Немало информации о функциях, их графиках, свойствах нужно учащимся закрепить в памяти, чтобы в последствии ею воспользоваться. Но как это сделать без зубрежки, на которую нужно потратить массу времени, да и еще на отрицательных эмоциональных фонах, т.к. бывает ничего не получается с воспроизведением прочитанного, руки опускаются. И так из урока в урок накапливаются пробелы, которые кажутся невосполнимыми. А что, если нам, учителям, обратиться к народной мудрости – пословицам, которые учащиеся наверняка слышали, и показать, что функции ведь рядом с нами!
Оглянитесь по сторонам: “Чем дальше в лес, тем больше дров”. Как это описать графиком? Каким важным свойством будет обладать функция, график которой вы изобразите? Или “пообщайтесь” с мечехвостом (морским членистоногим) и узнаете, что глаз “умеет” логарифмировать. Обратите внимание учащихся на то, что термины также дают информацию. Почему мы говорим “монотонная” функция? Может само слово что-то подскажет? А обратная функция? Это интересно интерпретируется на страницах журнала “Квант” [7]. Теперь о вышеупомянутом поговорим более подробно.
Глаза и логарифмы.
Зрительные рецепторы получают сигналы из внешнего мира. Они должны передать зрительную информацию в мозг точно и своевременно. Передача сигнала от глаза к мозгу осуществляется нейронами.
Возникает проблема. Освещенность в сумерках, когда предметы еле видны, отличается от освещенности при ярком солнечном свете примерно в миллиард раз. Максимальная частота, с которой может работать нейрон, 1000 импульсов в секунду. Было установлено, что нельзя передавать информацию, меняя частоту работы нейрона пропорционально освещенности: если при ярком свете частота импульсов будет максимальной (1000 имп/с), то при уменьшении освещенности в миллион раз сигнал будет поступать всего один раз в 15 минут. Но за это время он потеряет свою актуальность.
Итак, линейная зависимость между входным и выходным сигналами в случае глаза оказывается нецелесообразной. И в природе тогда используется другая функция.
Х. Харлайн (1932 г., английский ученый) регистрировал импульсы, идущие по одиночному нервному волокну от глаза к мозгу у мечехвоста (морского членистоногого). Результат эксперимента иллюстрируется графиком (Рис. 1). На нем показана зависимость частоты импульсации от яркости света. На графике – прямая линия, но это не линейная функция.
Рис. 1.
На нашем графике: частота импульсации нейрона меняется на одну и ту же величину, когда воздействие меняется в одно и то же число раз. Значит, мы имеем дело с логарифмической функцией. Так что “умение логарифмировать” - это свойство зрительных рецепторов, выработавшееся в ходе эволюции, позволяет глазу работать эффективно и экономно, обеспечивает возможность хорошо воспринимать контраст.
Чуть-чуть об обратной функции.
Нарисуем две числовые прямые (Рис. 2). На верхней
будем откладывать значения аргумента: для
примера возьмем -1, 0, 1, а на нижней –
соответствующие значения функции 
(в том же масштабе).
Стрелки показывают, как точки x верхней оси переводятся в точки нижней оси.
Рис. 2.
А теперь представим, что рисунок задает закон,
по которому наоборот, точки с нижней оси
переходят на верхнюю (стрелки идут вверх), т.е.
точки переходят
в точки x (Рис. 3).
Выразим x через y формулой 
. Получилось описание новой функции,
которую обозначим: 
. Функция
называется обратной к функции 
.
Рис. 3.
Заметим еще, что не у всякой функции есть
обратная. Так функция 
переводит и точку 2, и точку (-2) в точку 4
(Рис. 4).
Если g - обратная к функции f, то, спрашивается, чему должно быть равно g(4): 2 или (-2)?
Рис. 4.
Иногда с этой неприятностью можно бороться
следующим образом: рассмотреть функцию f не на
всей ее области определения, а только на такой ее
части, где f не может перевести две разные точки в
одну. Функцию
можно, в частности, рассмотреть на интервале
. Тогда обратная
функция g уже будет существовать. Это не что иное,
как хорошо известный “арифметический
квадратный корень” 
.
Материал для викторин.
1.
Весь материал для проведения одной викторины представлен в таблице № 1, и она показывает правильные ответы на те вопросы, которые будут поставлены. На доске чертится такая же таблица, в которой все колонки пустые, за исключением второй вертикальной. Там вписаны свойства функции (их семь). Пословицы написаны на бумажных трафаретах, которые затем будут вставлены (прикреплены на магнитах) в нужных местах в первой вертикальной колонке. Так же на трафаретах сделаны заготовки графиков функций (как в 3-й и в 4-й вертикальных колонках).
Викторина проводится примерно так.
Учитель показывает график (Рис. 5):
Рис. 5.
Задает вопрос: каким из свойств, указанных в таблице, эта функция обладает и какую пословицу она описывает? Ученик, который дает ответ на этот вопрос, заполняет таблицу. Для этого трафарет с надписью “Каши маслом не испортишь” помещает в каком-то месте первой вертикальной колонки.
Далее, ученик берет график у учителя и располагает в третьей вертикальной колонке, где в нашей таблице написано “графики, которые показывает учитель”. Если вторая горизонтальная колонка таблицы учеником заполнена верно, то учитель рядом ставит в колонку ответов трафарет со всей информацией, что откладывается по осям, и с красочным оформлением (Рис. 6).
Рис. 6.
Заметим, что примерное оформление подобных трафаретов вы можете найти в последней вертикальной колонке таблицы №1.
2.
На рисунке 7 представлены четыре графика реализации разных товаров, где на оси абсцисс отмечено время t, на оси ординат – количество T проданного товара. Какой из графиков является кривой “сезонности”, “увлечения”, “провала”, “бума” и почему?
Рис. 7.
Ответы:
а) является кривой “увлечения”;
в) является кривой “бума” ;
б) является кривой “сезонности”;
г) является кривой “провала” ;
3.
На двух рисунках (Рис. 8, Рис. 9) есть пять различных графиков функций. Какие из них взаимно обратные?
Рис. 8. Рис. 9.
Ответы:
- Функция, обратная линейной – это опять линейная
функция. Потому y=kx+b и
взаимно обратные. - Простейшая из линейных функций та, что равна аргументу: y=x – обратна по отношению к себе самой, ее график совпадает с биссектрисой угла между координатными осями.
- Корень квадратный (
) и парабола (y=x2) на.
Это интересно.
Гипербола. Представьте себе два круглых (r и R – радиусы, Рис. 10) острова в океане и лодку, плывущую вдоль морской границы между этими островами, находящуюся во всякий момент на одинаковом расстоянии s от берегов этих островов. Если размеры островов одинаковы, то путь лодки будет прямолинеен, а если нет? Пусть R>r , М-любая точка, лежащая на кривой, по которой будет плыть лодка. Составим разность МF1-МF2. Получаем (R+s)-(r+s)=R-r. Вывод: лодка будет плыть по гиперболе, поскольку она определяется (Рис. 11.) как множество точек, разность расстояний которых до двух заданных точек F1 и F2 постоянна, у нас это R-r.
Рис. 10. Рис. 11.
Почему мы так говорим? Некоторые функции, например, y=2x, y=x3 посчитали, что нужно особо выделиться, ведь у них есть нечто одно такое, что им только присуще: либо всюду возрастают, либо всюду убывают. Но как выделиться? Помогли греки. “Моно” - по-гречески один. Почему бы тогда называться не просто функции, а монотонные функции?! Ведь звучит и сразу напоминает одно из важнейших свойств, которыми они обладают.
Решим уравнение 
приемом подбора с использованием
соображений монотонности. Так функция 
на всей области
определения, то есть при 
является возрастающей (потому ее
называют монотонной), то значение 15 она может
принять не более одного раза. Подбором
установили, что x=3 – корень данного уравнения и
он единственный [4, 65].
Литература.
- Беркинблит М. Математика в живых организмах / М. Беркинблит, Е. Глаголева //Квант. – 1990. – №2. - С.18.
- Калейдоскоп “Кванта” // Квант. – 1987. – №6. – С.32.
- Калейдоскоп “Кванта” // Квант. – 1989. – №3. – С.40.
- Миракова Т.Н. Развивающие задачи на уроках математики в V-VII классах: пособие для учителя / Т.Н. Миракова. – Львов: “Квантор”, 1991. – 96 с.
- Пухначев Ю.В. Учись применять математику. (Математика без формул) / Ю.В. Пухначев, Ю.П. Попов. – Выпуск1.– М.: “Знание”, 1977. – 144 с.
- Фоминых Ю.Ф. Прикладные задачи по алгебре для 7-9 классов: Книга для учителя / Ю.Ф. Фоминых. – М.: Просвещение, 1999. – 112 с.
- Школа в “Кванте” // Квант. – 1989.-№4. – С.36.