Применение математических софизмов на уроках математики

Разделы: Математика

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СОФИЗМ – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.

Мартин ГАРДНЕР

Трудно, изучая математику, не заинтересоваться математическими софизмами. В 2003 году в издательстве “Просвещение” вышла книга А.Г. Мадеры и Д.А.Мадеры “Математические софизмы”, в которой более восьмидесяти математических софизмов, по крупицам собранным из различных источников. Цитата из книги: “Математический софизм представляет собой, по существу, правдоподобное рассуждение, приводящее к неправдоподобному результату. Причем полученный результат может противоречить всем нашим представлениям, но найти ошибку в рассуждении зачастую не так-то просто; иной раз она может быть и довольно тонкой и глубокой. Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключенной в софизме, зачастую оказываются более поучительными, чем просто разбор решений “безошибочных” задач. Эффектная демонстрация “доказательства” явно неверного результата, в чем и состоит смысл софизма, демонстрация того, к какой нелепице приводит пренебрежение тем или иным математическим правилом, и последующий поиск и разбор ошибки, приведшей к нелепице, позволяют на эмоциональном уровне понять и “закрепить” то или иное математическое правило или утверждение. Такой подход при обучении математике способствует более глубокому ее пониманию и осмыслению.”

Для развития познавательной деятельности математические софизмы можно применять при изучении математики в школе:

  1. на уроках, чтобы сделать их более интересными, для создания проблемных ситуаций;
  2. в домашних задачах, для более осмысленного понимания материала, пройденного на уроках (найти ошибку в МС, придумать свои МС);
  3. при проведении различных математических соревнований, для разнообразия;
  4. на занятиях факультативов, для более глубокого изучения тем математики;
  5. при написании реферативных и исследовательских работ.

Математические софизмы в зависимости от содержания и “прячущейся” в них ошибке можно применять с различными целями на уроках математики при изучении различных тем.

При разборе МС выделяются основные ошибки, “прячущиеся” в МС:

  1. деление на 0;
  2. неправильные выводы из равенства дробей;
  3. неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;
  4. нарушения правил действия с именованными величинами;
  5. путаница с понятиями “равенства” и “эквивалентность” в отношении множеств;
  6. проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;
  7. неравносильный переход от одного неравенства к другому;
  8. выводы и вычисления по неверно построенным чертежам;
  9. ошибки, возникающие при операциях с бесконечными рядами и предельным переходом.

Самыми популярными являются 1-3.

Цели применения МС на уроках математики могут быть самыми разнообразными:

  • изучение исторического аспекта темы;
  • создание проблемной ситуации при объяснении нового материала;
  • проверка уровня усвоения изученного материала;
  • для занимательного повторения и закрепления изученного материала.

Часто применяя на уроках МС, я составила с помощью учеников на факультативных занятиях таблицу применения МС на уроках алгебры в7-8-[ классах (Приложение1). Это была интересная и познавательная для ребят работа, которая завершилась важным практическим результатом, которым можно воспользоваться при проведении урока.

В книге[1] представлена большая группа софизмов, которые можно применять при изучении темы “Свойства арифметического квадратного корня”, повторяя при этом темы “Преобразование многочленов”, “Формулы сокращённого умножения”.

Например:

“Все числа равны между собой”

Возьмем два произвольных неравных между собой числа а и b и запишем для них очевидное тождество:

а-2ab+b= b-2ab+ а

Слева и справа стоят полные квадраты, т. е. можем записать

(а-b)2 = (b-а)2. (1)

Извлекая из обеих частей последнего равенства квадратный корень, получим:

a-b = b-a (2)

или 2а = 2b, или окончательно

a=b.

“Единица равна двум”

Простым вычитанием легко убедиться в справедливости равенства

1-3 = 4-6.

Добавив к обеим частям этого равенства число , получим новое равенство

1-3 + = 4-6+,

в котором, как нетрудно заметить, правая и левая части представляют собой полные квадраты, т. е.

(1-)=(2-)

Извлекая из правой и левой частей предыдущего равенства квадратный корень, получаем равенство:

1-=2-

откуда следует, что

1=2.

Комментарий.

По определению представляет собой некоторое неотрицательное число, которое, будучи возведено в квадрат, даст х2. Ясно, что этому определению удовлетворяют два числа, а именно х и -х. Итак, если число х неотрицательно (х>0), то =х; если же число х отрицательно, т. е. число -х положительно, то = - x. Отсюда заключаем, что (свойство арифметического квадратного корня), что не учитывается в содержании этих софизмов и приводит к ложным выводам.

Но все же самой популярной ошибкой в софизмах является “Деление на 0”. “Деление на нуль является одним из наиболее распространенных источников ошибок при проведении преобразований различных выражений и при решении уравнений. “Сокращение” уравнений на общий множитель зачастую приводит либо к потере корней уравнения, либо к приобретению посторонних корней, либо вообще к бессмыслице.” [1]

Предупредить ошибки подобного рода поможет рассмотрение софизмов. Например при изучении темы “Преобразования многочленов” в 7кл.

“Неравные числа равны.”

Возьмем два неравных между собой произвольных числа а и b. Пусть их разность равна с, т. е. а-b = с. Умножив обе части этого равенства на а-b, получим

(а-b)2 = = c(a-b),

a раскрыв скобки, придем к равенству

a2-2ab + b2 = = ca-cb,

из которого следует равенство

а2- аb - ас = аb -b2 -bc.

Вынося общий множитель а слева, и общий множитель b справа за скобки, получим

а(а-b-с) = b(а-b-с). (1)

Разделив последнее равенство на (а-b-с), получаем, что

а=b,

другими словами, два неравных между собой произвольных числа а и b равны.

Разбор софизма: Здесь ошибка совершена при переходе от равенства (1) к равенству а = b. Действительно, согласно условию разность двух произвольных чисел а и b равна с, т. е. а-b = с, откуда а-b-с = 0. Можно записать равенство (1) в виде а-0= b-0. Переход от равенства (1) к равенству а = b осуществляется путем деления обеих частей (1) на равное нулю число а-b-с = 0. Следовательно, здесь мы имеем деление нуля на нуль, которое не имеет смысла, поскольку равенство а0 = b0 выполняется при любых а и b. Поэтому вывод, сделанный в софизме, что числа а и b равны, неверен.

Неоценимую помощь оказывают МС для более глубокого осмысления материала на уроках геометрии. Например, софизм, который можно использовать на уроке по теме “Окружность”, повторяя при этом тему “Признаки равенства треугольников”:

“В любой окружности хорда, не проходящая через её центр, равна её диаметру”

В произвольной окружности проводим диаметр АВ и хорду АС. Через середину D этой хорды и точку В проводим хорду BE. Соединив точки С и Е, получаем два треугольника ABD и CDE. Углы ВАС и СЕВ равны как вписанные в одну и ту же окружность, опирающиеся на одну и ту же дугу; углы ADB и CDE равны как вертикальные; стороны AD и CD равны по построению.

Отсюда заключаем, что треугольники ABD и CDE равны (по стороне и двум углам). Но стороны равных треугольников, лежащие против равных углов, сами равны, а потому

 

АВ=СЕ

т. е. диаметр окружности оказывается равным некоторой (не проходящей через центр окружности) хорде, что противоречит утверждению о том, что диаметр больше всякой не проходящей через центр окружности хорды.

Разбор софизма.

В софизме доказывается, что два треугольника ABD и CDE равны, ссылаясь при этом на признак равенства треугольников по стороне и двум углам. Однако такого признака нет. Правильно сформулированный признак равенства треугольников гласит:

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рассматривая МС на уроках геометрии можно в ненавязчивой форме подчеркнуть важность соответствия условия задачи и правильно построенного к ней чертежа или схемы.

Например, один из самых интересных софизмов:

“Окружность имеет два центра”

Построим произвольный угол ABC и, взяв на его сторонах две произвольные точки D и Е, восстановим из них перпендикуляры к сторонам угла . Перпендикуляры эти должны пересечься (если бы они были параллельны, параллельны были бы и стороны АВ и СВ). Обозначим их точку пересечения буквой F.

Через три точки D, E, F проводим окружность, что всегда возможно, так как эти три точки не лежат на одной прямой. Соединив точки Н и G (точки пересечения сторон угла ABC с окружностью) с точкой F, получим два вписанных в окружность прямых угла GDF и HEF.

Итак, мы получили две хорды GF и HF, на которые опираются вписанные в окружность прямые углы GDF и HEF. Но в окружности вписанный прямой угол всегда опирается на ее диаметр, следовательно, хорды GF и HF представляют собой два диаметра, имеющие общую точку F, лежащую на окружности.

Поскольку эти две хорды, являющиеся, как мы установили, диаметрами, не совпадают, то, следовательно, точки О и О19 делящие отрезки GF и HF пополам, представляют собой не что иное, как два центра одной окружности.

Разбор софизма.

Ошибка здесь кроется в неправильно построенном чертеже. На самом деле окружность, проведенная через точки Е, F и, обязательно пройдет через вершину В угла ABC, т. е. точки В, Е, F и D обязательно должны лежать на одной окружности. Тогда, конечно, никакого софизма не возникает.

Действительно, восстановив перпендикуляры в точках Е и D к прямым ВС и ВА соответственно и продолжив их до взаимного пересечения в точке F, получаем четырехугольник BEFD. У этого четырехугольника сумма двух его противоположных углов BEF и BDF равна 180°. Но согласно известному в геометрии утверждению вокруг четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна 180°.

Отсюда следует, что все вершины четырехугольника BEFD должны принадлежать одной окружности. Поэтому точки G и Н совпадут с точкой В и у окружности окажется, как и должно быть, один центр.

Очевидна и важность геометрических фактов, повторяемых во время разбора этого МС.

С большим интересом воспринимают МС ребята 5-6-х классов. Например МС, где нарушены правила действий с именованными величинами.

Один рубль не равен 100 копеек.

1 р=100 коп

10 р=1000 коп

Умножим обе части этих верных равенств, получим:

10 р=100000 коп, откуда следует:

1 р=10000 коп.

Применение этого софизма является также пропедевтикой использования именованных величин при решении физических задач.

И, конечно, я всегда начинаю знакомить ребят с математическими софизмами, утверждая, что:

“Два умножить на два будет пять”

2*2=4

44=55,

вынесем за скобки слева 4, справа5

4(11)=5(11),

разделим левую и правую часть на (11), получим

4=5, откуда следует

2*2=5.

Начиная с этого урока, ребята с нетерпением ждут новых МС.

Очень интересны МС древнегреческих философов-математиков Зенона, Прокла, Перрона. Они открывают обширное поле деятельности для исследовательских работ учащихся. В книге [1] представлены следующие “авторские” МС: парадокс Зенона “Ахиллес никогда не догонит черепаху”, софизм Прокла “Две непараллельные на плоскости прямые не пересекаются”, софизм Перрона “Единица есть наибольшее натуральное число”.

Хотелось бы рекомендовать коллегам использовать математические софизмы более разнообразно в своей практике. Это сделает изучение математики более увлекательным. Огромную помощь окажет им замечательная книга А.Г. Мадеры и Д.А.Мадеры “Математические софизмы”.

(В Приложении 2 содержаться тексты математических софизмов из таблицы Приложение1.)

Литература.

  1. А.Г. Мадера и Д.А.Мадера, “Математические софизмы”, М., “Просвещение”, 2003г.
  2. Обреимов В.И., , “Математические софизмы”,СПб,1989г.