Роль межпредметных связей в обучении математике

Одной из главных и приоритетных тенденций современного образования является создание так называемых межпредметных связей при изучении отдельных циклов школьных предметов.

Естественно, что данное направление не могло не затронуть и всего комплекса естественно-математических наук. В частности, это хорошо заметно при изучении отдельных тем, входящих в состав учебников по тем или иным дисциплинам. В тесном единстве с химией изучается биология, с географией – экология (мы видим это в частичном совпадении тем этих предметов или при использовании материала одного школьного предмета в целях прочного усвоения другого). Физика же в свою очередь старается в максимальной степени использовать аппарат математики, а та ей его просто-напросто в полном объёме предоставляет.

Как ни странно, но математика вступает в самые тесные межпредметные связи лишь с физикой (это мы замечаем при работе с учебниками математики для общеобразовательных школ). И ведь это действительно так! Стоит только открыть учебник, например, "Алгебра и начала анализа 10-11" под редакцией А.Н.Колмогорова, как сразу же обнаруживаешь эту связь. Те же приложения производной (например, пример №2 на стр.135 этого учебника: "Пусть зависимость координаты точки, движущейся по прямой, от времени выражается формулой , где и – постоянные. Найдём скорость и ускорение движения."), определённого интеграла (пример №3 на стр.191: "Сила упругости пружины, растянутой на 5 см, равна 3 Н. Какую работу на произвести, чтобы растянуть пружину на 5 см?"), дифференциальных уравнений (к примеру радиоактивный распад вещества, о котором говорится на стр. 253) и так далее. Подобное наблюдается и в учебниках для 7-9 классов. Таких примеров можно приводить бесконечно много, и все они сводятся к возникновению вопроса: "Почему же не нашлось таких узловых моментов, которые бы объединили математику со всем спектром естественных наук, изучаемых в рамках общеобразовательной школы?". А ведь они существуют, но не учитываются при написании новых учебников математики. Или просто-напросто нет таких специалистов, которые довольно хорошо владеют всеми этими науками (ведь как известно, все учителя математики в своё время закончили физико-математические факультеты ВУЗов, поэтому для них математика и физика это два "родных" предмета)?

Нет, для обеспечения целостного педагогического процесса, для реализации прикладной направленности в изучении математики всё же необходимо найти ту "ниточку", тот "порожек", с помощью которого можно было бы осуществить и преодолеть сложившееся недоразумение. А в частности, внедрить и показать значимость математики не только для самой себя и физики, но и для других школьных предметов естественного цикла. А показать всю значимость можно лишь при решении определённо поставленных задач практического характера. Тем самым мы сможем в максимальной степени привести в исполнение один из основных дидактических принципов – СВЯЗЬ НАУКИ С РЕАЛЬНОЙ ЖИЗНЬЮ.

И всё это в руках учителя (прежде всего в его), а уж потом дело стоит за авторами учебной литературы! Поэтому любому учителю просто необходимо находить и составлять задачи такого характера и как можно чаще использовать их на своих уроках. Приведём в качестве примера некоторые из них.

Например, к повторению темы "Системы уравнений" в 9 классе можно приурочить решение следующей задачи из области химии.

Задача 1. Смесь карбонатов калия и натрия массой 7 грамм обработали серной кислотой, взятой в избытке. При этом выделился газ объёмом 1,344 литра. Определите массовые доли карбонатов в исходной смеси.

Решение. Для решения необходимо знать лишь основные формулы, применяемые в химии (, – количество вещества, m – масса вещества, M – молярная масса вещества; для газов –  , – количество вещества, V – объём газа, V₀= 22,4л/моль ; массовая доля вещества в смеси –  ) и правильность написания хода реакций (которые можно уточнить у учителя химии).

Запишем реакции взаимодействия карбонатов с кислотой:

Na₂CO₃ + H₂SO₄ ---> Na₂SO₄ + CO₂ + H₂O  (1)

K₂CO₃ + H₂SO₄ ---> K₂SO₄ + CO₂ + H₂O (2)

(где Na₂CO₃  –   карбонат натрия, K₂CO₃  –  карбонат калия, H₂SO₄  –  серная кислота, Na₂SO₄  –  сульфат натрия, K₂SO₄  – сульфат калия, CO₂  –  углекислый газ, H₂O   –  вода).

Зная молярные массы карбонатов (из периодической таблицы, которые также можно узнать от учителя химии):  M_(Na2CO3) = 106г/моль и
M_(K2CO3) = 138г/моль, а также количество вещества углекислого газа , можно составить систему.

Пусть x моль – количество вещества карбоната натрия, тогда x моль – количество вещества углекислого газа, полученного в реакции (1) (т.к. коэффициенты в уравнении перед карбонатом натрия и углекислым газом совпадают).

Пусть y моль – количество вещества карбоната калия, тогда y моль – количество вещества углекислого газа, полученного в реакции (2).

В силу того, что массовая доля всего углекислого газа нам известна, то можем составить первое уравнение системы: x + y = 0,06.

Нам известны молярные массы карбонатов, количества веществ, то можем найти их массы: 106x (г) – масса карбоната натрия, 138y (г) – масса карбоната калия. А в силу того, что масса смеси карбонатов нам известна, то можем составить второе уравнение системы: 106x + 138y = 7.

Получаем и решаем систему:

Таким образом, имеем: _(Na2CO3)  = 0,04 моль, _(K2CO3) = 0,02 моль, следовательно, m_(Na2CO3) = 4,24 г, m_(K2CO3) = 2,76 г.

Тогда , а .

Ответ: массовая доля карбоната натрия в смеси равна 60,6 %, а массовая доля карбоната калия  –  39,4%.

Помимо решения системы уравнений, учащиеся сталкиваются с подсчётом процентов, что играет немаловажную роль при закреплении данного понятия.

Данная задача может быть предложена как на уроках математики, так и на уроках химии.

Возможны задачи на использование понятия производной функции, которые реализуют связь между математикой и биологией. Одна из таких задач – задача о нахождении наибольшего значения численности популяций микроорганизмов.

Задача 2. В среду с определёнными условиями существования вносят популяцию из 100 бактерий. Численность популяции возрастает по закону: , где t выражено в часах. Найти максимальный размер этой популяции до момента её угасания.

Решение. Найдём производную от функции z(t):

;

, но – 1 не удовлетворяет условию задачи, значит необходимо рассмотреть поведение производной функции в окрестности точки 1.

Видно, что 1  –  точка максимума.

А это и говорит о том, что в момент времени t = 1 (час) популяция достигнет своего наибольшего значения (будет иметь максимальный размер).

Тогда, (бактерий).

Ответ: 150 бактерий.

Хороши задачи на нахождение приращений функции и дифференциалов. Вот одна из них.

Задача 3. При изучении свойств концентрированной серной кислоты учитель поместил медный кубик с ребром 5 см в раствор кислоты. Через некоторое время масса кубика уменьшилась на 0,96 г. Требуется определить, на сколько уменьшились размеры куба, то есть, на сколько укоротилось его ребро, если плотность меди равна 8 г/см³. (Медь переходила в раствор с каждой грани равномерно).

Решение. Т.к. медь переходит в раствор с каждой грани равномерно, то в определённый момент реакции в кислоте будет присутствовать куб, но уже меньших размеров.

Пусть х  –  ребро куба, тогда объём куба равен V = x³. Т.к. , то изменение объёма куба см³. Считая приближённо   –  изменение длины ребра куба) и учитывая, что , имеем: .
Следовательно,  (см).

Ответ: 0,0016 см.

Неоспоримый положительный эффект достигается при решении задач по применению показательной функции. Например, подобные задачи можно рассматривать при нахождении температурного коэффициента скорости химической реакции (а также всего того, что непосредственно связано с ним). Из химии известна формула: , где – температурный коэффициент, и –  время реакции при температурах t₁ и t₂, и –  скорости реакций, выражается в секундах.

Задача 4. При температуре t₁ реакция протекает за 25 минут, а при температуре t₂ –  за 4 минуты. Рассчитайте разницу между температурами t₁ и t₂, если температурный коэффициент реакции равен 2,5.

Решение. В силу того, что (минут) = 1500 (секунд), а (минуты) = 240 (секунд), имеем .

Тогда (т.е. задача свелась к решению простейшего показательного уравнения).
Отсюда: .

Ответ: 20⁰.

Учащимся можно предложить задание на нахождение области значения некоторой функции, например, при решении экологических задач.

Задача 5. Смена в некоторой экологической системе подчиняется принципам периодичности и цикличности (луг  –  болото, болото  –  луг). Нам известен закон, по которому она происходит: , где t – время. Требуется найти размах между циклами смены (т.е. найти разницу между положениями "болото" и "луг" на графике функции h(t)).

Решение. Для определённости будем считать, что наибольшему значению функции h(t) соответствует положение "луг", а наименьшему  –  "болото".

Преобразуем функцию h(t): . Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения данной функции, необходимо отыскать её область значений.

В силу того, что , то . Сл.,, где 8  –  наибольшее значение функции ("луг"), а 6  –  наименьшее ("болото").

Тогда размах равен 8 – 6 = 2.

Ответ: 2.

А при рассмотрении определённого интеграла интересным будет решить задачу следующего содержания.

Задача 6. Известно, что скорость химической реакции может быть выражена следующей формулой , где t –  время (в минутах), в течении которого идёт реакция. Требуется найти массу (в граммах) вступившего в реакцию вещества за промежуток времени [4; 16].

Решение. Известно, что , где   –  приращение массы вещества, вступившего в реакцию, соответствующее приращению времени . Таким образом, данный предел  –   производная от массы по времени.

В нашем случае известна функциональная зависимость скорости реакции от времени. Тогда массу вещества, вступившего в реакцию можно вычислить по формуле: , где [t₀; T]   –  промежуток времени, за который идёт реакция.

Требуется найти массу вступившего в реакцию вещества на промежутке времени от 4 до 16 минут. Тогда t₀ = 4, а T = 16.

Окончательно имеем: (г).

Ответ: 4 г.

При знакомстве с дифференциальными уравнениями учащимся можно предложить задачу эколого-биологического характера.

Задача 7. Какая популяция живых организмов развивается со скоростью возрастания численности элементов популяции, пропорциональной числу особей, входящих в неё. Найти закон развития популяции, если в начале наблюдения число элементов равно N₀ = 10, а через 10 минут
N = 100.

Решение. Пусть x  –   количество элементов популяции, имеющихся в данный момент. Тогда согласно условию задачи получим уравнение: , где k –  коэффициент пропорциональности (k > 0, т.к. численность особей увеличивается).

Следовательно, . Почленно интегрируем полученное равенство: , где lnC  –  произвольная константа интегрирования.

.

В нашем случае x = N, C = N₀, t = 10 (мин) = (ч).

Тогда . Найдём . Окончательно имеем: N = N₀ ^. 10^6t  –  закон развития популяции (время выражено в часах). Данная популяция  –   бактерии.

Ответ: бактерии; N = N₀ ^. 10^6t.

Ряд подобных задач можно продолжить и далее, но мы ограничились лишь уровнем старшей школы (хотя первая задача относится к 9 классу), т.к. к данному моменту учащиеся в полной мере владеют основами математического анализа, позволяющим разрешить многие прикладные задачи.

И как было упомянуто вначале статьи, вся инициатива в подборе упражнений лежит на плечах учителя. Он должен стараться на своих уроках интегрировать материал математики и естественных дисциплин для прочного усвоения учебного материала учащимися. Благодаря таким задачам, мы можем формировать познавательный интерес у школьников не только к своему предмету, но и к предметам своих коллег. Должны по возможности объединяться с другими учителями, чтобы дать интересный интегрированный урок. И пусть это будет не только сочленение математики с физикой (как чаще всего бывает), но и с химией, биологией, экологией и т.д.

Чем больше прикладной направленности мы можем внести в интегрированный урок, тем эффективнее будет реализовываться один из основных дидактических принципов – связь науки с реальной жизнью. Создавая межпредметные связи, мы будем доказывать учащимся то, что математика не существует сама по себе и сама для себя, а она призвана быть центральным звеном всех естественных наук.

Используемая литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. Учреждений / А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.; Под ред. А.Н.Колмогорова.   –  6-е изд.  –  М.: Просвещение, 1997.
2. Баврин И.И. Начала анализа и математические модели в естествознании и экономике: Кн. для учащихся 10-11 кл.  –  2-е изд.  –  М.: Просвещение, 2000.
3. Терешин Н.А., Терешина Т.Н. 2000 задач по алгебре и началам анализа. 10 кл./  –  М.: Аквариум, 1998.