Тригонометрическое ассорти

Разделы: Математика, Внеклассная работа

После знакомства учащихся с тригонометрическими функциями и их графиками проводится занятие – “Тригонометрическое ассорти”.

Класс разбивается на 2 группы по 4 человека: команды “Синус” и “Косинус”.

Подготовка к занятию включает в себя:

  • исторические экскурсы:

“Из истории тригонометрических функций”
“Леонард Эйлер”

  • поиск ответов на вопросы викторины.

Цели занятия:

    • познакомить с историей тригонометрических функций и биографией Л. Эйлера;
    • обобщить и систематизировать знания о тригонометрических функциях;
    • воспитывать аккуратность при построении графиков и учить видеть их радужную красоту;
    • развивать творческую активность;
    • расширять кругозор учащихся;
    • продолжить обучение работать самостоятельно с дополнительной литературой;
    • воспитывать товарищество и доброжелательность в общении.

План:

  1. Организационный момент.
  2. Исторические экскурсы.
  3. Лабораторный практикум.
  4. Викторина.
  5. Подведение итогов.

ИСТОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Самой первой тригонометрической функцией была хорда, соответствующая данной дуге. Для этой функции были построены первые тригонометрические таблицы (II в. до н. э.), нужные для астрономии.

Впервые в истории науки в период V-XII веков индийские математики и астрономы вместо полной хорды стали рассматривать половину хорды, которая соответствует современному понятию синуса. Величину половины хорды они назвали “архиджива”, что означало “половина тетивы лука”. Кроме sin x, индийцы рассматривали также величину 1 – cos x, которую они называли “комаджива”, и величину cos x – “котиджива”.

Понятие таких тригонометрических функций, как тангенс, котангенс, секанс и косеканс, определил совершенно строго, исходя из рассмотрения тригонометрического круга, иранский математик Абу-ль-Вефа. Современные названия этих функций были даны в период с XV по XVII век европейскими учеными. Так, термин “тангенс” с латинского “касательная” был введен в XV веке основателем тригонометрии в Европе Региомонтаном. В XVI веке Финк вводит термин “секанс”. В XVII веке помощник изобретателя десятичных логарифмов Бриггса ученый Гюнтер вводит название “косинус” и “котангенс”, причем приставка “ко” (co) обозначает дополнение (complementum).

Современные обозначения синуса и косинуса знаками sin x и cos x были впервые введены в 1739 году И. Бернулли в письме к петербургскому математику Л. Эйлеру. Последний пришел к выводу, что эти обозначения весьма удобны, и стал употреблять их в своих математических работах. Кроме того, Эйлер вводит следующие сокращенные обозначения тригонометрических функций угла x: tang x, cot x, sec x, cosec x. Далее Эйлер установил связь тригонометрических функций с показательными и дал правило для определения знаков функций в различных четвертях круга. Эйлер установил современную точку зрения на тригонометрические как функции числового аргумента.

В1770 г. появилось и удерживается до наших дней название Тригонометрические функции. Его ввел Г. С. Клюгель в работе “Аналитическая тригонометрия”.

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР

Несомненно, Эйлер принадлежит к числу гениальных математиков всех времен. В истории точных наук его имя стоит рядом с именами Ньютона, Декарта, Галилея. Он был не только математиком, но и физиком, астрономом. Его труды оказали огромное влияние на развитие этих наук.

Эйлер родился в Швейцарии в городе Базеле, слушал лекции великого математика Иоганна Бернулли, который взялся лично руководить развитием таланта великого математика. Ученую степень магистра Эйлер получил в возрасте 16 лет. Спустя четыре года он по приглашению Петербургской Академии Наук выехал в Россию, где стал членом Академии и руководил кафедрой физиологии. С этого времени начинается быстрое развитие его научной деятельности.

Леонард Эйлер известен необыкновенным трудолюбием, что, в конце концов, привело его к потере зрения в одном глазу. Это, однако, не помешало его творчеству. К сожалению, напряженный научный труд ухудшил состояние его здоровья, что потребовало изменение климата.

В 1748 году в Лозанне он издал свое главное произведение в трех томах “Введение в анализ бесконечно малых” (на русский язык издана в1961г.), в которой он собрал все свои прежние математические труды и статьи, написанные на протяжении многих лет. В 8-й главе I тома своей книги Эйлер изложил теорию тригонометрических функций. Он ввел близкую к привычной нам символику, полностью разъяснил вопрос о знаках всех тригонометрических функций любого аргумента. Эти функции он рассматривал как безразмерные числа, называя их общим термином “трансцендентные количества, получающиеся из круга”. Произведение “Введение в анализ бесконечных” укрепило позицию Эйлера как наиболее выдающегося математика. Почти всё, что в настоящее время изучается по высшей алгебре и математическому анализу, включено в этот труд.

В 1776 году Эйлер вернулся в Россию, Екатерина II назначила ему постоянное жалование из собственных средств. “Я надеюсь, – сказала она, – что моя Академия возродится из пепла, когда к ней вернулся великий человек”. К сожалению, вскоре после приезда в Петербург Эйлер заболел и потерял второй глаз. Но его математический гений и великолепная память позволили ему продолжить работу. Формулы он писал мелом на доске, а своим друзьям диктовал новые работы. Характерно, что гений и творчество Эйлера развивались вплоть до поздней старости, о чем свидетельствует непрерывно растущее количество написанных им трудов. Эйлер написал свыше 800 работ, в том числе 60 % по математике. Еще в день своей смерти он вел оживленный спор со своими сотрудниками. Эйлер был похоронен на Смоленском кладбище в Петербурге.

После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления, различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее, проще. Тем самым был сделан важный шаг. Дело в том, что предшественники Эйлера неизменно связывали понимание тригонометрических функций с образами линий в круге некоторого радиуса, называя его “полным синусом” (sinus totus).

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

(работа в группах)

Дана функция y = f(x), определенная на отрезке

  1. Построить графики функций f(x) в одной координатной плоскости
    2.   Команда “Синус” Команда “Косинус” Цвет графика
      y = sin x + b при b = y = acos x при a =
    1 -1,5 -1,5 Фиолетовый(ф)
    2 -1 -1 Синий(с)
    3 -0,5 -0,5 Голубой(г)
    4 0 0 Зеленый(з)
    5 0,5 0,5 Желтый(ж)
    6 1 1 Оранжевый(о)
    7 1,5 1,5 Красный(к)
  2. Найти общее и отличительные признаки графиков функций.
  3. Исследуйте функцию

    4. “Синус”: y = 1,5sin x

    “Косинус”: y = cos x – 0,5

    Укажите:

    а) множество значений функции;
    б) координаты пересечения графика с осями координат;
    в) промежутки знакопостоянства;
    г) промежутки монотонности (промежутки убывания и возрастания);
    д) точки экстремума, вид экстремума, экстремумы;
    е) является ли функция четной или нечетной.

  4. Какой из русских пословиц наиболее соответствует график функции y = sin x и почему?
  1. Чем дальше в лес, тем больше дров.
  2. Дальше кумы, меньше греха.
  3. Кашу маслом не испортишь.
  4. Выше меры конь не скачет.
  5. Пересев хуже недосева.

Ответ: Выше меры конь не скачет.

Пояснение: если изобразить траекторию скачущего коня, то высота скачков в полном соответствии с пословицей будет ограничена сверху некоторой “мерой”.

Хорошо знаком график синуса. И здесь есть своя мера, выше которой не вздымаются волны синусоиды. Единица – это точная верхняя грань для значения синуса. Для любого уровня, что ниже точной верхней грани, найдутся значения функции, его превосходящие.

В этом одно из двух отличительных свойств точной верхней грани. А другое и совсем очевидно: ее не превосходит ни одно значение функции. “Не превосходит” – это значит “меньше или равно”. Синус и в самом деле кое-где равен единице – в точках, соответствующих макушкам волн. Во всех остальных он меньше единицы. Есть у значения синуса и точная нижняя грань – минус единица.

ВОПРОСЫ ВИКТОРИНЫ

  1. Кто ввел названия тригонометрических функций?
  2. Кто ввел обозначение тригонометрических функций?
  3. Кем и когда были составлены первые тригонометрические таблицы?
  4. Какой ученый впервые явно сформулировал теорему косинусов?
  5. Чьи это слова: “Как и все другие науки, математика возникла из практических нужд людей: из измерения площадей земельных участков, из счисления времени и механики”?
  6. Что такое триангуляция и кто ее придумал?
  7. Что такое простафарезис?
  8. Что означает слово “тригонометрия”?
  9. Что такое “гониометрия”?
  10. Кто ввел обозначения в треугольнике сторон малыми латинскими буквами, а противолежащих им вершин соответствующими большими латинскими буквами?
  11. Чем можно объяснить, что у среднеазиатских и некоторых европейских ученых линии тангенса и котангенса назывались “тень”?
  12. Может ли синус отрицательного аргумента быть числом положительным?
  13. Кто первый измерил длину земного меридиана?

ОТВЕТЫ ВИКТОРИНЫ

  1. Понятие “синус” ввели индийские ученые, рассматривая половину хорды. Индийское название синуса “архаджива” означало “половина тетивы лука”.

    2. В арабском переводе слово было искажено в “джайб” (углубление, излучина, пазуха) и переведено на латинский язык как синус.

    Термин “тангенс” (по-латински - “касательная”) был введен Региомонтаном. В 1583г.

    Т. Финк ввел термин “секанс”.

    Название “косинус” и “котангенс” введены Гунтером (1581–1626).

  2. Современные обозначения для синуса и косинуса были введены в 1739г. И. Бернулли в письме к Л. Эйлеру. Для остальных тригонометрических функций обозначения ввел Л. Эйлер. Знак для арксинуса ввел Ж. Лагранж в 1772г.
  3. Первые тригонометрические таблицы (“таблицы хорд”) были составлены древнегреческим астрономом Гиппархом во II в. до н.э. Таблицы синусов были составлены в IV в. индийским ученым Ариабхата.
  4. Франсуа Виет.
  5. Это слова Ф. Энгельса.
  6. Триангуляция – это способ косвенного измерения больших расстояний на поверхности земли построения так называемой триангуляционной сети. (Это сеть треугольников, разбивающая искомое расстояние на ряд отрезков, постепенно вычисляемых на основе непосредственного измерения только одного отрезка, базиса, и измерения углов, что можно сделать со значительно большей степенью точности, чем измерение отрезков). Триангуляцию впервые применил голландский ученый XVI в. В. Снеллиус.
  7. Простафарезис – это способ вычисления произведения до изобретения логарифмов. Для сведения умножения к сложению и вычитанию (термин составлен из греческих слов, обозначающих эти действия) применялись формулы, заменяющие произведение тригонометрических функций суммой или разностью. Данные числа рассматривались как значения тригонометрических функций, что всегда можно сделать соответствующим переносом запятой. Затем результаты получались применением тригонометрических таблиц.
  8. “Тригонометрия” происходит от двух греческих слов: “тригонон” – треугольник и “метрейн” – измеряю, т.е. измерение треугольников.
  9. “Гониометрия” – учение о тригонометрических функциях.
  10. Эти обозначения ввел Л. Эйлер (1707-1783), придавший всей тригонометрии совершенный вид.
  11. Это объясняется тем, что с понятием тангенса и котангенса ученые встретились при решении задачи на определение высоты солнца по тени, отбрасываемой шестом. При этом линия тангенса быта тенью (катетом) в прямоугольном треугольнике.
  12. В промежутках синус имеет положительные значения, хотя значения аргумента отрицательны.
  13. Греческий ученый Эратосфен (275-193 гг. до н. э.).

Итоги урока:

Тригонометрические функции возникли в Древней Греции в связи с исследованием в астрономии и геометрии. Отношения сторон в прямоугольном треугольнике, которые по существу и есть тригонометрические функции, встречаются уже в III в. до н.э. в работах Евклида, Аполония Пергского и других. Современную форму теории тригонометрических функций и вообще тригонометрии придал Л. Эйлер. Ему принадлежали определения тригонометрических функций и принятая в наши дни символика.

По мере оформления представлений о тригонометрических функциях они превращались в самостоятельные объекты исследований, т.е. собственно в функции, объекты, обладающие самостоятельным значением и своими особыми свойствами.

В XVIII в. тригонометрические функции были включены в систему математического анализа в качестве одного из классов аналитических функций.

Спасибо за сотрудничество. Хорошо работали на уроке…

Знакомство с тригонометрическими функциями продолжается.

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА:
  1. Глейзер Г. И. “История математики в школе IX-X классы”, Москва, Просвещение, 1983.
  2. Попов Ю. П., Пухначев Ю. В. “Математика в образах” Москва, Знание, 1989.
  3. Рыбников К. А. “Возникновение и развитие математической науки”, Москва, Просвещение, 1987.
  4. Чистяков В. Д. “Исторические экскурсы на уроках математики в средней школе”, Минск, Народная Асвета, 1969.
  5. “Шеренга великих математиков”, Варшава, Наша Ксенгарня, 1970.
  6. Шустеф Ф. М. “Материал для внеклассной работы по математике”, Минск, Народная Асвета, 1984.
  7. Энциклопедический словарь юного математика, Москва, Педагогика, 1985.