Внеклассное мероприятие по математике: "Математика и красота"

В наслаждении красотою есть
элемент наслаждения мышлением.

Аристотель

Математика – это не только стройная система законов, теорем, задач, но и уникальное средство познания красоты. А красота многогранна и многолика. Она выражает высшую целесообразность устройства мира, подтверждает универсальность математических закономерностей, которые действуют одинаково эффективно в кристаллах и в живых организмах, в атомах и во Вселенной, в произведениях искусства и научных открытиях.

Красота помогает с радостью воспринимать окружающий мир, математика даёт возможность осознать явления и упрочить знания о гармонии всего мира.

Изучая математику, мы открываем всё новые и новые слагаемые красоты, приближаясь к пониманию, а затем и к созданию красоты и гармонии.

Когда раскрывается эффективность применения математических методов в различных областях науки, культуры, искусства, не ущемляется роль математики, не подменяется другими предметами, а, наоборот, повышается интерес к предмету, выявляется высокое значение математики, процесс познания её делается увлекательным.

Интеграция школьных предметов между собой, интеграция их с искусством, со всеми сторонами жизни даёт возможность гармонично развиваться личности, даёт ему целостное представление об окружающем мире. Опасностью работы в классах с углублённым изучением математики является увлечение только решением задач. Кроме решения красивых задач на уроках необходимо изготовление красивых необычных моделей, проведении интересных внеклассных часов, показ взаимосвязи математики и красоты в искусстве, в природе, в других науках, в технике. Оформление кабинета математики важно и для создания настроения прикосновения к науке, прикосновения души к прекрасному.

Сценарий вечера

Оформление зала.

1. На стенах повешены картины богов Древней Греции (“История древнего мира”, 6 кл.).

2. На сцене плакаты: пентаграмма, пропорция: а /А = А /(а+А) – золотое сечение, Парфенон, мажорный аккорд 1: 4/5: 2/3 – до, ми, соль, высказывание: “В наслаждении красотою есть элемент наслаждения мышлением” Аристотель.

3. Плакат, вносимый на сцену, пирамида Хеопса и музей в Венесуэле.

4. На столе – модели правильных и звёздчатых многогранников, модель пчелиных сот, экспонаты: морская раковина, морская звезда, цветок, кристаллические решётки.

5. Фотографии храма Знамения Пресвятой Богородицы в селе Дубровицах близ города Подольска, фото церкви Вознесения в селе Коломенском (ныне Москва), храма Василия Блаженного, собора Святой Екатерины в городе Кингисеппе (Ям, Ямбург) Ленингр. обл.

Ведущая. По словам А. Августина, “Ничто не нравится, кроме красоты, в красоте – ничто, кроме форм, в формах – ничто, кроме пропорций, в пропорциях – ничто, кроме числа”.

Ведущий. Начинаем наш вечер “Математика и красота” с представления, поскольку ещё великий поэт И. В. Гёте сказал: “Ничто так прочно не отрешает от мира, как искусство, и ничто так прочно с ним не связывает, как искусство”. Звучит музыка…

Ведущая. Устройство мира, его гармония – это вечная тема. Слово “гармония” означает связь, созвучие, соразмерность, согласованность частей одного целого.

Ведущий. Представим себе, что мы находимся в сказочном саду, где можем встретить любого учёного, поэта или художника. Например, замечательный математик Пифагор жил в VI веке до н.э. (Выходит Пифагор медленно и задумчиво).

Приветствую Тебя, о, таинственный Пифагор! Расскажи нам об основах Твоего учения?

Пифагор. Число – это закон и связь мира, сила, царящая над богами и смертными. Ты слышишь звуки музыки? (Звучит музыка…) Благозвучные, гармоничные аккорды не случайны. Если длину струны или длину флейты уменьшить вдвое, то тон повысится на одну октаву. При звучании трёх струн гармоничный аккорд получается, когда длины этих струн относятся как 1: 4/5: 2/3. На числах основана гармония Вселенной.

Ведущий. Почтенный Пифагор! Вот и философ Платон, он жил позже Тебя на 100 лет, в Афинах он основал школу, которая многое сделала для развития математики.

Платон. Я глубоко чту Тебя легендарный Пифагор! Именно в Твоей школе, о Пифагор, получила своё первоначальное оформление математическая теория музыки, которая была разделом математики и называлась гармонией (тихо играет музыка). Да, вся жизнь человеческая нуждается в ритме и гармонии.

Пифагор. Очень многое я не открыл, а узнал, путешествуя по Египту, Вавилону, Индии.

Например, знаменитый звёздчатый многоугольник, служивший в моей школе символом здоровья и опознавательным знаком (показывает на звезду).

Этот знак – пентаграмма появилась очень давно и уходит своими корнями в Месопотамию.

Он впервые был обнаружен при раскопках Древнего Вавилона 3000 лет до н. э. Это был геометрический знак пяти планет (Юпитера, Меркурия, Марса, Сатурна, Венеры).

Платон. Золотая пропорция есть одно из основных геометрических свойств пентаграммы. Трудно найти объект, в котором эта пропорция проявилась бы более наглядно. Все отрезки на сторонах пентаграммы, если их взять последовательно, составлены по закону золотого сечения, причём на каждой стороне пентаграммы золотое сечение присутствует двоекратно.

Ведущая. Невыпуклый пятиугольник в жизни мы называем пятиконечной звездой, а в науке пентаграммой (показывает на плакате). Да, пентаграмма устроена по закону золотого сечения. Но её никто не изобретал, её только скопировали с натуры. Видимо, пентаграмма была известна значительно раньше, чем золотая пропорция.

Из пропорции легко найти А. Если, а+А = 1, то А0,618 (см. рис.).

Пифагор. Великие боги! Значит, люди научились записывать задачи огромной важности несколькими закорючками

Ведущий. Ты попал прямо в цель, многомудрый Пифагор!

Платон. Именно морская пятиконечная звезда “подсказала” нам золотую пропорцию. Это соотношение впоследствии назвали “золотым сечением”. Там, где оно присутствует, ощущается красота и гармония. Хорошо сложённый человек, статуя, великолепный Парфенон, созданный в Афинах, тоже подчинены законам золотого сечения. Да, вся жизнь человеческая нуждается в ритме и гармонии (уходят со сцены).

Ведущий. По словам Ф. Шеллинга, архитектура есть застывшая музыка, а, по словам И. В. Гёте, архитектура – отзвучавшая мелодия.

Ведущая. (Звучит музыка, вступление). Великий математик Г. Харди впоследствии сказал:

“Математик так же, как художник или поэт, создаёт узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей… Узоры математика так же, как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны; идея так же, как цвета или слова, должны гармонически соответствовать друг другу. Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики”.

Посмотрим греческий танец “Сиртаки” - один из древнейших и эмоциональных узоров.

Ведущий. Я вижу Архимеда и Евклида, они жили в III в. до н. э. Они о чём-то беседуют?

Евклид. Мы все были увлечены золотой пропорцией. О, великий Архимед, Ты применял её при описании трактата “О спиралях”.

Архимед. А Ты, всеизвестнейший Евклид, рассматривал пропорцию, которую мы ныне называем золотым сечением во 2 книге своих “Начал”, а в следующих книгах – для построения правильного пятиугольника и правильных додекаэдра и икосаэдра.

Евклид. Ещё Пифагор знал о правильных многогранниках. Соразмерность и красота их настолько поражали пифагорейцев, что они называли их космическими телами. По-гречески слово “космос” означает украшение, порядок (общий корень со словом “косметика”).

Архимед. Называют их и Платоновыми телами, потому что Платон связал с этими телами формы атомов основных стихий природы: земли, огня, воздуха, воды и Вселенной.

Ты сам, Евклид, посвятил им всю 13-ю книгу своих “Начал”.

Евклид. Многие учёные знали чудесные свойства куба, тетраэдра, октаэдра, икосаэдра и додекаэдра. Каждый из этих тел можно вписать в сферу и около каждого описать сферу. Все они имеют жёсткую форму – не обладают никакой подвижностью.

Ведущий. Да, с этим свойством сталкивался всякий, кто склеивал модель любого правильного многогранника. Знали об этом свойстве и античные математики, но доказал его для любого выпуклого многогранника только Коши.

Ведущий. В саду гармонии мы можем поговорить с кем угодно. Вот к нам подходят два замечательных деятеля эпохи Возрождения: гениальный живописец, учёный и инженер Леонардо да Винчи и автор популярных руководств по математике монах Лука Пачоли.

Пачоли. Дорогой Леонардо, ты прекрасно выполнил иллюстрации для моей книги “О божественной пропорции”. Это видно на прекрасном портрете Моны Лизы – Джоконды.

Леонардо. Твоя книга о золотом сечении указывает путь и строителям дворцов и храмов.

Пачоли. Да, я считаю “золотое сечение” чудесным, исключительным, превосходнейшим.

Ведущая. Осмелюсь вас прервать, почтенные сеньоры, но золотое сечение встречается и в природе. Посмотрим на раковину. Радиусы спирали соответствуют золотому сечению.

Леонардо. Да, надо учиться у природы. Она – замечательный сад гармонии. Но в основе красоты многих форм лежит и симметрия, что по-гречески означает “соразмерность”.

Пачоли. Ты прав, Леонардо. Почти все живые существа построены по законам симметрии.

Ведущая. Вы, безусловно, имеете в виду различные виды симметрии. Среди цветов наблюдается поворотная симметрия, когда каждый лепесток при повороте займёт положение соседнего. Цветок совместится с самим собой (показывает на модели). Минимальный угол такого поворота для ириса – 120°, для колокольчика – 72°, для нарцисса – 60°. В еловых шишках наблюдается винтовая симметрия.

Леонардо. Нельзя не увидеть симметрию в огранённых драгоценных камнях. Многие гранильщики стараются придать бриллиантам форму тетраэдра, куба, октаэдра или икосаэдра (показывает модели). В основе их линий лежит и золотая пропорция.

Пачоли. Ты забыл о додекаэдре, дорогой Леонардо. А ведь это благороднейшее из всех тел. Он покрыт правильными пятиугольниками, тесно связанными с “золотой” пропорцией.

Ведущий. Многие материалы состоят из мельчайших частиц – кристаллов, которые имеют форму многогранника. Внутреннее устройство кристалла представляется в виде решётки, в ячейках которой размещены по законам симметрии одинаковые мельчайшие частицы. Всего - 32 вида симметрии идеальных форм кристалла.

Леонардо. Значит, различные виды симметрий подчиняются математическим законам.

Ведущая. Правильные многогранники самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Кристаллы поваренной соли имеют форму куба. Монокристаллы алюминиево-калиевых квасцов имеет форму правильного октаэдра. Кристаллы сернистого колчедана имеют форму додекаэдра. Кристаллы сурьменистого сернокислого натрия имеют форму тетраэдра. И правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора.

Ведущий. Надо упомянуть ещё о периодичности или ритме как о законе гармонии. Принцип ритма, как и принцип симметрии, пронизывает мир во всех направлениях: ритмы смены дня и ночи, приливов и отливов, цветения растений и сезонных миграций животных; ритмы дыхания и сердцебиения; бегущие во времени музыкальные и поэтические ритмы и застывшие в пространстве ритмы архитектурных сооружений, оград, орнаментов.

Ведущий. Не правда ли прекрасны бегущая волна, повторяющиеся соловьиные трели? Периодические колебания бесконечно разнообразны. Многие из них описываются тригонометрическими функциями, а над ними работали великие учёные Фибоначчи, Эйлер.

Пачоли. Нам непонятны твои слова “тригонометрические функции”, но мы знаем, что человек способен ещё много интересного узнать о красоте мира.

Леонардо. Но как коротка человеческая жизнь! Я не успел узнать и десятой части того, что меня интересовало.

Пачоли. Не печалься, Леонардо. Твои идеи воплотят в жизнь твои ученики (уходят).

Ведущая. У нас в гостях несколько великих учёных: Декарт, Кеплер, Пуансо, Лобачевский.

Кеплер. Рад встрече с тобой, уважаемый месье Декарт, это тебе принадлежит открытие формулы В-Р+Г=2, что означает: если от числа вершин отнять число рёбер и прибавить число граней многогранника, то всегда получится число два.

Декарт. Однако, только в 1755 году величайшему Леонарду Эйлеру, сделавшему наибольшее число открытий, около 900, удалось доказать, что это замечательное равенство справедливо для произвольного выпуклого многогранника.

Ведущий. Лагранж, Лаплас и Гаусс уважали Эйлера, считали его своим учителем и следовали за ним во всей своей деятельности. Перед нами проходит горделивый ряд великих открытий. Но даже такие гении с величайшими достижениями не освобождены от добросовестной, доходящей до мелочей ученической работы.

Ведущая. Поражает любовь и преданность науке великих учёных, гармония их жизни.

Их стремление к науке можно выразить словами Б. Пастернака:

Во всём мне хочется дойти
До самой сути:
В работе, в поисках пути,
В сердечной смуте.

Пуансо. Великий Иоганн Кеплер, известна твоя книга “Гармония мира”, а в произведении “О шестиугольных снежинках” ты писал: “Построение пятиугольника невозможно без той пропорции, которую современные математики называют “божественной”. Ты открыл первые два правильных звёздчатых многогранника.

Кеплер. Многие формы звёздчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки – это звёздчатые многогранники. Известно несколько тысяч различных типов снежинок.

Но тебе, Луи Пуансо, через 200 лет удалось открыть два других звёздчатых многогранника. Поэтому теперь звёздчатые многогранники называют телами Кеплера – Пуансо. Но где их применить? Разве, что в ювелирном деле. Что Вы на это скажете, господин Лобачевский?

Н. Лобачевский. “Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира”.

Ведущий. С помощью звёздчатых многогранников в скучную архитектуру наших городов врываются невиданные космические формы. Необычный многогранник “Звезда” доктора искусствоведческих наук В. Н. Гамаюнова вдохновил архитектора В. А. Сомова на создание проекта Национальной библиотеки в Дамаске (рис. 141 из учеб. геометр. И. М. Смирновой).

Ведущая. Пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии. Её вид доставляет эстетическое наслаждение. Но вот появились новые современные материалы, конструкции и тектоника. Перевёрнутая пирамида – музей современного искусства в Венесуэле, построенный по проекту бразильского архитектора Оскара Нимейера, восхищает нас.

Ведущий. Пчёлы – удивительные творения природы. Они маленькие экономисты. Пчелиные соты представляют собой пространственный паркет, поскольку заполняют пространство так, что не остаётся просвета. В сечении соты представляют паркет из правильных шестиугольников (модель сот). Это математический шедевр из воска.

Ведущая. Природные закономерности используются в архитектуре при постройке ультрасовременных зданий. Как, глядя на красивейшее здание в Москве недалеко от проспекта Вернадского, ещё раз не вспомнить о пчелиных ячейках.

Ведущий. Модели самой причудливой и подчас неожиданной формы радуют глаз. Звёздчатый многогранник – восхитительное красивое геометрическое тело, созерцание которого даёт эстетическое наслаждение (модели звёздчатых икосаэдра и додекаэдров).

Ведущая. Поэтому книга М. Веннинджера “Модели многогранников” замечательна и полезна во всех отношениях. Известный математик и педагог И. М. Яглом писал в послесловии к этой книге: “В книге собраны изображения изумительно красивых пространственных форм… Особую пользу она принесёт тем, кто вслед за автором захочет собственноручно смастерить кое-какие из описанных моделей”.

Ведущий. Известно изречение французского поэта Валерии:

“Если бы логик всегда должен был оставаться логически мыслящей личностью, он бы не стал и не мог бы стать логиком; или если поэт всегда будет только поэтом, без малейшей склонности абстрагировать и рассуждать, никакого следа в поэзии он не оставит”.

Ведущая. Это признавал выдающийся математик К. Вейерштрасс. Он сказал: “Математик, который не является отчасти поэтом, никогда не достигнет совершенства в математике”.

Ведущий. Великий Лейбниц высказал новую мысль: “исчисление пропорций, которое совершается при восприятии музыки, происходит скрытным неосознанным образом”.

Ведущая. После создания точной математической теории струны, после того, как физики и математики поняли, что любой музыкальный инструмент – физико-акустический прибор, судьба музыки уже неотделима от математики. Математическому анализу подлежат и звук, и тембр, и лад, и гармония.

Ведущий. Джемс Сильвестр был не только математиком, но и поэтом, остряком и наряду с Лейбницем, наиболее выдающимся создателем новых терминов за всю историю математики. Он называл музыку математикой чувств, а математику – музыкой разума.

Ведущая. Философ Д. Дидро, написавший “Энциклопедию наук, искусств и ремёсел” сказал: “Красота проявляется, возрастает, изменяется, падает и исчезает вместе с отношениями”. Посмотрим красоту итальянского танца “Каприччио” (исполняется танец)

Ведущий. Когда Сократ спросил у Калликла: “Теперь, скажи мне, если отнять у поэзии в целом напев, ритм и размер, останется ли что, кроме слов?” – Ровно ничего, ответил тот.

Сознательно ли, как у Гомера и Данте, или подсознательно, как у Пушкина, но мы видим, что поэзия Великих немыслима без своего структурного остова.

Ведущая. Мы знаем, что на самом деле наши персонажи изъяснялись совсем иначе. Но в решениях современных дизайнеров, в созданиях архитекторов и скульпторов, в творениях природы мы будем всегда видеть гармонию.

Ведущий. В книге “Математика и искусство” А. В. Волошинов пишет: Искусство – самостоятельная область культуры, оно соткано из диалектически противоположных начал – материального и духовного, рассчитанного и угаданного. Оно доступно точному математическому анализу в первой части. Но во второй – к ней надо прислушаться душой. Именно такой взгляд на математику и искусство символизирует древнекитайский символ гармонии Инь – Янъ. Но красота есть не только в искусстве. Красота - всюду. Есть она и в науке, и в особенности в её жемчужине – математике. Помните, что наука во главе с математикой откроет перед нами сказочные сокровища красоты.

(Раздаются условия кроссвордов, и объявляется антракт).

После антракта

Ведущая. Великий поэт А. С. Пушкин говорил в стихах: Из наслаждений жизни

Одной любви музыка уступает,
Но и любовь – мелодия…(Звучит музыка).

Ведущий. (Объявляет). Парад слагаемых красоты.

Пропорция, Симметрия, Периодичность, Случайность и Рост. (Пять девушек проходят по сцене, в костюмах которых именно преобладает одна из слагаемых, и называют себя).

Ведущий. Г. Лейбниц писал: “Люди проявляют больше всего изобретательности в играх, и потому математические игры заслуживают внимания не сами по себе, а потому, что развивают находчивость”.

И мы переходим к занимательной части нашего вечера.

Викторина

Один из вопросов:

Два из них Кеплер открывал,
Затем и Пуансо продолжил.
Их Веннинджер не забывал,
И каждый знать бы должен.
Они строги, красивы, гармоничны, Хотя не очень-то практичны.

Вопрос: О чём идёт речь?

Ответ: Это правильные звёздчатые многогранники.

Вопросы к кроссворду 1. (Кроссворд – на рис. 1, ответы на рис. 2)

По горизонтали. 1. “Высшая степень творческой одарённости, употребляемой на благо человечества”. 2. Царица всех наук. 3. Геометрия живописи. 4. Искусство отражать действительность в звуковых художественных образах. 5. Великий учёный, первым открывший правильные звёздчатые многогранники. 6. Одно из преобразований на плоскости и в пространстве. 7. Часть пространства внутри пики звёздчатого многогранника. 8. Наука о прекрасном (изучающая сферу чувств и художественной деятельности людей). 9. Искусство изображения с помощью красок, наносимых на поверхность. 10. Искусство строить здания и другие сооружения. 11. Храм богини Афины в Греции. 12. “Рисунок, представляющий собой определённое сочетание, переплетение линий, красок, фигур, теней”. 13. Кривая линия с изменяющимся радиусом кривизны. 14. То, чему невольно радуется человек. 15. Великий учёный-математик, написавший трактат “О спиралях”.

По вертикали. 1. Согласованность частей одного целого. 2. Сечения - “Божественная” пропорция. 3. Имя учёного, продолжившего открытие правильных звёздчатых многогранников. 4. Искусство, изображения которого имеют объёмную форму; ваяние, высекание. 5. Искусство стихосложения и стихотворные произведения. 6. Пропорция - основной закон гармонии, красоты. 7. Опознавательный знак в школе Пифагора.

Вопросы к кроссворду 2.

По горизонтали. 1. Имя учёного математика, сравнившего узоры художника и поэта с узорами математика. 2. Один из основных законов красоты. 3. “Равномерно повторяющееся чередование каких-либо сменяющих друг друга элементов”. 4. Великий учёный древности, по имени которого называли правильные многогранники. 5. Раздел математики, изучающий форму, размеры, и свойства различных фигур на плоскости и в пространстве. 6. Правильный гексаэдр. 7. Известный учёный эпохи Возрождения, автор трактата “О божественной пропорции”. 8. Щипковый музыкальный инструмент. 9. Правильный четырёхгранник. 10. Правильный шестигранник. 11. Правильный двенадцатигранник. 12. “Мыслимый, воображаемый образец совершенства”. 13. Величайший учёный Древней Греции, прославивший пентаграмму. 14. Основной закон гармонии.

По вертикали. 1. Математическое название пятиконечной звезды. 2. Великий математик, написавший “Начала”. 3. Правильный двадцатигранник. 4. “Внешние (видимые, осязаемые) очертания предмета”, фигура. 5. Правильный восьмигранник. 6. Столица древней империи. 7. Искусство строить здания и другие сооружения. 8. Величайший учёный математик, создавший наибольшее количество научных трудов. 9. “Мысленный образ чего-нибудь”, “намерение, замысел, план”, убеждение.

Ответы к кроссворду 1.

По горизонтали. 1. гений. 2. математика. 3. перспектива. 4. музыка. 5. Кеплер. 6. поворот. 7. угол. 8. эстетика. 9. живопись. 10. зодчество. 11. Парфенон. 12. узор. 13. спираль.  14. красота. 15. Архимед.

По вертикали. 1. гармония. 2. золотое. 3. Пуансо. 4. скульптура. 5. поэзия. 6. сечение. 7. звезда.

Ответы к кроссворду 2.

По горизонтали. 1. Харди. 2. симметрия. 3. ритм. 4. Платон. 5. геометрия. 6. куб. 7. Пачоли. 8. арфа. 9. тетраэдр. 10. гексаэдр. 11. додекаэдр. 12. идеал. 13. Пифагор. 14. пропорция.

По вертикали. 1. пентаграмма. 2. Евклид. 3. икосаэдр. 4. форма. 5. октаэдр. 6. Рим. 7. архитектура. 8. Эйлер. 9. Идея.

Кабинет математики

На одной стене оформлено семь стендов на тему: “Математика и красота”.

На первом и последнем записаны высказывания:

В математике есть своя красота,
Как в живописи и поэзии.

Н. Е. Жуковский

Музыка - математика чувств,
А математика - музыка разума.

Д. Сильвестр

Остальные стенды этой стены изображены на рисунках 3-7

Используемая литература.

1. Геометрия. Учебное пособие для 10 – 11 классов гуманитарного профиля. И. М.Смирнова. Москва “Просвещение”, 1997.
2. Двадцать уроков гармонии. Гуманитарно-математический курс. А.И.Азевич. Москва “Школа-Пресс”, 1998.
3. “ Математика и искусство” А. В. Волошинов, Москва, “Просвещение”, 2000.
4. Эстетика урока математики. Пособие для учителей. И.Г.Зенкевич. Москва “Просвещение”, 1981.
5. Гуманитарная математика. В. И. Рыжик. Газета “Математика” № 41, 1997 г. Изд. дом “Первое сентября”.
6. Краткий очерк истории математики. Д. Я. Стройк, изд. “Наука”, Москва, 1969.
7. “За страницами учебника математики” Книга для учащихся 10 – 11 классов, Москва, “Просвещение” АО “Учебная литература”, 1996.
8. “Гипотеза об истоках золотого сечения” Н.Н.Нафиков. © “Школа-Пресс”. Ж. “Математика в школе” № 3, 1994.
9. “Математическое путешествие в мир гармонии” (устный журнал) Е.С.Смирнова, Н.А. Леонидова (Москва). © “Школа-Пресс”. Ж. “Математика в школе” № 3, 1993.
10. “Книга М. Веннинджера “Модели многогранников” на занятиях кружка” И.И. Дырченко (г. Ташкент) © “Школа-Пресс”. Ж. “Математика в школе” № 3, 1993.
11. Кроссворды и вопрос в стихотворной форме сочинила автор этой статьи Т.И.Завалишина.