Применение воображения при доказательстве теорем

На протяжении многих лет работы учителем математики я вижу, как тяжело и трудно усвоить учащимся доказательство теорем, как скудно развита математическая речь и плохо развито логическое мышление.

В результате этого ухудшается качество успеваемости и падает интерес к предмету. А для решения многих задач необходимы глубокие теоретические знания по геометрии, иначе задачи будут просто не решаемыми. Для того, чтобы развить интерес к предмету, выработать активную форму работы на уроке и наконец, понять доказательство теоремы, я применяю на уроках доказательство теорем «хором» без рисунков. Рисунок должен быть воображаемым. При доказательстве обязательно выбираются оппоненты, которые следят за логикой мышления, за всеми допущенными ошибками и исправляют их, а так же в конце доказательства оценивают ответы каждого ученика. Также выбирается ведущий, который ведёт весь класс при доказательстве теоремы. Ведущий и оппоненты выбираются в 9 классе. До этого и ведущим и оппонентом является сам учитель.

Можно отметить, что важной характеристикой меры понимания материала по геометрии является порядок, который выступает в различных формах, а именно логика рассуждений. Причем речь идет не только о порядке действий как гармонии частей целого, их упорядоченности, но и как осознании стройности математических доказательств. Поэтому наиболее привлекательными для учащихся являются изящные доказательства, а именно доказательства с воображаемыми рисунками. Отметим и такие характеристики математики, как возможность влияния на дальнейшее продвижение в той или иной области на основе аналогии и обобщения, богатство возможных приложений, как в математике, так и в смежных дисциплинах, оригинальность.

Это позволяет на основе воображаемого рисунка активизировать и развить память, логику мышления, а также быть внимательным при доказательстве теоремы, и самое главное развивать культуру математической речи.

Учащийся внимательно следит за всем процессом доказательства теоремы, а не скучает на уроке, так как в любой момент он может продолжить доказательство, исправить ошибку или повторить ещё раз.

Что же такое воображение?

Воображение - это создание (произвольное или непроизвольное) в своём сознании образа-модели, который не был до этого точно в таком же виде дан в чувствах. Этого воображаемого может не существовать в реальности. Воображаемые объекты или ситуации - это значительно или не очень значительное изменение воспринятого в реальности. Воображение - это игра с возможным.

Близкое к воображению понятие - представление. Воображение относительно представления - это большой процесс, представление выступает для него в качестве "кирпичика". Воображение это процесс преобразования представлений, отражающих реальную действительность, и создание на этой основе новых представлений. (1)

Под влиянием конкретной ситуации в коре головного мозга актуализируются определенные образы, бессознательно «ждущие» встречи с соответствующими объектами. Когда ожидание, основанное на обобщенном стандарте, беспрепятственно реализуется, это переживается как красота мысли. В ситуации, когда воспринимаемый стимул похож на его корковую модель, но не укладывается в нее полностью, возникает удивление и связанный с ним познавательный интерес. Абсолютно новый стимул не вызывает интереса, поскольку он не представлен в психике, нет его стереотипного образа в голове. В связи со сказанным, в обучении важно использование различных воображаемых рисунков к доказательству теоремы, упражнений на распознавание объектов, принадлежащих формируемому понятию, различных способов доказательства, самостоятельного открытия теорем, оригинальных способов решений, укрупнения единиц, чертежей с одной основой, аналогичных задач, блоков «родственных» задач и т. д. Все это непосредственно связано с красотой, с механизмами эстетического воспитания школьников средствами математики, с выработкой эстетического вкуса путем формирования стандартов (устойчивых математических образов).

Как развить воображение?

Человек не рождается с развитым воображением. Развитие воображения осуществляется в ходе онтогенеза человека и требует накопления известного запаса представлений, которые в дальнейшем могут служить материалом для создания образов воображения. Воображение развивается в тесной связи с развитием всей личности, в процессе обучения и воспитания, а также в единстве с мышлением, памятью, волей и чувствами.

Определить какие-либо конкретные возрастные границы, характеризующие динамику развития воображения, очень трудно.

Важный этап в развитии воображения связан с тем возрастом, когда учащийся овладевает математической речью. Речь позволяет учащемуся включить в воображение не только конкретные образы, но и более отвлеченные представления и понятия. Более того, речь позволяет учащемуся перейти от выражения образов воображения в деятельности к непосредственному их выражению в речи.

Этап овладения математической речью сопровождается увеличением практического опыта и развитием внимания, что позволяет учащемуся легче выделять отдельные части теоремы, которые он воспринимает уже как самостоятельные и которыми все чаще оперирует в своем воображении.
  
Воображение непосредственно базируется на представлении. Также процесс воображения всегда протекает в неразрывной связи с памятью, мышлением и вниманием.

Если имеется задача воспроизвести представления определённых вещей и событий, бывших ранее в опыте человека, мы говорим о работе такого процесса как память. Актуализированные воспоминания превращаются в представления. Творческая работа с этими представлениями (моделирование возможного) и есть воображение. (2)

Воображение оказывает памяти добрую услугу. Если в процессе припоминания выпадает какой-либо фрагмент или количественная характеристика объекта, воображение поможет выйти из ситуации: промоделировав возможные варианты, можно остановиться на самом реалистичном. Этой своею особенностью воображение очень тесно связано с памятью.

Кроме того, воображение по отношению к памяти и мышлению может выступать своего рода критиком: моделируя возможное, можно определить невозможное.

Следующий этап развития воображения связан с появлением его активных форм. На этом этапе процесс воображения становится произвольным. Возникновение активных форм воображения вначале связано с побуждающей инициативой со стороны учителя.

Необходимость понимания учебного материала обусловливает активизацию процесса воссоздающего воображения. Для того чтобы усвоить знания, которые даются в школе, учащийся активно использует свое воображение, что вызывает прогрессирующее развитие способностей переработки образов восприятия в образы воображения.

Другой причиной бурного развития воображения при изучении геометрии является то, что в процессе обучения учащийся активно получает новые и разносторонние представления о фигурах и их свойствах. Эти представления служат необходимой основой для воображения и стимулируют творческую деятельность учащегося.

В 7 классе после введения понятия теоремы, а также рассмотрения доказательства первых терем учащиеся ответили на вопросы.

Тест: «Определение уровня воображения на уроках геометрии»

Цель: определить уровень воображения.

Время проведения - 15 минут.

Ф.И.О.: ______________________
Класс: ___________

Инструкция:

Вам предлагается 12 вопросов теста. На них надо отвечать либо "да", либо "нет".

Первая цифра в скобках (количество баллов) означает положительный ответ, вторая - отрицательный.

Вопросы для ответов:

1.Трудно ли вам изучать геометрию? ( да-1б, нет-0б.)

2.Часто ли вы скучаете на уроках геометрии при доказательстве теорем? (да-0б, нет-1б.)

3.Доказывая какую-либо теорему, испытываете ли вы затруднения в ее понимании? (да-0б, нет-1б.)

4.Инициативны ли вы при доказательстве теоремы? (да-01, нет-0б.)

5.Трудно ли вам запомнить доказательства теоремы? (да-0б, нет-1б.)

6.Руководствуетесь ли вы советами учителя как учить и запомнить доказательства теоремы? (да-1б, нет-0б.)

7.Изображаете ли вы рисунок при доказательстве теоремы? (да-0б, нет-1б.)

8.Слушая доказательство, представляете ли вы какие-либо образы, связанные с ним? (да-1б, нет-0б.)

9.Трудно ли вам воображать рисунок к теореме? (да-0б, нет-1б.)

10.Определяете ли вы, что дано и что требуется доказать в теореме? (да-1б, нет-0б.)

11.Трудно ли вам следить за ходом доказательства теоремы? (да-0б, нет-1б.)

12.Замечаете ли вы ошибки при доказательстве теоремы? (да-1б, нет-0б.)

Итак, подсчитайте баллы:

11-12 баллов: у вас богатое воображение и вы его хорошо применяете на уроках геометрии. Если вы сумеете применить его в жизни, то добьетесь больших творческих успехов.

9-10 баллов: среднее воображение и вам необходимо продолжить его развивать. Такое воображение встречается у очень многих людей. От вас и только от вас зависит, сумеете ли вы его развить.

7-8 баллов: у вас слабо развито воображение, поэтому вам трудно мыслить абстрактно и трудно при доказательстве теорем. Поэтому задумайтесь о себе.

Тестирование проводилось в 7 классе 2017-2018 уч.году, в 8 классе в 2018-2019 уч.году. Количество тестируемых 20 человек.

Результаты тестирования.

Определение уровня воображения на уроках геометрии
7 класс  2017-2018 уч.г.

Из таблицы видно, что  на начало изучения геометрии со слабым воображением было 14 человек, что составляет 70% класса, со средним воображение 5 человек, что составляет 25% и хорошо развито воображение только у одного человека, что составляет 5 %.

Это означает, что 70% учащихся класса не могут запомнить доказательство теоремы, так как возникают затруднения, при  рассуждении, а также в невозможность применить эти знания при решении задач.

На конец учебного года видно, что количество человек со слабым воображением значительно уменьшилось на 60%, а количество человек с богатым воображение увеличилось на 55 %.

Этот результат сказался на качестве успеваемости.

Качество успеваемости в 7 и 8 классах
7 класс  2017-2018 уч.г. / 8 класс 2018-2019 уч.г.

Из таблицы видно, что качество успеваемости в 7 классе на начало изучения геометрии составило 20%, а наконец II семестра в 8 классе оно уже составило 85 %.

Вывод

Применение воображения при доказательстве теорем позволило активизировать познавательную функцию учащихся на уроках геометрии, а также развить логическое мышление, культуру математической речи и самое главное сконцентрировать внимание учащихся и осмысленно подходить к применению доказательства теорем к решению задач.

Приложения

Список используемой литературы

1.Маклаков А. Г. Общая психология. СПб: Питер, 2001.

2.Дъяченко О.М. Об основных направлениях развития воображения у детей // Вопросы психологии. - 1988 (61).

3.Рубинштейн С. Л. Основы общей психологии. СПб., 1998.