Задачи с параметрами (ЗсП) традиционно являются наиболее сложными для учащихся, поскольку требуют от них умения логически рассуждать и проводить анализ решения. Подобные задачи являются первыми исследовательскими задачами, с которыми встречаются школьники. Для их решения не требуются знания, выходящие за пределы школьной программы, но недостаточно применения лишь стандартных приемов, а необходимо глубокое понимание всех разделов элементарной математики.
В данной статье предпринята попытка систематизации и формализации (в форме блок-схем) наиболее часто встречающихся и наиболее типичных ЗсП. При этом выделены классы задач, решаемых по единой методике.
Рассматриваются аналитические методы решения ЗсП, сводящиеся к исследованию линейных или квадратных уравнений (неравенств), а также квадратного трехчлена. Такой выбор обусловлен тем, что курс школьной математики ограничен «вглубь», по существу, «теорией квадратичного».
Линейные уравнения
Определение. Уравнение вида ax=b, где a, b принадлежат множеству всех действительных чисел, будем называть стандартным видом линейного уравнения. Всевозможные варианты, возникающие при решении линейных уравнений, отразим в блок–схеме I.
Количество корней линейного уравнения отразим в блок-схеме II:
Пример 1. Для всех действительных значений параметра m решите уравнение m2x–2=4x+m.
Решение. Приведем заданное линейное уравнение к стандартному виду:
m2x–2=4x+m, m2x–4x=m+2, (m2–4)x=m+2.(1)
Следуя схеме I, рассмотрим два случая для коэффициента при x:
1)если m2 – 4 не равно 0, m не равно ±2, то x=(m+2)/(m2-4), x=1/(m–2);
2)m2 – 4=0, то
а) при m = –2 уравнение (1) примет вид 0х=0, отсюда х – любое действительное число;
б) при m = 2 уравнение (1) примет вид 0х= 4, отсюда следует, что корней нет.
Ответ. Если m<–2, –2<m<2, m>2 то x=1/(m–2); если m= – 2, то x – любое действительное число; если m=2, то корней нет.
Пример 2. При каких значениях параметра k уравнение 2(k–2x)=kx+3 не имеет корней?
Решение. 2(k–2x)=kx+3, (k+4)x=2k–3. В силу схемы II уравнение не имеет корней, если k+4=0 и 2k–3 не равно 0 => k= –4 и k не равно 1,5 => k = –4.
Ответ. k=–4.
Системы линейных уравнений
Определение 1. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
Определение 2. Система называется несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Количество решений системы линейных уравнений отразим в блок-схеме III.
Замечание. Так как уравнение прямой y=kx+b в общем виде записывается следующим образом ax+by+c=0, то взаимное расположение двух прямых отразим в блок-схеме IV.
Пример. При каких значениях параметра c система из двух уравнений c2x+(2–c)y–4=c3 и (2c–1)y+cx+2=c5 совместна?
Решение. Запишем систему в стандартном виде: c2x+(2–c)y=c3+4 и cx+(2c–1)y=c5–2. Сначала найдем значения c, при которых эта система не имеет решений. В силу схемы III имеем условие,
c2/с=(2-с)/(2с–1), с не равно (c3+4)/(c5–2),
которое равносильно системе из уравнения и неравенства
с=(2–с)/(2с–1) и с не равно (c3+4)/(c5–2).
Решением системы является с=1. Итак, система имеет решения при всех действительных значениях с, кроме с=1.
Ответ. с - любое действительное число, с не равно 1.
Линейные неравенства
Определение. Неравенство вида ax>b, ax<b, ax> b, ax< b будем называть стандартным видом линейного неравенства.
Всевозможные ситуации, возникающие при решении, например, линейного неравенства ax>b, отразим в блок-схеме V.
Пример. Для всех значений параметра m решите неравенство 5x–m>mx–3.
Решение. 5x–m>mx–3, (5–m)x>m–3.
Следуя схеме V, рассмотрим три случая для коэффициента при х:
1)если 5–m>0, m<5, то х>(m–3)/(5–m);
2)если 5–m<0, m>5, то x<(m–3)/(5–m);
3)если 5–m=0, m=5, то 0х>2. Откуда следует, что решений нет.
Ответ. Если m<5, то х>(m–3)/(5–m); если m=5, то решений нет; если m>5, то х<(m–3)/(5–m).
Квадратные уравнения
Определение. Уравнение вида ax2+bx+c=0, где a, b, c - любые действительные числа, a>0, называется квадратным уравнением относительно действительного переменного x.
Ситуации, возникающие при решении квадратных уравнений, отразим в блок–схеме VI.
Пример. При каких значениях параметра c уравнение (c–2)x2+2(с–2)x+2=0 не имеет корней?
Решение. Рассмотрим два случая:
1) если с–2 не равно 0, c не равно 2, то D<0, D/4<0, (c–2)2–2(c–2)<0, (c–2)(c–4)<0, 2<c<4;
2) если с–2=0, c=2, то заданное уравнение примет вид 0x2+0x+2=0, 2=0; т.е. уравнение не имеет корней.
Ответ: любое действительное с, не равное 2.
Знаки корней квадратного уравнения
Всевозможные комбинации знаков корней квадратного уравнения отразим в следующей блок–схеме:
где D – дискриминант.
Пример. При каких значениях параметра c уравнение (c–1)x2+(c+4)x+c+7=0 имеет только отрицательные корни?
Решение. В силу условия задачи необходимо рассмотреть два случая (линейный и квадратичный):
1) если c–1=0, c=1, то уравнение примет вид 5x+8=0, x= –5/8 – отрицательный корень;
2) если c–1 не равно 0, c не равно 1, то, следуя схеме VII, получим систему
Решением ее являются промежутки –22/3<c<–7, 1<c<2. Объединяя результаты обоих случаев, получим
Ответ. –22/3<c<–7, 1<c<2.
Парабола
Определение. Функция вида y=ax2+bx+c, где a не равно 0, называется квадратичной. График квадратичной функции называется параболой.
Абсциссы точек пересечения параболы y=ax2+bx+c с осью (Ox) являются корнями уравнения ax2+bx+c=0.
Учитывая это, отразим взаимное расположение параболы и оси (Ox) в следующей схеме:
Замечание. Если уравнение параболы имеет вид y=a(x–p)2+q, то (p; q) – координаты вершины параболы.
Пример 1. При каких значениях параметра a вершина параболы y=(x–7a)2+a2–10+3a лежит в III координатной четверти?
Решение. Пусть (x0, y0) – координаты вершины параболы. В силу замечания имеем x0=7a, y0=a2–10+3a. Так как вершина параболы лежит в третьей четверти, то
Ответ. –5<a<0.
Пример 2. При каких значениях параметра b график функции y=(4–b2)x2+2(b+2)x–1 лежит ниже оси (Ox)?
Решение. Рассмотрим два случая.
1. Пусть 4–b2=0, b=+2;
1) если b=2, то прямая y=8x–1 не лежит ниже оси (Ox);
2) если b= –2, то прямая y= –1 лежит ниже оси (Ox).
2. Пусть 4–b2 не равно 0. Тогда в соответствии со схемой VIII получим
Объединяя ответы, получим b<;–2.
Ответ. b<–2.
Расположение корней квадратного уравнения
Пусть x1 и x2 – корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0. Введем функцию y(x)= ax2+bx+c. Тогда расположение корней этого уравнения на числовой оси отразим в блок–схеме IX.
Следствие. С учетом схемы IX схема VII для знаков корней квадратного уравнения примет следующий вид:
Пример. При каких значениях параметра a корни уравнения x2–2(a+3)x+a2+6,25a+8=0 больше 2?
Решение. Введем функцию y(x)=x2–2(a+3)x+a2+6,25a+8; x0 – абсцисса вершины этой параболы. Так как корни уравнения находятся справа от числа 2, то в соответствии со схемой IX имеем:
Ответ. 0<a <;4.
Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции
Пример 1. При каких значениях параметра b уравнение (x2+(3–2b)x+4b–10)X(2x2–2x–1)-0.5=0 имеет один корень?
Решение. Данная задача равносильна следующей: при каких значениях параметра b система
x2+(3–2b)x+4b–10=0,(1)
2x2–2x–1>(2)
имеет одно решение?
Решим неравенство (2): 2x2–2x–1>0, x1,2=0,5(1±(3)1/2), x<0,5(1–(3)1/2) или x>0,5(1+(3)1/2).
Найдем корни уравнения (1): D=(2b–7)2, x1=2, x2=2b–5. Поскольку корень x1=2 удовлетворяет неравенству (2), то система имеет одно решение в следующих случаях:
1) если x2=2b–5 не удовлетворяет неравенству (2), то 0,5(1–(3)1/2)<2b–5<0,5(1+(3)1/2) или 0,25(11–O3)<b<0,25(11+(3)1/2);
2) если x2=x1, то есть 2b–5=2, то b=3,5.
Ответ. 0,25(11–(3)1/2)<b<0,25(11+(3)1/2), b=3,5.
Пример 2. При каких значениях параметра p уравнение 5–4sin2x–8cos2(x/2)=3p имеет корни?
Решение. Преобразуем заданное уравнение:
5– 4sin2x–8cos2(x/2)=3p => 5–4(1–cos2x)–4(1+cosx)=3p => 4cos2x–4cosx–3p–3=0.
Сделаем замену cosx=t. Тогда заданная задача равносильна следующей: при каких значениях p система
4t2–4t–3p–3=0, (1)
-1 < t < 1
имеет решения? Это возможно в следующих случаях:
1) t1, t2 лежат в промежутке (–1; 1);
2) t1 принадлежит интервалу (–1,1), t2 лежит на отрезке [–1, 1];
3) t1=1 или t2=1.
Введем функцию y(t)=4t2–4t–3p–3; t0–вершина этой параболы. В силу схемы IX случаи 1, 2 и 3 описываются следующей совокупностью:
Ответ: –4/3< p <5/3.