I. Введение
Как известно, простейшие термодинамические системы описываются тремя параметрами: давлением P, объемом V и температурой T. Так как они связаны уравнением Менделеева-Клапейрона, то число независимых параметров уменьшается до двух и равновесные процессы, происходящие с системой, можно изображать графически в плоскостях PV, PT или VT.
Часто по ходу решения задачи необходимо перейти от графиков в одних осях к графикам в других. Подобные переходы являются прекрасными упражнениями, позволяющими глубже понять происходящие в системе процессы.
Если график задан в масштабированных осях с конкретными цифрами, то переход к другим осям не представляет никаких трудностей, так как из уравнения Менделеева-Клапейрона можно найти недостающие координаты для характерных точек графика, после чего легко построить график в любых осях.
Если же численных данных нет, то можно стоить графики из качественных соображений, основываясь на физике процессов. При этом получающиеся графики не вполне согласованы друг с другом: по имеющимся двум графикам со значениями Pi, Vi, Ti для характерных точек невозможно построить правильный третий график, так как получающиеся при этом линии не будут линиями изопроцессов.
Мною разработан геометрический алгоритм построения согласованных графиков, основанный на связи между параметрами системы, вытекающей из уравнения Менделеева-Клапейрона, и графическим изображением изопроцессов. Почти всегда изопроцессы изображаются прямыми линиями, кроме изотермы в осях PV. Поэтому необходимо правильно изображать гиперболу, а вернее, находить точки, принадлежащие одной гиперболе. Я обнаружил, что это легко сделать с помощью линейки.
II. Построение гиперболы с помощью линейки.
Все точки гиперболы первого порядка обладают следующим свойством: площадь любого прямоугольника, одна вершина которого принадлежит гиперболе, вторая – началу координат, а остальные – координатным осям, постоянна. Отсюда следует, что если строить такие равновеликие прямоугольники, то соответствующие вершины будут принадлежать одной гиперболе.
Пусть имеется точка A(x1, y1) (рис.1). Нужно найти координату x2 точки B(x2, y2), для которой известна координата y2 и которая принадлежит той же гиперболе, что и точка A. По условию равновеликости площадей,
x1 · y1 = x1 · y2 => x1/y2 = x2 /y1.
Последнее равенство похоже на
соотношение сторон в подобных треугольниках:
треугольник 
OA'A"
подобен треугольнику OB'B". Отсюда видно, как найти точку B.
Надо провести две прямые, параллельные оси
абсцисс, через точки с ординатами y1 и y2,
затем опустить перпендикуляр из точки A на ось
абсцисс, а затем провести прямую через точку O и
точку A' - пересечение перпендикуляра и прямой с
ординатой y2. Перпендикуляр из точки B'
(пересечение прямой OA' и прямой с ординатой y1)
на ось абсцисс и дает координату x2.
Находя подобным образом ряд точек, можем по ним
построить гиперболу.
Можно поступить еще проще. Если провести через точку A две прямые (рис.2), параллельные координатным осям, то любая прямая, проходящая через начало координат, отсекает на них координаты точек гиперболы (на 1-й - абсциссы, а на 2-й – ординаты). Если эти прямые проходят в первой четверти, то получается одна ветвь гиперболы, а если во второй – то вторая ветвь гиперболы. В более общем случае прямые 1 и 2 проводятся параллельно абсциссам, а секущие прямые – через центр двух гипербол.
III. Алгоритм построения графиков.
Так как мы рассматриваем в основном графики, соответствующие последовательным изопроцессам, то нам достаточно находить недостающие координаты точек перехода от одного изопроцесса к другому. Если же мы имеем дело не с изопроцессами, то тем более надо уметь находить координаты любой точки.
Введем на осях P, V, T масштаб, то есть выберем произвольные отрезки OP0, OV0, OT0, которые будем считать единичными отрезками. Желательно выбирать их одинаковыми, так как в противном случае при возвращении к исходному графику через два построенных в других осях мы получим искажение. Преобразуем уравнение Менделеева-Клапейрона
PV = vRT (1)
в уравнение
PV = T ' (2).
Таким образом, мы просто изменили масштаб на оси T.
Рассмотрим процесс нахождения недостающих координат в случаях, когда заданы графики в осях PV, PT или VT. Для каждого случая мы рассмотрим две точки. У первой ордината больше выбранной единицы (точка A), у второй – меньше (т. A' )
Оси PV (рис. 3а), PT (рис. 3б) и VT (рис. 3в).
Пусть имеются точки A и A' в плоскости PV. Необходимо найти для них координаты T'. Из уравнения (2) следует, что значение T' геометрически равно значению объема при P = P0 = 1. Поэтому надо провести изотермы через A и A' до пересечения с прямой P = P0. Тогда абсциссы этих точек дадут геометрические значения T'A и T'A' . Для точки A построение описано выше.
Для точки A' построение ведется в обратном порядке по сравнению с A, так как PA' < P0, а PA > P0. Проводим прямые, параллельные осям, через точку A'. Проводим линию через начало координат и пересечение вертикали из точки A' с линией P = P0. Через точку пересечения этой линии с горизонталью из точки A' проводим вертикаль, пересечение которой с осью 0V даёт значение VB' , геометрически равное TA' в выбранном нами масштабе.
Из уравнения (2) следует, что V = T'/P. При P = P0 = 1 получаем, что геометрически V = T'. Проведем через A и A' изохоры. Тогда абсциссы точек пересечения их с прямой P = P0 дадут нам геометрическое значение объема.
Из уравнения (2) следует, что P = T'/V. Поэтому, построение в осях VT проводится аналогично, только теперь надо проводить изобары через точки A и A' и пересечение искать с прямой V = V0.
Как видно, для нахождения недостающей координаты надо через интересующую нас точку провести линию того изопроцесса, чей неизменный параметр отсутствует на осях графика, до пересечения с прямой P = P0 или V = V0. Тогда вторая координата точки пересечения даст нам геометрическое значение искомой координаты.
Выбор P0, V0 и T0 влияет на величину получающихся графиков. Из рис. 3а видно, что если PA > P0, то геометрическое значение TA больше геометрического значения VA, то есть графики в осях PT и VT получатся более растянутыми. Если PA < P0, то всё наоборот. Из рис. 3б и 3в видно, что если PA > P0 (VA > V0), то геометрическое значение VA (PA) получится меньше геометрического значения TA, то есть график в осях PV получается сжатым по оси V (P). Если же PA < P0, то всё наоборот. Исходя из этого, можно выбирать P0 (V0) таким образом, чтобы получающиеся графики укладывались в заранее определенные рамки. Это легко сделать, так как всегда известно, в какой точке исходного графика недостающий параметр имеет наибольшее значение. Следует провести через нее соответствующую изолинию и выбрать P0 или V0 так, чтобы точка пересечения прямой P = P0 или V = V0 имела абсциссу нужной нам величины.
Чтобы предложенный алгоритм работал, необходимо правильно строить исходный график в осях PV: конечные точки изотермы должны принадлежать одной гиперболе, что легко сделать, опираясь на алгоритм построения гиперболы.
Существует еще один класс графических задач – сравнение параметров, отсутствующих на осях графика для разных его точек. Для этого через эти точки проводятся соответствующие изолинии, что и позволяет сделать вывод, где соответствующий параметр больше.
До сих пор проблемы возникали для изотерм, так как не всегда было ясно, изотерма какой точки пойдет выше (рис. 4а). Теперь подобных затруднений нет (рис. 4б) и видно, что температура состояния в точке В выше, чем температура состояния в точке А.