Учитель готовится к новому учебному году. Ему предстоит найти ответ на многие вопросы: для чего, чему и как учить школьников данного класса, то есть необходимо определиться с целями, содержанием и методикой обучения, а также выбрать наиболее "оптимальный", с точки зрения учителя, учебник. К целям, которые рассматриваются при организации учебного процесса относятся:
- общие цели школьного образования,
- цели обучения конкретному предмету (в частности, математике),
- тематические (модульные) цели,
- поурочные цели.
Самостоятельно учитель формулирует только цели последнего уровня, а все остальные провозглашаются в программных документах или методических пособиях. [2, с. 140-141]
В качестве общих целей обучения математике в различные периоды развития общества выступали прагматические или воспитательные цели, то есть на первый план выдвигалась либо подготовка учащегося к жизни в обществе, либо его интеллектуальное развитие. На сегодняшний день приоритет отдаётся индивидуальному развитию личности посредством определённого учебного предмета. Другими словами, провозглашается некий компромисс между прагматическими и воспитательными целями обучения и, таким образом, в данный момент уровень общих целей школьного образования определился.
Предметные цели раскрываются в содержании школьного предмета, а тематические — в требованиях к подготовке учащихся. В настоящее время содержание школьного математического образования, а также требования к математической подготовке выпускников школы (как основной, так и старшей) сформулированы и зафиксированы в стандарте основного и среднего (полного) общего образования по математике. [10] Следовательно, группа целей предметного и тематического уровня также сформировалась.
Однако, реализация требований, предъявляемых стандартом математического образования, в реальной практике может осуществляться по-разному. Главное состоит в том, чтобы разнообразные учебные программы, учебники и методическое обеспечение способствовали реализации общих целей. Отсюда возникают вопросы: "А что же может внести математика в общее развитие личности? И как этот вклад оценить?"
На наш взгляд, критериями, которые позволяют оценить вклад математики в общее развитие личности и анализировать результативность обучения могут служить параметры, которые опубликованы в статье М.И. Башмакова "Планирование учителем своей деятельности" [2]. При этом мы хотим особо выделить следующие из них: алгоритмическая деятельность, логико-дедуктивное мышление, визуально-образное мышление, развитие творческих способностей, прикладная направленность мышления, математическая речь и символика (Приложение 1).
Учитывая приведённые выше параметры, а также развивая идею познавательных стилей, подробно представленную в исследованиях М.А. Холодной [11] и других психологов, мы считаем, что возможно структурировать задания школьного курса математики соответственно различным стилям деятельности: 1) алгоритмический стиль, 2) визуальный стиль (соответствия), 3) прикладной стиль, 4) дедуктивный (логический) стиль, 5) комбинаторный стиль, 6) исследовательский стиль, 7) игровой стиль. [3] Эта идея реализуется в новом комплекте учебников алгебры для 7 - 9 классов М.И. Башмакова. Способы действий существенно расширены и структурированы, включены новые типы заданий, что создаёт основу для индивидуализации обучения.
Для того, чтобы проследить, каким образом реализуются выделенные выше стили деятельности в действующих учебниках по алгебре 7 - 9 классов, нами были проанализированы системы упражнений по темам "Квадратные корни" и "Квадратные уравнения" в учебниках, рекомендованных Министерством образования РФ. За единицу первоначально был выбран один номер учебника. В дальнейшем нашем исследовании для более объективной оценки анализ был проведён не по количеству упражнений, а по количеству времени, затраченному на выполнение каждого задания на уроке. В данном случае за единицу была выбрана 1 минута.
Анализ показывает, что преобладающим стилем деятельности является алгоритмический стиль (более половины заданий во всех учебниках) и несколько меньше логический стиль деятельности; больше всего заданий алгоритмического стиля в учебниках Ш.А. Алимова и Ю.Н. Макарычева (Приложение 2).
Задания на выявление соответствий (визуально-образное мышление) и прикладного стиля также представлены в учебниках в какой-то мере. А такие стили деятельности как исследовательский, комбинаторный и игровой практически отсутствуют (от 0 до 3%).
Следует отметить, что в учебнике А.Г. Мордковича очень много внимания уделяется заданиям на рассуждение, логику, доказательство – 63% и 13% от числа всех заданий (соответственно темам "Квадратные корни" и "Квадратные уравнения"), однако таких заданий мало у Ш.А. Алимова – 21% и 12% и у Г.В. Дорофеева – 8%. и 11% соответственно.
Можно также заметить, что в некоторых учебниках неравномерное распределение заданий по стилям деятельности (например, в учебниках К.С. Муравина и Ю.Н. Макарычева на задания прикладного характера по теме "Квадратные корни" — 6%, а по теме "Квадратные уравнения" — 44%, (5% и 40% соответственно). Аналогичная ситуация с заданиями на логику: К.С. Муравин (37% и 7%); Ю.Н. Макарычев (17% и 3%)
Таким образом, в действующих учебниках наблюдается, с одной стороны, размытость стилей деятельности (задания приводятся общим списком, не выделяя конкретный стиль), а с другой стороны, неравномерное распределение заданий (один стиль преобладает, а другие не развиваются). Комбинаторный, исследовательский и игровой стили представлены явно недостаточно. Это приводит к недооценке определённых стилей деятельности, к неправильному их балансу, к отсутствию разработанных форм учебной деятельности для каждого стиля (отсутствуют технологичные задания).
В нашем представлении различные познавательные стили деятельности должны выступать равноправно в учебном материале учебника или задачника. Причём в некоторых случаях их можно объединять и осуществлять взаимодействие различных стилей деятельности между собой.
Как уже отмечалось выше, эта идея реализована в новом комплекте учебников по алгебре для 7 – 9 классов М.И. Башмакова. И в настоящее время учебники для 7 и 8 класса уже вышли в издательстве "Просвещение". На протяжении пяти последних лет учителя под руководством Н.А. Резник работают по этим учебникам в экспериментальных классах школ г. Мурманска и Мурманской области. И по оценкам преподавателей структура учебников очень интересна, их содержание заслуживает внимания. Особенно учителей привлекает развивающий характер заданий. Эти учебники позволяют эффективно организовать учителю дифференцированную работу на уроке, формулировки заданий очень современны, необычны и интересны детям.
Покажем некоторые преимущества указанного комплекта и приведём описание выделенных нами стилей деятельности, стараясь определить их место, роль в практике и наиболее технологичные задания для каждого стиля.
1. Алгоритмический стиль.
Бесспорно, что в жизни, как и в обучении, человеку приходится совершать много действий над которыми он не задумывается, делает автоматически. Такая деятельность ещё носит название репродуктивная деятельность. Складывая в уме однозначные числа, наверное, только первоклассник испытывает при этом трудности. Ему, также как и другим людям, получая новый рецепт (алгоритм) или попадая в новую ситуацию, приходится, во-первых, "развернуть" алгоритм (расписать его по шагам), а во-вторых, довести его до автоматизма. Именно формированию этих умений должны быть посвящены математические задания, направленные на формирование алгоритмического стиля деятельности.
Для математики все основные алгоритмы (действия по образцу), выделенные для каждой отдельной темы курса можно отрабатывать при помощи специально подобранных систем заданий, которые в учебниках М.И. Башмакова называются тренажёрами, сериями задач и играми с автоматами.
Тренажёр — это набор заданий, предназначенных для отработки одного конкретного навыка (обычно вычислительного или логического). Как правило, тренажёр содержит большое количество (10-20) заданий, расположенных по возрастанию сложности.
Серия — это набор заданий, предназначенный для отработки одного конкретного алгоритма, который постепенно видоизменяется (развёртывается) по степени сложности, по степени обобщённости и т.п.
Автомат — это набор заданий, позволяющий комбинировать несколько алгоритмов одновременно, а также предоставляющий возможность самостоятельно формировать алгоритмы из отдельных шагов.
2. Визуальный стиль (соответствия).
В коллективной монографии "Информационная среда обучения" авторов М.И. Башмакова, С.Н. Позднякова и Н.А. Резник выделяются различные способы предъявления информационных данных – три языка учебной знаковой информации. Доминирующим способом введения учебной информации является вербальный. Другим способом предъявления знаковой информации является так называемый геометрический (наглядный, визуальный) способ. Многие науки имеют ещё один специфический способ записи своего содержания, который мы называем формульный (синонимы — символьный, аналитический, знаковый). [4, с.324-327]
Математика пользуется различными информационными языками: словесным (вербальным), наглядным (геометрическим, визуальным), формульным (знаковым, символьным). Умение переводить информацию с одного языка на другой обычно дает ключ к решению задачи, поэтому необходимо уделять большое внимание переводам, соответствиям между этими языками.
По мнению В.С. Ротенберга и С.М. Бондаренко, трудности "перекодирования" наблюдаются в самых различных видах деятельности школьника. Так, при решении задач по физике дети гораздо легче справляются с теми задачами, условия которых сформулированы на физическом языке, чем с теми, условия которых выражены на обычном, житейском языке. Перевод, переосмысление житейских понятий в научные представляет для детей значительную трудность.
Не меньшая трудность — перевод физических или математических единиц из одной системы знаков в другую. Такой перевод требует перестройки уже сложившейся системы ассоциаций, а это, пожалуй, не легче, а, может быть, даже труднее, чем создание новой. Например, математические действия, которые школьники свободно совершают в десятичной системе счисления, они с большим трудом производят в любой другой системе счисления. [8, с.155-154]
Таким образом очевидно, что необходимо обучать учащихся переводам, кодированию и интерпретации. Именно формированию этих умений должны быть посвящены математические задания, направленные на формирование стиля деятельности, названного нами визуальный.
Формы представления таких заданий наименее традиционны для школы. Это матричные тесты и соответствия.
Матричный тест представляет собой таблицу, в которой входная (верхняя) строка и входной (левый столбец) характеризуют изучаемый объект с различных точек зрения. Задача ученика – установить соответствие между этими характеристиками. Важно, что природа характеристик, соответствие между которыми надо найти, может быть различной: «формула – рисунок», «рисунок – рисунок», «текст – формула» и т.п. Эти тесты призваны играть не только контролирующую, но и, в значительной мере, обучающую роль. Выполняя один тест, ученик вынужден решить до 25 задач (таблица 5X5)
Так как выделено 3 языка учебной информации, то соответственно можно составлять 9 различных типов матричных тестов (текст-текст, текст-формула, текст-картинка, и т.д.)/
Соответствия — это тип заданий, в которых необходимо установить некоторую связь между заданными объектами и показать эту связь.
3. Прикладной стиль.
Использование прикладной направленности математики, её взаимосвязей внутри науки, с другими науками, искусством и направлено на усиление "привлекательности" математики в глазах учащихся.
Следует признать, что в течение длительного времени основным источником прихода в обучение математике новых методов являлся именно анализ приложений и "… источник жизненности математики заключается в том, что её понятия и выводы при всей своей отвлечённости исходят из действительности и находят широкие применения в других науках, в технике, во всей жизненной практике; это — самое главное для понимания математики.
Исключительная широта применений математики представляет одну из характерных её особенностей. Во-первых, мы постоянно, чуть ли не ежечасно, на производстве, в быту, в общественной жизни пользуемся наиболее распространёнными понятиями и выводами математики, вовсе не задумываясь об этом. … Во-вторых, вся современная техника была бы невозможна без математики. Без более или менее сложных расчётов не обходятся, пожалуй, ни одно техническое усовершенствование и в развитии новых областей техники математика играет очень важную роль.
Наконец, почти все науки более или менее существенно пользуются математикой. "Точные науки" – механика, астрономия, физика, а также в большой мере и химия – обычно выражают свои законы формулами …и развивают свои теории, широко используя математический аппарат. Без математики прогресс этих наук был бы просто невозможен. Поэтому как раз потребности механики, астрономии и физики всегда оказывали прямое, решающее воздействие на развитие математики.
В других науках математика играет меньшую роль, но и там она находит важные применения" (биология, история, психология и т.д.). [цит. по 1, с. 7]
Кроме этого, математика находит своё применение и в искусстве. Впервые осмысленное и систематическое приложение к искусству математика нашла в музыке, в трудах древнегреческого математика Пифагора, его многочисленных учеников и последователей. Примером использования математики в литературе могут служить, например, стихотворные размеры. Даже чтобы упорядочить главы в книге приходится использовать нумерацию (арабскую или римскую). Это простая, но всё-таки математика.
По мнению В.И. Рыжика, традиционно прикладная сторона математики в среднем образовании была на положении Золушки. Хотя в последние годы положение стало несколько меняться. "Конечно, можно рассказать как Кеплер искал законы движения планет, как измерили расстояние от Земли до Луны, каким путём летит самолёт из Новосибирска в Санкт-Петербург… Всё это хорошо, но не решает проблемы. На самом деле нужна деятельность по решению прикладных задач, и как можно более частая." [цит. по: 9]
Точка зрения Г. Биркгоффа по этому вопросу также указывает на важность прикладного стиля. Он считает, что важна способность учащихся переводить словесные задачи и реальные жизненные ситуации в символическую математическую форму и обратно, чувствовать значение таких арифметических утверждений, как "он зарабатывает 3$ в час" или "процентная ставка равна 6%." [цит. по: 5, с. 61]
Таким образом, задания прикладного стиля призваны усилить прикладную направленность математики, причём показать приложения направленные и внутрь математики, и вовне.
Для прикладного стиля можно условно выделить 4 типа заданий: на организацию вычислений, различные виды оценок значений; на составление моделей; на перенос действий в прикладную ситуацию; на узнавание математического содержания в тексте или другой знаковой информации.
Задания представлены в виде уже знакомых учащимся тренажёров, серий задач и матричных тестов.
4. Дедуктивный (логический) стиль.
Академик А.Д. Александров одной из трёх характерных черт математики называет её "точность или, лучше сказать, логическую строгость и как бы непреложность её выводов. … Требование доказать теорему хорошо известно уже из школьного курса геометрии, и оно проходит через всю математику. Мы могли бы измерять углы у оснований тысячи равнобедренных треугольников с огромной точностью, но это не дало бы нам математического доказательства теоремы о том, что углы при основании равнобедренного треугольника равны. Математика требует вывести этот результат из основных понятий геометрии…". [цит. по: 1, с. 5-6 (курсив автора)]
В защиту необходимости этого стиля деятельности можно отнести и мнение В.И. Рыжика, что математика — дедуктивная наука, давшая миру аксиоматический метод и некие эталоны строгости рассуждений. Конечно, доказывать необходимо не вообще всё, что говоришь, а "всё, на что я потом собираюсь ссылаться", и уровень строгости доказательства тоже будет разный в зависимости от адресата. "Одно дело — доказать ученику, другое — учителю, третье – профессионалу-математику и уж совсем особое дело — доказать специалисту по математической логике" [цит. по: 9]. Однако, учащиеся должны ясно понимать, что там, где нет доказательства, там нет и самой науки.
Чтобы развивать умение делать выводы следствий, строить правдоподобные рассуждения необходимо ещё и уметь видеть, замечать, осознавать, выделять многое в одном, а это нелёгкая умственная деятельность.
Задания дедуктивного стиля призваны научить ребёнка видеть закономерности, доказывать факты, обосновывать их, проявлять, когда это требуется, смекалку. Они ориентированы главным образом на отыскание причинной связи между явлениями. В качестве наиболее типичных назовём циклы задач на доказательство, развёрнутые сюжеты, задачи на сообразительность. Задания представлены в виде серий задач и матричных тестов.
Циклы задач на доказательство очень похожи на серии, которые встречались в предыдущих разделах. Здесь отрабатывается один и тот же алгоритм доказательства, который может видоизменяться по степени сложности, обобщения и т.п.
Развёрнутые сюжеты представляют собой последовательность задач применимых к одной ситуации. Выполнение этих заданий очень близко к исследовательской работе.
Задачи на сообразительность — это хорошо известные всем головоломки, ребусы и задачи на смекалку, подобранные для изучения конкретной темы.
5. Комбинаторный стиль.
Комбинаторный стиль призван усилить сторону дискретной математики в школьном курсе алгебры.
Курсу математики всегда отводилось важное место среди дисциплин, изучаемых в школе. Однако классическое математическое образование предполагало изучение главным образом элементов математического анализа, рассматривающего поведение непрерывных величин (переменных и функций). Дискретной математике в этом смысле долгое время "не везло". Отношение к ней изменилось в связи с повсеместным внедрением компьютерных технологий. Теперь, когда компьютер является непременным атрибутом не только научной лаборатории, но и любой организации, интерес к дискретной математике стремительно возрастает.
Задания комбинаторного стиля предполагают работу учащихся с конечными множествами, решение простейших задач пересчёта, перечисления, анализ дискретных данных, а также там, где это необходимо, выполнение классификации, сортировки, систематизации. В данном разделе выделяются следующие типы заданий: подсчёты, комбинаторный анализ и анализ дискретных данных.
Подсчёты. Название само характеризует данный тип заданий. Здесь необходимо выполнить последовательность задач, в которых нужно что-либо сосчитать.
Комбинаторный анализ. В этой подборке все задачи по комбинаторике – науке перебора различных вариантов (комбинаций) и подсчёта их числа. Эти задачи связаны с изучаемой темой и должны понравиться учащимся своими живыми формулировками.
Анализ дискретных данных. Эти задания призваны научить учащихся рациональным способам подсчёта, систематизации, сортировки, классификации, а также проведению анализа совокупности данных.
6. Исследовательский стиль.
Работая над определённой научной проблемой, учёный (исследователь) обычно имеет определённое количество фактов, на основе которых он далее выдвигает гипотезы, проверяет их справедливость, анализирует имеющиеся и полученные результаты. "Выдвижение и проверка гипотез — неотъемлемая часть научного исследования" [6].
По мнению М.И. Башмакова, математика не сводится к пользованию готовым набором формул и алгоритмов. Однако, даже известные правила и способы решения задач по-настоящему становятся достоянием ученика, когда он сам «открывает» их. Важнейшей тенденцией в изменении математического образования во всём мире является усиление внимания к творческим, исследовательским, продуктивным методам в обучении. При этом задача овладения этими методами ставится перед всеми учениками, а не только перед самыми заинтересованными и способными.
Удобной формой учебной творческой деятельности являются исследовательские работы. Это своего рода логическое завершение темы, вершина, на которой появляется возможность увидеть результат всех своих трудов и глубину (дальнейшую перспективу).
Исследовательские работы – задания обобщающего характера, требующие владения всем материалом темы. Каждая исследовательская работы состоит из нескольких заданий, сгруппированных вокруг исследования одного объекта. Эти работы снабжены указаниями по выполнению. Они могут быть использованы учителем как индивидуальные задания сильным ученикам, а часть их может (после предварительного обсуждения в классе) использоваться как комплексное домашнее задание.
7. Игровой стиль.
По отношению к математике всегда имеются различные категории учащихся: ученики, проявляющие повышенный интерес к ней; занимающиеся ею по мере необходимости и особого интереса к предмету не проявляющие; ученики, считающие математику скучным, сухим и вообще нелюбимым предметом. А ведь по Л.С. Выготскому именно интерес — "основная форма проявления инстинкта в детском возрасте…Интерес — как бы естественный двигатель детского поведения". [7, с. 118]
Возникновение интереса к математике у значительного числа учащихся зависит в большей степени от того, насколько умело будет построена учебная работа. Это особенно важно в подростковом возрасте, когда еще формируются постоянные интересы и склонности к тому или иному предмету. Именно в этот период нужно стремиться раскрыть притягательные стороны математики. Немаловажная роль здесь отводится дидактическим играм.
Игровой стиль деятельности, по-нашему мнению, может быть универсальным в том смысле, что он может встречаться как неотъемлемая часть любого из уже представленных стилей деятельности.
В заключении отметим, что выделенные нами стили познавательной деятельности не существуют отдельно друг от друга. Они взаимодействуют и взаимопроникают друг в друга. Например, очень тесно связаны стили дедуктивный (логический) и исследовательский. Алгоритмический, безусловно, помогает освоить многие другие стили. Игровой стиль может присутствовать как в алгоритмическом, прикладном, так и в любом другом стиле.
Литература.
- Александров А.Д. Математика, её содержание, методы и значение — т. 1, М.; изд-во Академии наук СССР, 1956.
- Башмаков М.И. Планирование учителем своей деятельности //Вестник СЗО РАО "Образование и культура Северо – Запада России", Вып. 1, СПб, 1996. с. 140 – 147.
- Башмаков М.И. Что такое школьная математика?// Математика М.: Издательский дом "Первое сентября", № 48, 2003. с.1 - 4
- Башмаков М.И., Поздняков С.Н., Резник Н.А. Информационная среда обучения. —Спб.:СВЕТ, 1997. – 400с.
- Биркгофф Г., Математика и психология — Пер.с анг. М., "Советское радио", 1977. – 96 с
- Ведерникова Т.Н. Интеллектуальная деятельность на уроках математики: формы и методика проведения // Проблемы теории и практики обучения математике: Сборник научных работ, представленных на международную научную конференцию "55Герценовские чтения"/Под ред. В.В. Орлова — СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2002.— 246 с. – с. 94–97.
- Выготский Л.С. — Педагогическая психология, М.: Пед-ка, 1991.
- Ротенберг В.С., Бондаренко С.М.—Мозг. Обучение. Здоровье: кн. для учителя.— М.: Просвещение, 1989.—239 с.
- Рыжик В.И. — 25000 уроков математики: Кн. для учителя — М.; Пр-е,1993, 240 с
- Стандарт основного общего образования по математике. Стандарт среднего (полного) общего образования по математике. // Математика в школе, 2004, № 4, с. 4 – 16.
- Холодная М.А. Психология интеллекта: парадоксы исследования. — Томск: Изд-во Том. ун-та. Москва: Изд-во "Барс". 1997.—392 с.