Геометрия для многих учащихся является сложным предметом. Анализ результатов ОГЭ по математике из года в год показывает низкий процент выполнения заданий по геометрии, и, особенно, заданий повышенного уровня сложности. Это свидетельствует о том, что учащиеся усваивают материал на репродуктивном уровне и испытывают серьёзные затруднения, если требуется комплексное применение знаний.
На изучение геометрии в традиционных классах отводится два часа. При таком дефиците времени научить доказывать теоремы, решать задачи на доказательство представляется явно проблематичным. Но делать это нужно.
Решению проблемы дефицита времени помогает тщательный подход к разработке (конструированию) урока.
Для создания действительно хорошего урока приходится затратить немало времени, и не всегда для его подготовки учителю достаточно использование рекомендаций авторского учебно-методического пособия.
Последовательность и содержание действий процесса создания урока описана С.Г.Манвеловым в книге для учителя «Конструирование современного урока математики». [7]
В разработке уроков геометрии автор выделяет два этапа: предварительный и непосредственный. Предварительный этап связан с подготовкой учителя по изучаемой теме, а непосредственный – с разработкой очередного урока.
Последовательность действий при разработке урока математики выглядит следующим образом:
- Постановка целей.
- Отбор содержания урока.
- Выбор методов обучения.
- Определение структуры урока.
Постановка целей урока определяется требованиями обязательного государственного образовательного стандарта, программами и рекомендациями, изложенными в учебно-методических пособиях. С их помощью учитель конкретизирует конечный результат изучения темы обучающимися.
Поставленные цели непосредственным образом влияют на отбор учебного материала, относящегося к теме урока.
Рассмотрим более детально этот этап разработки урока.
Сначала проверяем возможность реализации поставленных целей урока с помощью материалов учебника.
Для этого:
- просматриваем и решаем все задания, предлагаемые при изучении темы в базовом учебнике, в дидактических материалах, входящих в УМК;
- затем подбираем различные системы дополнительных заданий: контрольные вопросы, устные упражнения, математические диктанты, тесты, задания на готовых чертежах, игровые упражнения, задачи повышенной трудности из альтернативных пособий;
- включаем в учебный материал задания из открытого банка заданий по подготовке к ОГЭ (www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-oge) или используем учебно-методические пособия, рекомендованные ФИПИ и МИОО, книги издательства МЦНМО.
При отборе учебного материала обращаем внимание на усиление его воспитывающего и развивающего влияния: предусматриваем в изучаемом материале примеры, сведения и факты из повседневной действительности; углубляем его практическую и прикладную направленность; выявляем эстетическое содержание учебного материала; привлекаем логические упражнения, занимательные и старинные задачи, исторические сведения.
В отобранном выявляем материал, подлежащий усвоению как на обязательном уровне подготовки, так и на уровне возможностей.
По этому принципу отобранный материал распределяем по блокам, назначение которых связано:
- с усвоением вновь вводимых символов, обозначений, понятий и непосредственным применением изучаемой теоремы, правила, формулы в задачах (базовый уровень);
- с использованием новых приёмов решения задач в совокупности с ранее изученным материалом.
Следует отметить, что в учебно-методическом комплекте по геометрии для 7-9 классов содержится дидактический материал как для традиционных классов, так и для классов углубленного изучения математики. В книге для учителя «Изучение геометрии в 7 – 9 классах» задания для самостоятельных и контрольных работ заимствованы из книги М. А. Иченской «Самостоятельные и контрольные работы». В основном, это – задачи базовой математической компетенции. Заметим, что формирование умений решать задачи базового уровня – непременное условие для усвоения геометрии на любом уровне. Только после этого этапа можно переходить к формированию умений решать геометрические задачи повышенного и высокого уровней. И такие задачи есть в сборнике «Задачи по геометрии для 7-11 классов», авторы: Б.Г.Зив, В.М.Мейлер, А.Х.Баханский [5]. Часть этих заданий вошла в дидактические материалы по геометрии, авторы: Б.Г.Зив, В.М.Мейлер [3,4]; часть в контрольно – измерительные материалы, составленные Н.Ф.Гавриловой [2].
Организовываем подачу учебного материала таким образом, чтобы обеспечить самостоятельную познавательную деятельность наиболее подготовленным учащимся и предусмотреть помощь слабоуспевающим. Эти задачи можно реализовать, например, с помощью записей на доске или с помощью специальных карточек (карточек-помощниц, карточек-консультаций), в которых учащимся оказывается дозированная помощь. В них, наряду с заданиями, содержатся рекомендации для решения задач, которые могут быть представлены в виде:
- образца выполнения задания;
- вспомогательных (наводящих) вопросов, прямых или косвенных указаний по выполнению задания;
- плана выполнения задания;
- частичного его выполнения.
Кроме этого, подобные карточки служат целенаправленному формированию навыков самоконтроля, т.к. могут содержать ответы к задачам.
Для организации дифференцированной работы используем также тетради на печатной основе.
Фронтальную работу обеспечиваем заданиями из современных учебников, так как в их содержание включена и продуктивная, и репродуктивная часть.
При разработке урока важно его не перегрузить и обеспечить усвоение учащимися необходимых знаний и умений. Поэтому продумываем распределение всего отобранного материала для работы в классе и дома, а также реализации возможного резерва времени на уроке.
Задачи для решения, отобранные к уроку, иногда полезно расположить в определённом порядке.
В качестве примера рассмотрим подбор задач к теоретическому материалу, предложенному в пункте 64 «Средняя линия треугольника». Он включает: определение средней линии треугольника, теорему о средней линии треугольника, а также задачу о свойствах точки пересечения медиан треугольника. Свойство точки пересечения медиан треугольника используется во многих задачах, в том числе и в задачах, предлагаемых на экзаменах. Полезно актуализировать решение задач № 474, № 475, предложенных ранее в теме «Площадь треугольника».
№474. Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой.
№475. Начертите треугольник АВС. Через вершину А проведите две прямые так, чтобы они разделили этот треугольник на три треугольника, имеющие равные площади.
№624. Докажите, что медианы треугольника, пересекаясь, делят его на шесть равновеликих треугольников.
Решение: Пусть медианы АА1, ВВ1, СС1 треугольника АВС пересекаются в точке М. Треугольники АСС1 и ВСС1 имеют равные основания и общую высоту, проведённую из вершины С, следовательно, S∆АСС1= S∆ВСС1= S∆АВС.
Далее треугольники АМС1 и АСС1 имеют общую высоту, проведённую из вершины А, следовательно, 
(свойство точки пересечения медиан треугольника), откуда S∆АMС1= 
S∆АCС1 = 
SАВС, что и требовалось доказать.
Данная задача делает элементарным решение следующей задачи.
№ 571. В треугольнике АВС медианы АА1 и ВВ1 пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника АВО равна S.
Предложенный порядок задач и их порядковые номера в учебнике не совпадают, но определённая нами их подача представляет собой целостную конструкцию для усвоения полезных фактов, которые могут быть использованы впредь при решении многих более сложных задач.
На этом же уроке стоит напомнить учащимся следующий факт.
Медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая из прямого угла к гипотенузе, равна её половине.
Приведём пример задачи из второй части КИМа ОГЭ по математике, в которой применяется свойство медианы треугольника, проведённой из вершины прямого угла.
Углы при одном из оснований трапеции равны 44 и 46, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции равны 44 см и 46 см. Найдите основания трапеции.
Решение: продолжая боковые стороны трапеции до пересечения, получаем прямоугольный треугольник, так как сумма углов при основании треугольника равна 90 Через точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны трапеции и середины оснований трапеции проведём прямую, которая будет содержать медиану полученного прямоугольного треугольника. Далее, обозначив неизвестным длину отрезка от точки пересечения продолжения боковых сторон до середины верхнего основания и составив несколько элементарных уравнений, устно находим значение неизвестного. Оно равно 1, следовательно меньшее основание будет равно 2, а нижнее 90.
Ответ: 2 и 90.
В данной задаче сумма углов при основании трапеции равна 90, решение задач с подобным условием сводится к применению свойства медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе. Наличие данных условий предполагает выполнение построений, приводящих к прямоугольному треугольнику. В этой задаче работает так называемая «опорная конфигурация», с которой связана определённая схема решения задачи.
Отметим, что так называемые «опорные» конфигурации встречаются не только в задачах, повышенного уровня сложности, но и в задачах базового уровня. Поэтому решение задач, связанных с ними, должно проводиться в системе, а на уроках систематизации и повторения полезно проводить подбор задач, который даёт возможность проследить использование «опорной» конфигурации от простого к сложному.
В задачах учебника № 374, № 375 прорабатывается одна из так называемых «опорных» конструкций, связанная с образованием равнобедренного треугольника при пересечении биссектрисы одного из углов параллелограмма с его стороной. Такая «опорная конструкция» встречается и в КИМах ОГЭ по математике во второй части модуля «Геометрия».
№ 374. Биссектриса угла А параллелограмма АВСD пересекает сторону BC в K. Найдите периметр параллелограмма, если BK= 7, CK=12.
№ 375. Биссектрисы углов А и B параллелограмма АВСD пересекаются в точке N, лежащей на стороне CD. Докажите, что N - середина CD.
Непременным условием эффективности уроков, и, как следствие, качественного усвоения курса планиметрии, безусловно, является творческий, профессиональный подход к его созданию.
Учебно-методическая литература
1. Геометрия 7 – 9: Учеб.для общеобразов. организаций с прил. на электрон. носителе/ – 18 изд. - М.: Просвещение, 2014.
2. Гаврилова, Н. Ф. Геометрия. 8 класс. Контрольно-измерительные материалы / Сост. Н.Ф.Гаврилова – 2-е изд., перераб.- М.: Вако, 2016.
3. Зив, Б. Г. Геометрия. Дидактические материалы. 8 класс / Б.Г.Зив, В.М.Мейлер – 14-е изд.- М.: Просвещение, 2011.
4. Зив, Б. Г. Геометрия. Дидактические материалы. 9 класс / Б.Г.Зив, В.М.Мейлер – 15-е изд.- М.: Просвещение, 2013.
5. Зив, Б. Г. Задачи к урокам геометрии. 7-11 классы. - СПб.; « Петроглиф». «Виктория-плюс». 2013.
6. Изучение геометрии в 7–9 классах. Пособие для учителей / Книга для учителей / - М.: Просвещение, 2009.
7. Конструирование современного урока математики: кн. для учителя / С.Г.Манвелов. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 2005.
8. Контрольно-измерительные материалы. Геометрия.9 класс /Сост. А.Н.Рурукин. – 2-е изд., перераб. – М.: Вако, 2013.
8. Мищенко, Т. М. Геометрия. Тематические тесты к учебнику Л.С.Атанасяна и других. 8 класс / Т.М.Мищенко, А.Д.Блинков.- 4-е изд. - М.: Просвещение, 2012.
9. Мищенко, Т. М. Геометрия. Тематические тесты к учебнику Л.С.Атанасяна и других. 9 класс / Т.М.Мищенко, А.Д.Блинков.- 3-е изд. - М.: Просвещение, 2012.