Основная цель
Ознакомить учащихся со свойствами степеней с натуральными показателями и научить выполнять действия со степенями.
Тема “ Степень и её свойства ” включает три вопроса:
- Определение степени с натуральным показателем.
- Умножение и деление степеней.
- Возведение в степень произведения и степени.
Контрольные вопросы
- Сформулируйте определение степени с натуральным показателем, большим 1. Приведите пример.
- Сформулируйте определение степени с показателем 1. Приведите пример.
- Каков порядок выполнения действий при вычислении значения выражения, содержащего степени?
- Сформулируйте основное свойство степени. Приведите пример.
- Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. Приведите пример.
- Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Приведите пример.
- Сформулируйте правило возведения в степень произведения. Приведите пример. Докажите тождество (ab)n = an• bn .
- Сформулируйте правило возведения степени в степень. Приведите пример. Докажите тождество ( аm )n = аm n .
Определение степени.
Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а. Степенью числа а с показателем 1 называется само число а.
Степень с основанием а и показателем n записывается так: аn . Читается “ а в степени n ”; “ n- я степень числа а ”.
По определению степени:
а1 = а
а2 = а•а
а3 = а•а•а
а4 = а• а•а•а
. . . . . . . . . . . .
аn = 
Нахождение значения степени называют возведением в степень.
1. Примеры возведения в степень:
33 = 3• 3• 3 = 27
04 = 0• 0• 0• 0 = 0
( -5 )3 = ( -5 ) • ( -5 ) • ( -5 ) = -125
71 = 7
2. Представьте в виде квадрата числа: 25 ; 0,09 ; 
25 = 52 ; 0,09 = ( 0,3 )2 ;
.
3. Представьте в виде куба числа:
27 ; 0,001 ; 8 .
27 = 33 ; 0,001 = ( 0,1 )3 ; 8 = 23 .
4. Найти значения выражений:
а) 3• 103 = 3• 10• 10• 10 = 3• 1000 = 3000
б) -24 + ( -3 )2 = 7
24 = 16
( -3 )2 = 9
-16 + 9 = 7
Вариант 1
1. Запишите произведение в виде степени:
а) 0,3• 0,3• 0,3
б)
в) b• b• b• b• b• b• b
г) ( -х ) • ( -х ) • ( -х ) • ( -х )
д) ( ab ) • ( ab ) • ( ab )
2. Представьте в виде квадрата числа:
16 ; 0,25 ; 
.
3. Представьте в виде куба числа:
125 ; 0,027 ; 
.
4. Найти значения выражений :
а) 72 + 43
б) 62 + 53
в) -14 + ( -2 )3
г) -43 + ( -3 )2
д) 100 - 5• 24
Умножение степеней.
Для любого числа а и произвольных чисел m и n выполняется:
aman = am + n .
Доказательство:
Правило: При умножении степеней с одинаковыми основаниями основания оставляют прежним, а показатели степеней складывают.
amanak = am + nak = a( m + n ) + k = am + n + k
1. Представить в виде степени:
а) х5• х4 = х5 + 4 = х9
б) y• y6 = y1 • y6 = y1 + 6 = y7
в) b2 • b5 • b4 = b2 + 5 + 4 = b11
г) 34 • 9 = 34• 32 = 36
д) 0,01• 0,13 = 0,12 • 0,13 = 0,15
2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:
а) 23 • 2 = 24 = 16
б) 32 • 35 = 37 = 2187
Вариант 1
1. Представить в виде степени:
а) х3 •х4 е) х2 •х3 •х4
б) а6 •а2 ж) 33•9
в) у4 •у з) 74•49
г) а• а8 и) 16• 27
д) 23•24 к) 0,33•0,09
2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:
а) 22•23 в) 8• 25
б) 34•32 г) 27• 243
Деление степеней.
Для любого числа а
0 и
произвольных натуральных чисел m и n, таких, что
m>n выполняется:
am : an = am - n
Доказательство:
am - n an = a( m - n ) + n = am - n + n = am
по определению частного:
am : an = am - n .
Правило: При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
Определение: Степень числа а, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице:
а0 = 1
т.к. аn : an = 1 при а0 .
1. Представьте в виде степени частное:
а) х4:х2 = х4 - 2 = х2
б) у8:у3 = у8 - 3 = у5
в) а7:а = а7:а1 = а7 - 1 = а6
г) с5:с0 = с5:1 = с5
2. Найдите значения выражений:
а) 57:55 = 52 = 25
б) 1020:1017 = 103 = 1000
в)
г)
д)
Вариант 1
1. Представьте в виде степени частное:
а) х5 : х2
б) у9 : у4
в) b10 : b
г) с10 : с4
д) а7 : а0
2. Найдите значения выражений:
а) 36 : 32
б) 715 : 713
в)
г)
д)
Возведение в степень произведения.
Для любых а и b и произвольного натурального числа n:
( ab )n = an•bn
Доказательство:
По определению степени
( ab )n = 
Сгруппировав отдельно множители а и множители b, получим:
= 
Доказанное свойство степени произведения распространяется на степень произведения трех и более множителей.
Например:
( a• b• c )n = an •bn •cn ;
( a• b• c• d )n = an •bn •cn •dn .
Правило: При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результат перемножают.
1. Возвести в степень:
а) ( a• b )4 = a4 •b4
б) (2• х• у )3 =23•х3 •у3 = 8• х3 •у3
в) ( 3• а )4 = 34•а4 = 81• а4
г) ( -5• у )3 = (-5)3 •у3 = -125• у3
д) (-0,2• х• у )2 = (-0,2)2 •х2 •у2 = 0,04• х2 •у2
е) (-3• a• b• c )4 = (-3)4 •a4 •b4 •c4 = 81• a4 •b4 •c4
2. Найти значение выражения:
а) (2• 10)4 = 24•104 = 16• 1000 = 16000
б) (3• 5• 20)2= 32•1002= 9• 10000= 90000
в) 24•54 = (2• 5)4 = 104 = 10000
г) 0,2511•411 = (0,25• 4)11 = 111 = 1
д)
Вариант 1
1. Возвести в степень:
а) ( a• b )9
б) ( 2• а• с )4
в) ( 5• а )3
г) ( -3• у )4
д) ( -0,1• х• у )3
е)
2. Найти значение выражения:
а) (3• 10)3
б) (5• 7• 20)2
в) 53•23
г)
д)
Возведение в степень степени.
Для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n:
( аm )n = аm n
Доказательство:
По определению степени
( аm )n = 
Правило: При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают.
1. Возвести в степень:
( а3 )2 = а6 ( х5 )4 = х20
( у5 )2 = у10 ( b3 )3 = b9
2. Упростите выражения:
а) а3 •( а2)5 = а3 •а10 = а13
б) ( b3 )2 •b7 = b6 •b7 = b13
в) ( х3 )2 •( х2 )4 = х6 •х8 = х14
г) ( у• у7 )3 = ( у8 )3 = у24
3. Найдите значение выражений:
а)
б)
Вариант 1
1. Возвести в степень:
а) ( а4 )2 б) ( х4 )5
в) ( у3 )2 г) ( b4 )4
2. Упростите выражения:
а) а4 •( а3)2
б) ( b4 )3 •b5+
в) ( х2 )4 •( х4 )3
г) ( у• у9 )2
3. Найдите значение выражений:
а)
б)
Приложение
Определение степени.
Вариант 2
1ю Запишите произведение в виде степени:
а) 0,4• 0,4• 0,4
б)
в) а• а• а• а• а• а• а• а
г) ( -у ) • ( -у ) • ( -у ) • ( -у )
д) ( bс ) • ( bс ) • ( bс )
2. Представьте в виде квадрата числа:
25 ; 0,16 ; 
.
3. Представьте в виде куба числа:
64 ; 0,125 ; 
.
4. Найти значения выражений:
а) 52 + 33
б) 43 - 72
в) -13 + ( -2 )4
г) -62 + ( -3 )2
д) 4• 52 – 100
Вариант 3
1. Запишите произведение в виде степени:
а) 0,5• 0,5• 0,5
б)
в) с• с• с• с• с• с• с• с• с
г) ( -х ) • ( -х ) • ( -х ) • ( -х )
д) ( ab ) • ( ab ) • ( ab )
2. Представьте в виде квадрата числа: 100 ; 0,49 ; 
.
3. Представьте в виде куба числа:
1000 ; 0,008 ; 
.
4. Найти значения выражений :
а) 34 + 72
б) 63 - 92
в) -15 + ( -3 )2
г) -53 + ( -4 )2
д) 5• 42 - 100
Вариант 4
1. Запишите произведение в виде степени:
а) 0,7• 0,7• 0,7
б)
в) х• х• х• х• х• х
г) ( -а ) • ( -а ) • ( -а )
д) ( bс ) • ( bс ) • ( bс ) • ( bc )
2. Представьте в виде квадрата числа:
81 ; 0,64 ;
.
3. Представьте в виде куба числа:
216 ; 0,064 ; 
.
4. Найти значения выражений :
а) 62 + 43
б) 53 - 82
в) -14 + ( -3 )3
г) -34 + ( -5 )2
д) 100 - 3• 25
Умножение степеней.
Вариант 2
1. Представить в виде степени:
а) х4 •x5 е) х3 •х4 •х5
б) а7 •а3 ж) 23•4
в) у5 •у з) 43•16
г) а• а7 и) 4• 25
д) 22•25 к) 0,23• 0,04
2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:
а) 32•33 в) 16• 23
б) 24•25 г) 9• 81
Вариант 3
1. Представить в виде степени:
а) а3•а5 е) у2 •у4 •у6
б) х4•х7 ж) 35•9
в) b6•b з) 53•25
г) у• у8 и) 49• 74
д) 23•26 к) 0,34•0,27
2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:
а) 33•34 в) 27• 34
б) 24•26 г) 16• 64
Вариант 4
1. Представить в виде степени:
а) а6•а2 е) х4 •х• х6
б) х7•х8 ж) 34•27
в) у6•у з) 43•16
г) х• х10 и) 36• 63
д) 24•25 к) 0,22•0,008
2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:
а) 26•23 в) 64• 24
б) 35•32 г) 81• 27
Деление степеней.
Вариант 2
1. Представьте в виде степени частное:
а) х6 : х3
б) у10 : у5
в) b9 : b
г) с12 : с7
д) а9 : а0
2. Найдите значения выражений:
а) 27 : 24
б) 610 : 68
в)
г)
д)
Вариант 3
1. Представьте в виде степени частное:
а) у7 : у4
б) а11 : а7
в) с10 : с
г) b17 : b15
д) х8 : х0
2. Найдите значения выражений:
а) 38 : 35
б) 410 : 47
в)
г)
д)
Вариант 4
1. Представьте в виде степени частное:
а) х8 : х3
б) b12 : b5
в) у9 : у
г) с19 : с14
д) а10 : а0
2. Найдите значения выражений:
а) 510 : 58
б) 617 : 612
в)
г)
д)
Возведение в степень произведения.
Вариант 2
1. Возвести в степень:
а) ( х• у )7
б) (3• а• b )4
в) (2• а )5
г) (-4• у )3
д) (-0,3• a• b )2
е) ( -2• x• y• z )3
2. Найти значение выражения:
а) (2• 10)3
б) (7• 4• 25)2
в) 43•53
г) 49•0,259
д)
Вариант 3
1. Возвести в степень:
а) ( a• b )8
б) (2• х• у )5
в) (3• х )4
г) (-4• с )4
д) (-0,2• х• у )2
е)
2. Найти значение выражения:
а) (5• 10)3
б) (9• 4• 25)2
в) 23•33
г)
д) 0,54•44
Вариант 4
1. Возвести в степень:
а) ( х• у )9
б) (3• а• b )5
в) (2• у )6
г) (-6• b )3
д) (-0,1• a• b )2
е) ( -5• x• y• z )4
2. Найти значение выражения:
а) (3• 10)4
б) (8• 5• 20)2
в) 52•42
г) 0,27•57
д)
Возведение в степень степени.
Вариант 2
1. Возвести в степень:
а) ( а5 )2
б) ( х3 )5
в) ( у4 )2
г) ( b6 )6
2. Упростите выражения:
а) а4 •( а3)5
б) ( b2 )3 •b8
в) ( х3 )4 •( х2 )5
г) ( у• у10 )3
3. Найдите значение выражений:
а)
б)
Вариант 3
1. Возвести в степень:
а) ( а7 )2
б) ( х6 )5
в) ( у10 )2
г) ( b7 )7
2. Упростите выражения:
а) а5 •( а2)3
б) ( b3 )4 •b7
в) ( х5 )2 •( х3 )4
г) ( у• у11 )2
3. Найдите значение выражений:
а)
б)
Вариант 4
1. Возвести в степень:
а) ( а6 )2
б) ( х7 )5
в) ( у8 )2
г) ( b5 )5
2. Упростите выражения:
а) а6 •( а4)2
б) ( b5 )2 •b6
в) ( х2 )5 •( х4 )3
г) ( у6 •у )3
3. Найдите значение выражений:
а)
б)
