Урок алгебры и начала анализа в 11-м классе по теме: "Площадь криволинейной трапеции"

Разделы: Математика

Цели:

  • формирование понятия криволинейной трапеции на ориентировочном этапе;
  • формирование понятия первообразная на этапе применения.

Задачи:

  • познакомить учащихся с понятием криволинейной трапеции;
  • научить находить площадь криволинейной трапеции.

Тип урока: объяснение нового материала.

Домашнее задание: п.29 № 353(в), 354 (а,б,г), дополнительное опережающее задание для сильных учащихся:

  1. Найдите площадь, ограниченную графиком функции у = 2х – х2 и осью абсцисс.
  2. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х3 – 12х и прямыми х = 0, х = -2, у = 0.
  3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х(4-х) и осью абсцисс.
  4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х2-4х+4 и прямой у = -х+8.
  5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х4-4х+3 и прямыми х =0, х = -1, у =0.
  6. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = -х2-2х, касательной к этому графику, проходящей через точку с абсциссой х = -2, и осью ординат.

ХОД УРОКА

1. Повторить понятие первообразной, основные формулы.

    Определение: Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство:

    F'(x)=f(x)

    Основное свойство первообразных:

    Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде

    F(x) + C,

    где F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на промежутке I, С - произвольная постоянная.

    Геометрический смысл основного свойства первообразных:

    Графики двух первообразных для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу.

    Производные и первообразные:

    Функция f(x)

    Производная f '(x)

    Первообразная F(x)

    С

    0

    Сх +С

    ах

    ах . ln а

    1/ln а .   ах+C

    ех

    ех

    ех + C

    ln х

    1/х

    –

    log а x

    1/х ln а

    –

    1/х

    _1/х 2

    ln х + C

    sin x

    cos x

    -cos x + C

    cos x

    - sin x

    sin x + C

    tg x

    1/cos 2 x

    –

    ctg x

    _1/sin 2 x

    –

Правило 1. Если F есть первообразная для f, а G – первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g.
Правило 2. Если F есть первообразная для f, а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kf.
Правило 3. Если F(х) есть первообразная для f(х), а k и b – постоянные, причём, k0, то 1/k • F(kx+b) есть первообразная для f(kx+b)

2. Объяснение нового материала.

Площадь криволинейной трапеции

Если на [а;b] ([а;b] ?Ох) функция у=f(х) – непрерывная, не меняет знак (график не пересекает ось абсцисс), тогда фигура, ограниченная графиком функции f, отрезком [а;b] и прямыми х = а, х = b, называется криволинейной трапецией.

Если f - непрерывная и неотрицательная на отрезке [а;b] функция, а F – её первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [а;b], т.е.

Рассмотрите примеры криволинейных трапеций в учебнике на стр. 185; пример нахождения площади криволинейной трапеции на стр. 187 (рис. 121).

Пример: Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = 4 - х2 и у = 0

Решение:

1. Построим криволинейную трапецию:

у = 4 - х2- квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вниз.
у = 0 - ось абсцисс.

2. Найдём [а;b]:

4-х2 = 0; х2 = 4
х = -2 или х = 2, т. е. а = -2 b = 2

3. Найдём площадь криволинейной трапеции по формуле: S = F(b) – F(а)

3. Решение упражнений № 353 (а, б, г), 355 (б, г)

4. Итог урока. Выставление оценок учащимся.