Урок решения задач с использованием понятия квази упругой силы

Тема: Решение задач с использованием понятия квазиупругой силы.

Цели:

Дать понятие квазиупругой силы, показать решение задач с использованием понятия квазиупругой силы.
Способствовать умению анализировать и сравнивать.
Учить работать вместе, воспитывать терпеливое отношение друг к другу в группах.
Учить самооценке.

Целеполагание. Сегодня на уроке мы должны научиться решать задачи с помощью понятия квазиупругой силы. Рассмотреть как можно больше примеров решения задач. Как можно решить эту задачу за один урок?

Учащиеся. Разделиться на группы. Сначала изучить понятие квазиупругой силы, затем каждая группа решит одну задачу и объяснит ее другим.

Учитель. Сегодня каждый сам оценит свою работу. В конце урока впишет в оценочный лист свою фамилию и поставит себе оценку.

Класс делится на группы. Группы получают задание 1 и 2. Задания 1 и 2 одинаковые для всех групп.

Задание 1. Внимательно прочитайте текст: "Использование понятия квазиупругой силы при решении задач." (Текст на каждой парте).

Использование понятия квазиупругой силы при решении задач.

Сила упругости, действующая на колеблющуюся материальную точку, прямо пропорциональна смещению и направлена к положению равновесия (см. рис.1), поэтому ее часто называют возвращающей силой. Она равна F = -kx, где k — коэффициент пропорциональности, называемый жесткостью.

Квазиупругая сила — это сила, пропорциональная смещению тела (аналогично силе упругости), но ее природа не связана с упругой деформацией тела.

Решение задач с использованием понятия квазиупругой силы проводится в следующей последовательности:

а) нахождение силы, возвращающей тело в положение равновесия, и доказательство ее пропорциональности смещению;
б) определение (используя аналогию с силой упругости) коэффициента пропорциональности квазиупругой силы;
в) вычисление периода колебаний по формуле пружинного маятника

Пример. Колебания математического маятника

Сила, возвращающая тело (рис.2 ) в положение равновесия, равна F= -mg sin. Считая углы отклонения малыми, можно принять sin ~ , но угол =, тогда F = -m x. Сравнивая эту силу с силой упругости определяем коэффициент пропорциональности квазиупругой силы: k = .

Для периода колебаний математического маятника получаем:=

Задание 2. Ответьте на вопросы.

1. Какую силу можно назвать квазиупругой?
2. Запишите алгоритм решения задач с использованием понятия квазиупругой силы.
3. В качестве примера решения задач с помощью понятия квазиупругой силы запишите ход рассуждений для математического маятника.

Учитель. Кто успешно справился с первыми заданиями, получите третье задание.

Задание группе 1. Колебания двух математических маятников, связанных невесомой нитью.

Два математических маятника, длиной I каждый, связаны невесомой пружиной (рис.3). Жесткость пружины равна k. При равновесии маятники занимают вертикальное положение, и пружина недеформирована. Определите период малых колебаний двух связанных маятников в случаях, когда маятники отклонены в одной плоскости на равные углы в одну сторону (колебания в фазе) и в противоположные стороны (колебания в противофазе).

Задание.

1. Получите формулу возвращающей силы.
2. Докажите, что она является квазиупругой.
3. Определите коэффициент пропорциональности квазиупругой силы.
4. Запишите формулу периода колебаний двух математических маятников, связанных невесомой нитью.

Ответ. Отклоним оба маятника от вертикали в одну и ту же сторону на одинаковый угол. Пружина при таком отклонении не будет деформирована. Легко сообразить, что отпущенные из этого положения маятники будут колебаться в фазе с периодом :

При отклонении в разные стороны на одинаковые углы колебания маятников будут происходить в противофазе, и пружина будет деформироваться. Для того чтобы подсчитать частоту этих колебаний, найдем силу, возвращающую маятники в положение равновесия(рис.4). При отклонении на угол модуль силы, действующей со стороны пружины на тело массой m, согласно закону Гука равен F= k'. Но жесткость половины пружины k'=2k, а растяжение этой половины = sin . Следовательно,

F = 2kl sin.

Сумма проекций силы тяжести и силы упругости на касательную к окружности (обозначим ее через F) равна:

F = mg sin + 2kl sin cos

(см. рис.4) Так как при малых углах cos 1, то

F = (mg + 2kl) sin или F = m(g +) sin . 

Для математического маятника эта проекция равна mg sin . Считая углы отклонения малыми, можно принять sin ~ , но угол =, тогда F = - F = m(g +)

Сравнивая эту силу с силой упругости определяем коэффициент пропорциональности квазиупругой силы: k = (g +)

Период колебаний:

Задание группе 2. Колебания брусков, связанных пружиной.

На горизонтальной поверхности лежат два бруска (рис. 5), массы которых равны соответственно т₁ и т₂. Бруски связаны пружиной жесткостью k. Пружина сжата при помощи двух нитей, как показано на рисунке. Нити пережигают.

Задание.

1. Получите формулу равнодействующей.
2. Докажите, что она является квазиупругой.
3. Определите коэффициент пропорциональности квазиупругой силы.
4. Запишите формулу периода колебаний брусков, связанных пружиной.

Решение. Грузы будут совершать колебания относительно центра масс. Центр масс остается в покое, и -расстояние от центра масс до грузов т₁ и т₂, при этом : т₁=т₂,

и -смещение грузов от положения равновесия , т₁(-)= т₂(-), следовательно т₁ = т₂

=k(+ )=k(1+), Сравнив эту силу с силой упругости, определим коэффициент пропорциональности квазиупругой силы: к = k (1+). Период колебания брусков, связанных пружиной :Т=

Задание группе 3. Колебание тела в шахте внутри Земли

Предположим, что удалось просверлить Землю по диаметру (рис.6). В шахту у поверхности Земли опустили небольшое тело, которое начнет двигаться. Рассмотрим произвольное положение тела, когда оно находится на расстоянии х от центра Земли. На него действует сила тяготения со стороны внутреннего земного шара радиуса х: F=G, М_х- масса этого шара. Пусть средняя плотность Земли , тогда М_х= 4/3х³.

Задание.

1. Получите формулу силы тяготения.
2. Докажите, что она является квазиупругой.
3. Определите коэффициент пропорциональности квазиупругой силы.
4. Запишите формулу периода колебаний тела в шахте внутри Земли.

Ответ. Следовательно, сила тяготения равна F = - 4/3 Gpmx. Можно доказать, что сила тяготения, действующая со стороны оставшегося вверху шарового слоя толщиной R - х, равна нулю. Отсюда делаем вывод: на тело, находящееся внутри шахты, действует квазиупругая сила. Найдем коэффициент пропорциональности: k=4/3Gm. Период колебаний тела внутри Земли равен : Т=2.

Задание группе 4. Колебания грузика в гладкой сферической поверхности.

В идеально гладкую сферическую полость радиусом R положили небольшой грузик и отпустили. (рис.7)

Задание.

1. Получите формулу равнодействующей при малых колебаниях.
2. Докажите, что она является квазиупругой.
3. Определите коэффициент пропорциональности квазиупругой силы.
4. Запишите формулу периода колебаний грузика в гладкой сферической поверхности

Ответ. Сила, возвращающая тело (рис. 8) в положение равновесия, равна F= -mg sin. Считая углы отклонения малыми, можно принять sin ~ , но угол =, тогда F = -m х. Сравнивая эту силу с силой упругости, определяем коэффициент пропорциональности квазиупругой силы: k =

Период колебаний грузика в гладкой сферической поверхности: Т=2

Задание группе 5. Колебания заряженной частицы.

Два неподвижных точечных заряда +q_Q расположены в точках В и С на расстоянии r друг от друга. Вдоль оси симметрии системы этих зарядов может перемещаться шарик массой т, несущий точечный заряд -q (рис. 8). Считая смещение отрицательного заряда от прямой ВС, соединяющей положительные заряды, малым по сравнению с r, определите период Т колебаний отрицательного заряда.

Задание.

1. Получите формулу равнодействующей при малых колебаниях.
2. Докажите, что она является квазиупругой.
3. Определите коэффициент пропорциональности квазиупругой силы.
4. Запишите формулу периода колебаний заряженной частицы.

Ответ. Направим ось X вдоль оси симметрии системы данных зарядов (см. рис.), а начало координат совместим с серединой отрезка ВС. Сместим заряд -q на небольшое расстояние ОА=х от положения равновесия О. Тогда на заряд –q со стороны зарядов +q_Q начнут действовать силы F₁ и F₂, стремящиеся вернуть заряд -q снова в положение равновесия. Проекция равнодействующей F этих сил на ось X равна: F_x = -2F_l sina (*)

Так как угол мал, то sin atg =

Модуль силы F₁ найдем по закону Кулона: F₁=

Смещение х — малая величина, а х² — величина второго порядка малости и ею можно пренебречь. Следовательно, F₁=

Заменив в выражении (*) F₁ и sin их значениями, получим:F_x=-x

Сравнивая эту силу с силой упругости, определяем коэффициент пропорциональности квазиупругой силы: k=

Следовательно, T=

Задание группе 6. Колебания заряженной частицы.

Два неподвижных точечных заряда +q расположены на

расстоянии АВ = r друг от друга. Посередине между этими зарядами расположен шарик массой т, несущий точечный положительный заряд q, который может перемещаться только вдоль линии АВ (см. рис.11). Определите период Т малых колебаний заряда.

Задание.

1. Получите формулу равнодействующей при малых колебаниях.
2. Докажите, что она является квазиупругой.
3. Определите коэффициент пропорциональности квазиупругой силы.
4. Запишите формулу периода колебаний заряженной частицы.

Ответ. При смещении заряда q от положения равновесия на величину х со стороны зарядов +q действуют силы:

, . Равнодействующая сила равна: , смещение х- малая величина, а х²- величина второго порядка малости и ею можно пренебречь, следовательно, т.к. , то

. Сравнив эту силу с силой упругости, определяем коэффициент пропорциональности квазиупругой силы: к=.

Период Т малых колебаний заряда: Т=

Литература:

1. В.И. Киселев. Использование понятия квазиупругой силы при решении задач. стр.38-39, ж-л “Физика в школе”, №6, 1998, М.
2. Г.Я.Мякишев, А.З.Синяков. Физика. Колебания и волны. 11класс, учебник для углубленного изучения физики, Дрофа, Москва, 2002.