Математическое моделирование и проектно-исследовательская деятельность

Разделы: Математика

Классы: 9, 10, 11

Ключевые слова: математическое моделирование


В начале этого учебного года, еще в сентябре, я наблюдала как некоторые мои ребята, учащиеся 9 «Г» физико-математического класса, «зашевелились» и начали что-то активно обсуждать. Прошло некоторое время, которое, как выяснилось, ушло на формирование команды из четырех человек. Именно такая команда требовалась для участия в I Международном командно-личном турнире школьников по математическому моделированию (ТММ-2018).

Команду составили Анна Назарчук, Андрей Жижелев, Глеб Кожанов и Данила Кузьмин. Если коротко о них и их достижениях за два последних учебных года по математике, физике и информатике, то это: Всероссийская олимпиада школьников, муниципальный этап – 4 победителя, 2 призёра; 2 похвальных грамоты Московской математической олимпиады МГУ; 1 победитель олимпиады имени Эйлера; 1 победитель Турнира Городов; 2 призера олимпиады «Формула Единства / Третье Тысячелетие»; 4 призера Всероссийской физико-математической олимпиады МФТИ; 2 участника математических смен ОЦ «Сириус» 2016 г. и 2017 г. И это еще не полный список!

Наши достижения

Командный турнир – дело совершенно новое и неизвестное. Но некоторый опыт у них уже был, в частности в разработке, создании и защите коллективных, групповых и индивидуальных исследовательских проектов по математике. И они начали готовиться к турниру, даже не сомневаясь, что я с ними туда поеду, как в прочем и вышло.

Как некоторое отступление, скажу, что проектной деятельностью по математике с учащимися разных классов я занимаюсь уже более пятнадцати лет. Некоторые проекты разных лет можно посмотреть на сайте «Первое сентября»: Педагогическая мастерская «Открытый урок» [1].

Этот класс, где я еще и классный руководитель, изначально учится по ФГОС, который предусматривает проектную учебную деятельность по математике с пятого класса. К началу девятого класса ребята уже имеют опыт защиты проектов, оформления по ним презентаций, рефератов-статей и выступления с ними на конференциях школьного научного общества «Корифей» и научного общества учащихся Воронежского государственного университета.

Турнир проводился в Москве в период с 28 октября по 4 ноября 2018 г. в Специализированном учебно-научном центре (факультете) школе имени А.Н.Колмогорова Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова (СУНЦ МГУ). Организаторами выступили СУНЦ МГУ и механико-математический факультет МГУ, при поддержке РАН (Российской Академии Наук) и Клуба выпускников СУНЦ МГУ.

Председателем жюри был академик РАН, директор Математического института РАН им. Стеклова, Д.В. Трещёв, в прошлом – выпускник СУНЦ МГУ.

В работе Турнира приняли участие российские и зарубежные школьники 8-11 классов, более 120 учащихся. География российских участников Турнира была достаточно широкой и охватила 15 регионов Российской Федерации: Камчатский край - г.Елизово, Тюменская область - г.Тюмень, Новосибирская область - г.Новосибирск, Удмуртская республика - г.Ижевск, Свердловская область - г.Екатеринбург, Волгоградская область - г.Волгоград, Воронежская область - г.Воронеж, Республика Коми - г.Сыктывкар, Республика Башкортостан - г.Уфа, Московская область - г.Красногорск, Пермский край - г.Пермь, Республика Северная Осетия-Алания - г.Владикавказ, Республика Адыгея - г.Майкоп, Ростовская область – г.Белая Калитва и г.Москва [2].
Команда из Китая (Гонконг, Макао) представляла зарубежных участников Турнира.

Наша команда

Турнир организовали впервые и, как «Математическое многоборье», которое СУНЦ МГУ проводил в предыдущие годы, является лично-командным в двух лигах: старшей (10-11 классы) – было представлено 15 команд и младшей (8-9 классы) – 14 команд. Но при этом,  основным новшеством Турнира в сравнении с «Математическим многоборьем», стало изменение содержания предлагаемых заданий. Турнир по математическому моделированию, как он себя «показал», даёт возможность проявить творческие и интеллектуальные возможности не только «спортсменам - олимпиадникам», но всем школьникам, интересующимся математикой, её практическими приложениями и смежными областями науки.

Организаторы и оргкомитет своими задачами заявили «развитие и пропаганду новых для России современных направлений образования, связанных с подготовкой кадров в области высоких технологий: прикладной математики, математического моделирования, STEM [3]. А так же налаживание связей между физико-математическими школами и центрами России и зарубежья и знакомство школьников и педагогов с новыми формами проведения математических соревнований.
Основной же целью Турнира стало формирование у учащихся устойчивого интереса к занятиям математикой, к научным исследованиям, развитие навыков математического моделирования объектов, явлений и ситуаций окружающей действительности, ознакомление с проблемами прикладной математики и с математическими задачами, возникающими за пределами математики как таковой» [3].

Основным командным соревнованием Турнира является Конкурс по математическому моделированию (КММ), на котором предлагается одно задание открытого типа на построение и исследование математической модели для конкретной ситуации из окружающей действительности. Еще одним командным соревнованием Турнира стал «Конкурс оптимизационных задач» (КОЗа), в каждой из которых данную компьютерную модель некоторого объекта требуется с помощью заложенного в нее инструментария перевести в состояние, как можно близкое к оптимальному (в заданном смысле).

Также в рамках ТММ-2018 были организованы два личных тура. Это «Олимпиада по прикладной математике» (ПриМат), задачи которой тесно связаны с приложениями математики к механике, физике и другим естественным наукам и «Олимпиада – Математика реальности» (ОМаР), участникам которой предлагались математические задачи, как правило, на сюжеты, заимствованные из жизни.

Структура и программа Турнира предполагала для участников очень напряженный график их участия в личных олимпиадах и работы над проектом.

В первый же вечер после открытия турнира руководителям команд выдали задание КММ. На основе предоставленных наборов данных калибровки акселерометра (огромные массивы считываний показаний акселерометра в нескольких точно зафиксированных положениях его корпуса – более тридцати тысяч измерений в каждом) найти формулы, позволяющие вычислить ожидаемые показания реальных (имеющих дефекты) акселерометров, если задано положение в пространстве их корпуса. И это задание надо было выполнить для трех случаев возрастающей сложности. Кроме того, в каждом случае предлагалось еще одно, дополнительное задание при условии, что решено основное.

Для справки. Современные умные электронные устройства умеют выполнять функции навигатора, шагомера, распознавать, как передвигается пользователь, - идет, бежит, едет в такси или в автобусе, умеют автоматически ориентировать изображение на экране. При решении всех этих и многих других задач используются так называемые акселерометры. Однако при изготовлении миниатюрных акселерометров невозможно полностью избежать дефектов.

На исследование предложенной конкретной проблемы и нахождения путей и методов решения всех заданий командам отводилось не так уж и много времени, так как на следующий день с утра в течение трех часов и после обеда в течение двух часов проходили два личных тура олимпиады: «ПриМат» и «ОМаР», результаты рейтинга которых суммировались в командный рейтинг. Фактически оставался вечер и полностью был только один следующий день до 21:00, когда не позже этого времени надо было отправить грамотно оформленную статью с результатами работы на электронную почту Турнира. Каждая команда должна была работать самостоятельно, без консультаций и подсказок и прочей помощи от любых людей, кроме членов команды. Но в тоже время можно было использовать любые неодушевленные источники информации: базы данных, справочники, книги и другие материалы, сайты, компьютеры, программы и т.п. Умение найти и использовать такой источник положительно характеризовало работу команды.

Исследовательская задача, которую предложили спонсоры Турнира как реальную открытую исследовательскую задачу для математического моделирования, не имеет пока четкой математической формулировки. Она находится в стадии исследования и ее решения. Фактически крупная инженерная компания предложила школьникам поучаствовать по мере своих сил в решении конкретной серьезной технической проблемы, обозначив при этом, что почти любую реальную задачу можно бесконечно исследовать «вглубь», учитывая все более мелкие детали, следовательно, надо оценивать свои возможности по «глубине» исследования.

И здесь видится несколько важнейших этапов решения таких задач. Моей целью, как руководителя команды, было сначала самой вникнуть и немного ощутить себя в роли «математика-модельера», а затем уже обозначить ребятам эти этапы.

  • Во-первых, переформулировать задачу более четким образом, увидеть ее как «простую физику» и «простую математику». А это уже в дальнейшей работе поможет выразить задачу количественно, т.е. создать некую математическую модель. Легко мне было это сказать, но нелегко ребятам было это сделать. В этой работе, как и зачастую при решении таких задач, ребятам потребовались предварительные исследования и решения самостоятельно поставленных вложенных задач. Описание этого процесса и, таким образом, оснований и предположений, на которые опирается выбранная математическая модель, не менее важно, чем вычислительный алгоритм и итоговый количественный результат.
  • Во-вторых, необходимо обозначить для себя ту «глубину», на которой следует остановиться и либо пренебречь какими-то деталями, либо заменить их упрощающими предположениями. Но, и то, и другое должно быть явно и обоснованно описано в статье.
  • В-третьих, очистить массивы данных от ошибок или от так называемых «шумов» и постараться выстроить их графически.
  • В-четвертых, грамотно произвести статистическую обработку данных.

И, наконец, в-пятых, в процессе работы последовательно проводить запись, т.е. и исследование и написание статьи должны выполняться параллельно. В случае если какой-то этап слишком затягивается, оценить, нельзя ли его выполнить на более простом уровне. Хоть как-то работающая модель почти всегда лучше, чем никак не работающая!

Из выше изложенного становиться ясно, что математическое моделирование и школа пока находятся в разных параллельных мирах. В российской школе, как считается, до сих пор не изучают математическое моделирование. Но изучают математику, физику, химию, программирование и т.д. На самом деле все естественные науки едины, а математика и информатика – это инструменты, созданные из нужд физики и других «практических» наук. Математическое моделирование, по сути, метод всех количественных исследований в любых науках. С точки зрения школы, математическое моделирование – это обратное соединение всех естественных наук в единую, так называемую, «science». Любое исследование, ищущее связь между измеримыми (количественными) параметрами чего-либо, порождает математическую модель. Математическая модель всегда является некоторым упрощением, некоторой концептуализацией, отсекающей какие-то свойства реальности. Изучение адекватной математической модели позволяет узнать некоторые свойства объекта моделирования. А вот адекватность математических моделей является крайне сложным вопросом.

Процесс создания математической модели мои ребята сравнили с решением задачи по физике: надо понять, «что вообще происходит», какими «переменными» описывается ситуация или объект, т.е. создать «концептуальную модель», определить законы и правила взаимосвязи между «переменными». Это могут быть и ранее известные законы, и какие-то приблизительные правила с неизвестными параметрами. Если есть неизвестные параметры, оценить их из имеющихся данных («настройка модели на данные»). Изучить свойства полученного математической модели (описания связей между «переменными»), получить полезные выводы о свойствах объекта изучения.

То, что должно было быть в КММ – статье, т.е. важные требования к КММ - статье описаны в Правилах конкурса и, к моей радости, не стали для моих ребят новостью, как для многих других – это выяснилось позже на защите презентации статьи. Один из главнейших критериев оценки работы – объяснение, почему вы сделали так, а не иначе (кроме очевидных решений, разумеется). Даже если вы знаете «слабость» какого-то решения, об этом надо писать прямо.

Мои девятиклассники справились достойно с главной задачей статьи – внятное описание проделанной работы и полученных результатов, обоснованность принятых в ней математических модельных решений, структурированность изложения.

В российских школах не обучали и не обучают «scientific writing». Но проектная деятельность, заложенная ФГОС, подразумевает краткую научную структуру написания текста к проекту, как то: актуальность, цели, задачи, объект исследования, выводы, ссылки на использованные источники и т.п. И этому надо обязательно учить школьников. Последовательно, не торопясь, объясняя суть, важность и необходимость каждого этапа. И они поймут и научатся! И это не только намного облегчит их студенческий труд над курсовыми работами и дипломом в дальнейшем, а и пригодится в школьной жизни. Данный Турнир тому яркий пример.

Концепция развития математического образования главной своей целью ставит развитие ключевых компетенций школьников, необходимых для успешной жизни в современном быстроменяющемся информационно и технологически развитом мире. Вследствие этого «чрезвычайно важным является внедрение в массовое школьное образование математического моделирования как основного методологического принципа обучения школьников предметам естественно-математического цикла: математике, информатике, физике, химии и биологии» [4]. В процессе внедрения не маловажным фактором является поощрение преподавания математического моделирования на всех уровнях образования и для всех учащихся.

Но вернемся к Турниру. Следующий день после работы над статьей и исследованием был посвящен еще одному командному конкурсу КОЗа и защите презентации своего проекта исследования. Обращу внимание на то, что на подготовку презентации времени специального выделено не было. Эта работа была сделана в «щелочках» между основными мероприятиями, так как предполагалось, как я понимаю, что ребята это должны делать буквально на ходу. У моих ребят за плечами была четырехлетняя практика проектной деятельности и их презентацию и защиту проекта оценили достаточно высоко.

Рейтинги в старшей лиге (10-11 классы – было представлено 15 команд) и младшей лиге (8-9 классы – 14 команд) считались отдельно.

Итог I Международного командно-личного турнира школьников по математическому моделированию (ТММ-2018) для команды 9 «Г» МБОУ гимназии им. академика Н.Г.Басова стал ошеломляющий! Диплом III степени в командном рейтинге младшей лиги 8-9 классы! Мы приехали поучаствовать и поучиться, а заняли третье командное место после московской команды СУНЦ МГУ и новосибирской команды СУНЦ НГУ!!! В нашей копилке наград так же Диплом II степени в конкурсе «Оптимизационные задачи», Диплом III степени в конкурсе «Математическое моделирование» и Похвальная грамота в личном рейтинге Кузьмина Данилы [5].
Личный рейтинг всех моих ребят был в верхней половине списка, что говорит о хорошей подготовке не только математической, но и по информатике и по физике, за что отдельное спасибо нашим учителям: учителю информатики Китайгородской Ирине Александровне и учителю физики Крыловецкой Татьяне Алексеевне!

Зав. кафедрой математики СУНЦ МГУ И.Н. Сергеев и команда 9 «Г»

  1. Педагогическая мастерская «Открытый урок», личная страница Белоусовой А.Г. (https://открытыйурок.рф/авторы/100-193-803)
  2. Презентация с открытия Турнира http://internat.msu.ru
  3. Международный командно-личный турнир школьников по математическому моделированию http://internat.msu.ru/turnir-mm/
  4. Обращение собрания участников I Международного командно-личного турнира школьников по математическому моделированию http://internat.msu.ru/turnir-mm/57734-2/
  5. Презентация с закрытия Турнира http://internat.msu.ru/wp-content/uploads/2018/11/closing_TMM2018.pdf