буква фамилии.
Из условия задачи следует, что нет мошенников, соответствующих символам Аа, Дд, Кк, Фф, Да, то есть высказывания Аа=Дд=Кк=Фф=Да=0. Но есть мошенник Xy такой, что есть мошенник Уф, Кх. Следовательно, истинной является формула
Но Х
К, так как Кк=0; ХФ,
так как иначе будет два мошенника с фамилией Ф.
Аналогично, УК, УФ . Следовательно, или Х=Д,
или Х=А. Но ХД, так как при Х=Д, У=А и, значит, Х=А,
а У=Д. Поэтому истинной является формула 
Следовательно, мошенники с именами Карл, Альберт,
Дитрих и Фридрих имеют фамилии соответственно
Альберт, Дитрих, Фридрих и Карл.
Дело №3.
По подозрению в совершенном преступлении задержали Брауна, Джона и Смита. Один из них был уважаемым в городе стариком, другой был малоизвестным чиновником, третий - известным мошенником. В процессе следствия старик говорил правду, мошенник лгал, а третий задержанный в одном случае говорил правду, а в другом – лож. Вот что они утверждали:
Браун: '' Я совершил это, Джон не виноват''.
Джон: '' Браун не виноват, преступление совершил Смит''.
Смит: '' Я не виноват, виноват Браун''.
Требуется определить имена старика, мошенника и чиновника, и кто из них виноват, если известно, что преступник один.
Решение: Обозначим буквами Б, Д и С
высказывания: “виноват Браун”, “виноват Джон”,
“виноват Смит” соответственно. Тогда
утверждения, высказанные задержанными, можно
записать в виде конъюнкции: 
, из
которых по условию задачи две ложные, а одна
истинна, и поэтому будет истинна формула L 
Эта
формула не тождественно истинна. Действительно,
если истинно высказывание Д и ложны высказывания
Б и С, то L=0. Но, эта формула и не тождественно
ложна. Например, при истинном высказывании Б и
ложных высказываниях Д и С имеем L=1. В связи с этим
имеет смысл рассмотреть таблицу истинности
формулы L и проанализировать все случаи, при
которых формула L истинна.
Таблица истинности этой формулы имеет вид:
Отсюда видно, что формула L истинна в пяти из восьми занумерованных случаев. Случай 4 следует исключить из рассмотрения,
так как здесь оказывается истинными две конъюнкции, а это противоречит условию задачи.
В случаях 2,3 и 5 оказывается истинными по два
высказывания Б и Д, Б и С, Д и С соответственно, что
также противоречит условию задачи.
Следовательно, справедлив случай 7, то есть
преступник – Смит. Он известный мошенник, и оба
его высказывания ложны 
=0.
При этом Б=0 и Д=0, то есть высказывания Б и Д ложны.
Значит, истинна пара высказываний Джона, а у
Брауна первое высказывание ложно, а второе –
истинное. Отсюда ясно, что Джон – уважаемый в
городе старик, а Браун – малоизвестный чиновник.
ВЫВОД II этапа:
Решение логических задач с помощью алгебры логики, как правило, сводятся к записи условий задачи в виде формулы алгебры логики. В простейших случаях такая запись позволяет непосредственно найти решения задачи. В более сложных случаях приходится подвергать полученную формулу равносильными преобразованиями.
III этап. Итог урока.
Награждаются агентства. То агентство, которое набрало наибольшее количество “шансиков” получают лицензию. Два других детективных агентства получают сертификаты.
ВЫВОД В КОНЦЕ УРОКА.
Кем бы вы ни стали после окончания школы, вам всегда будут нужны знания, хорошая память, сообразительность, настойчивость, аккуратность, наблюдательность, острый глазомер, фантазия, пространственное воображение, внимательность, терпение, умение логически мыслить, анализировать, сопоставлять и обобщать факты.