История построения музыкальной гаммы

"Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях,
я пришел к выводу, что математика и музыка находятся
на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами
ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека
и, что между ними размещается все, что человечество создало
в области науки и искусства."

Г. Нейгауз

I. Историческая справка

1. Открытие Пифагора в области теории музыки.

Суть его в том, что сочетание звуков, издаваемых струнами, наиболее благозвучно, если длины струн музыкального инструмента находятся в правильном численном отношении друг к другу.

Для воплощения своего открытия Пифагор использовал монохорд – полуинструмент, полуприбор. Под струной на верхней крышке ученый начертил шкалу, с помощью которой можно было делить струну на части. Было проделано много опытов, в результате которых Пифагор описал математически звучание натянутой струны.

2. Что определяет консонанс.

Долгое время не было единого мнения о том, что определяет приятное для слуха звучание струны (в музыке это явление называют консонансом). Ясность в этот вопрос внес Архит (IV в. до н.э.), который сущность высоты тона видел не в длине струны и не в силе натяжения, а в скорости ее движения, т.е. скорости ударения струны по частичкам воздуха.

Сегодня эта "скорость движения" носит название частоты колебания струны. Архит установил, что высота тона (или частота колебания струны) обратно пропорциональна ее длине.

3. Законы пифагорейской музыки.

В основе этой музыкальной системы были два закона, которые носят имена двух великих ученых - Пифагора и Архита. Вот эти законы:

1. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа, образующие треугольное число 10=1+2+3+4, т.е. как 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше число n в отношении n:(n+1) (n=1,2,3), тем созвучнее получающийся интервал.

2. Частота колебания w звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l .

w = a : l ,

где а - коэффициент, характеризующий физические свойства струны.

II. Некоторые понятия теории музыки

1. Гаммой, или звукорядом, называется последовательность звуков, расположенных от основного тона (звука) в восходящем или нисходящем порядке.

2. Интервалом между тонами называется порядковый номер ступени верхнего тона относительно нижнего в данном звукоряде.

Интервальным коэффициентом двух тонов считают отношение частоты колебаний верхнего тона к частоте колебаний нижнего:

w₁ : w₂.

Некоторые интервальные коэффициенты и соответствующие им интервалы в средние века были названы совершенными консонансами и получили следующие названия:

октава ( w₂ : w₁ = 2 : 1, l₂ : l₁ = 1 : 2);
квинта ( w₂ : w₁ = 3 : 2, l₂ : l₁ = 2 : 3);
кварта ( w₂ : w₁ = 4 : 3, l₂ : l₁ = 3 : 4).

3. Тоника – основной наиболее устойчивый тон в гамме. С него начинается данная музыкальная система.

Лад – приятная для слуха взаимосвязь музыкальных звуков, определяемая зависимостью неустойчивых звуков от устойчивых и имеющая определенный характер звучания.

Музыкальный строй – математическое выражение системы звуковысотных соотношений – лада.

III. Математическое описание построения музыкальной гаммы

1. Основой музыкальной шкалы–гаммы пифагорейцев был интервал – октава. Она является консонансом, повторяющим верхний звук. Для построения музыкальной гаммы пифагорейцам требовалось разделить октаву на красиво звучащие части. Так как они верили в совершенные пропорции, то связали устройство гаммы со средними величинами: арифметическим, гармоническим.

Среднее арифметическое частот колебаний тоники (w₁) и ее октавного повторения (w₂) помогает найти совершенный консонанс квинту.

Т.к. w₂ = 2w₁, то w₃ = (w₁ + w₂) : 2 = 3w₁ : 2 или w₃ : w₁ = 3 : 2 (w₃ – частота колебаний квинты).

Длина струны l₃, соответствующая квинте, по второму закону Пифагора-Архита будет средним гармоническим длин струн тоники l₁ и ее октавного повторения l₂.

Т.к. l₂ = l₁ : 2, то l₃ = 2 l₁ l₂ : (l₁ + l₂) = 2 l₁ l₁ : 2 : (l₁ + l₁ : 2) = l₁² : ((2 l₁ + l₁ ) : 2) = 2 l₁² : :3 l₁ = 2 l₁ : 3; или l₃ : l₁ = 2 : 3.

Взяв далее среднее гармоническое частот основного тона w₁ и октавы w₂, получим w₄ = = 2w₁w₂ : (w₁ + w₂ ) = 2w₁ 2w₁ : ( w₁ + 2w₁ ) = 4w₁² : 3w₁ = 4w₁ : 3.

Значит w₄ : w₁ = 4 : 3. В результате находим еще один совершенный консонанс – кварту.

Определим, как связаны длины струн найденных частот (l₄ и l₁ ):

l₄ = ( l₁ + l₂ ) : 2 = ( l₁ + l₁ : 2 ) : 2 = ( 2 l₁ + l₁ ) : 2 : 2 = 3 l₁ : 4; l₄ : l₁ = 3 : 4.

Это значит, что длины струн l₁ , l₂ и l₄ связаны между собой средним арифметическим.

Итак, частота колебаний квинты является средним арифметическим частот колебаний основного тона w₁ и октавы w₂ , а частота колебаний кварты - средним гармоническим w₁ и w₂ . Или иначе: длина струны квинты есть среднее гармоническое длин струн основного тона l₁ и октавы l₂, а длина струны кварты – среднее арифметическое l₁ и l₂. Это лишь незначительная часть тех прекрасных пропорций, которые были воплощены в пифагорейской музыкальной гамме.

2. У древних греков существовал и другой способ построения музыкальной гаммы, кроме описанного выше. Он был более простым и удобным и до сих пор применяется при настройке музыкальных инструментов.

Оказывается, гамму можно построить, пользуясь лишь совершенными консонансами - квинтой и октавой. Суть этого метода состоит в том, что от исходящего звука, например "до" (3/2)⁰ = 1, мы движемся по квартам вверх и вниз и полученные звуки собираем в одну октаву. И тогда получаем: (3/2)¹= 3/2 - соль, (3/2)²:2 = 9/8 - ре, (3/2)³:2 =27/16 - ля, (3/2)⁴:22 = 81/64 - ми, (3/2)⁵: 22 = 243/128 - си, (3/2)^-1:2 =4/3 - фа. (Все математические расчеты выполняем на компьютере, используя программу “Калькулятор”.)

Воспользуемся возможностями компьютера, точнее текстового процессора MS Word:

Для наглядности построим соответствующую диаграмму музыкального строя:

Или в виде графика:

Располагая эти звуки по порядку, получаем пифагоров строй лидийской гаммы. Исходя из возможных построений звукоряда, были получены несколько названий тетрахорда - четырехступенного звукоряда в пределах кварты. Это были дорийский, фригийский и уже упомянутый лидийский строй музыкальной гаммы.

Последнее построение музыкальной гаммы обладает такой особенностью: двигаясь по квинтам вверх и вниз, не получится точного октавного повторения исходного звука. Лишь 12 квинт приближенно равны 7 октавам, а разделяющий их интервал называется пифагоровой коммой. Несмотря на свою малость, пифагорова комма на протяжении столетий "резала ухо" музыкантам. Взяв отношение (3/2)¹²:27 (используем калькулятор), можно найти численное значение пифагоровой коммы (1,0136).

3. Идея совершенства окружающего мира владела умами ученых и в последующие эпохи. В первой половине XVII в. И.Кеплер установил семь основных гармонических интервалов: октаву - 2/1, большую сексту - 5/3, малую сексту - 8/5, чистую квинту - 3/2, чистую кварту - 4/3, большую терцию - 5/4 и малую терцию - 6/5.

Воспользуемся компьютером:

Посмотрим соответствующую диаграмму:

Или с помощью графика:

С помощью этих интервалов он выводит весь звукоряд как мажорного, так и минорного наклонения. После долгих поисков гармоничных отношений "на небе", проделав огромную вычислительную работу, И.Кеплер установил, что отношения экстремальных углов скоростей для некоторых планет близки к гармоническим: Марс - 3/2, Юпитер - 6/5, Сатурн - 5/4. "Солнце гармонии засияло во всем блеске. Небесное движение есть не что иное, как ни на миг не прекращающаяся музыка", - так думал ученый. Здесь Кеплера не оставляет буйная фантазия. Небольшие расхождения в расчетах и наблюдениях он объясняет тем, что небесный секстет должен звучать одинаково согласно и в мажоре, и в миноре, а для этого ему необходимо иметь возможность перестраивать свои инструменты.

Далее Кеплер пишет о том, что Сатурн и Юпитер "поют" басом, а Марс - тенором, Земля и Венера - альтом, а Меркурий - дискантом. Никаких доказательств он не приводит. Выполняя многочисленные расчеты, ученый устал в поисках всеобщей гармонии. "Мой мозг устает, когда я пытаюсь понять, что я написал, и мне уже трудно восстановить связь между рисунками и текстом, которую я сам когда-то нашел", - писал знаменитый астроном и математик. Наступало новое время в естествознании: на смену поискам И.Кеплера шли открытия Ньютона.

4. XVIII век открыл новые страницы в истории музыки. Около 1700 года немецкий органист А. Веркмайстер осуществил гениальное решение: отказался от совершенных и несовершенных консонансов пифагорейской гаммы. Сохранив октаву, он разделил ее на 12 равных частей. Пифагорова комма исчезла. Новый музыкальный строй позволил выполнять транспонирование мелодии. С введением этого строя в музыке восторжествовала темперация (от лат. соразмерность). В чем же состояло математическое описание равномерно-темперированного строя?

Вначале было дано физическое определение звука. Музыкальный тон, как уже говорилось, есть колебательный процесс с некоторой фиксированной частотой. Известно, что человеческое ухо способно воспринимать колебания частоты от 16 до 20000 гц.

В основе устройства музыкальной гаммы лежат определенные закономерности. Для построения гаммы гораздо удобнее пользоваться, оказывается, логарифмами соответствующих частот: log 2w₀, log 2w₁... log 2w_m. Октава (w₀,2w₀) при этом перейдет в промежуток от log 2w₀ до log 2w₀ = log 2w₀+1, т.е. в промежуток длиной 1. Геометрическая прогрессия w₀, w₁,.., w_m будет соответствовать арифметической log 2w₀, log 2w₁,…, log 2w_m. Таким образом, на оси логарифмов шкала будет состоять из точек А, А+1/m; А+2/m;...; А+1, где А – величина. На сколько же частей должна быть разделена музыкальная шкала, чему равно m? Анализ многих традиционных примеров народной музыки показал, что чаще всего в ней встречаются интервалы, выражаемые с помощью отношений частот: 2 (октава), 3/2 (квинта), 5/4 (терция), 4/3 (кварта), 5/3 (секста), 9/8 (секунда), 15/8 (септима). Эти и другие выводы показали, что музыкальная шкала должна быть разделена на 12 частей. Отношение соседних частот равномерно-темперированного строя постоянно и равно.

Покажем это графически:

Органы, настроенные А. Веркмайстером,  зазвучали  в  равномерно – темперированном строе. Преимущества нового строя были бесспорными. Строй носил замкнутый характер и состоял из интервалов, вполне приемлемых для музыкального слуха как в мелодическом, так и в гармоническом отношении. В нем совершенно спокойно можно было осуществлять переходы из тональности в тональность. И.С.Бах доказал жизнеспособность новой музыкальной системы, написав "Хорошо темперированный клавир", состоящий из 12 мажорных и 12 минорных произведений. Авторитет великого композитора примирил споры математиков и музыкантов, выступавших "за" или "против" нового музыкального строя.

IV. Заключение

Этот рассказ о связи математики, техники и музыки далеко не полный. В истории культуры достаточно много примеров, когда люди придумывали механические устройства для сочинения музыки. Это происходило и в средние века, и в наше время.

Известно, что и компьютеры сочиняют музыку. Правда, она довольно посредственна. В ней нет игры и свободного дыхания, которые трудно укладываются в математические каноны. До сих пор никому не удавалось найти алгоритм, порождающий простую и красивую мелодию. Мы просто не знаем, какое волшебство происходит в голове композитора, создающего неповторимую мелодию. Гениальное произведение - это результат вдохновения и мастерства его создателя. А еще своеобразная тайна, постичь которую порой невозможно. Решая задачи и слушая великую музыку, мы открываем в ней совершенство, простоту, гармонию и еще нечто такое, что неподвластно выражению словом...

 a