Содержание урока:
1. Организационный момент.
Цель: проверить готовность учащихся к уроку
2. Проверка домашнего задания.
Цель: проконтролировать выполнение домашнего
задания, оказать помощь при затруднениях в
выполнении заданий.
3. Актуализация знаний учащихся.
Цель: повторение теоретического материала,
подготовка учащихся к работе на уроке.
4. Создание проблемной ситуации для
формулировки темы
урока и целей.
Цель: мотивация учебного процесса.
5. Дополнительный исторический материал
(сообщение ученика)
Цель: показать исторические корни возникновения
геометрической прогрессии.
6. Изучение нового материала на примере старинной
задачи.
Цель: ввести понятие геометрической прогрессии,
вывести
формулу n-го члена.
7. Первичная проверка понимания.
Цель: проверить понимание данного материала на
простых примерах в процессе устной работы.
8. Закрепление умений и навыков вычислительной
деятельности учащихся при решении стандартных,
исторических и жизненных задач. Возвращение к
проблемной задаче и её решение.
Цель: закрепить формулу n-го члена
геометрической прогрессии уметь применять при
решении задач, осознать значение полученных
знаний на уроке и в жизни.
9. Контроль и самопроверка знаний.
Цель: проверить и оценить знания, полученные
на уроке.
10. Сообщение ученика на тему «Стремительное
размножение».
Цель: расширить кругозор учащихся по данной
теме на примерах из жизни.
11. Подведение итогов.
1) Выставление оценок.
2) Рефлексия:
a) Что вызвало затруднение на уроке?
b) Чем запомнился сегодняшний урок?
в) Что полезного для себя вы взяли с урока?
12. Домашнее задание, инструктаж по его
выполнению.
Конспект урока
1. Проверка домашнего задания (слайд готовит ученик)
2. Повторение (устный опрос по вопросам)
1) Какая числовая последовательность
называется арифметической прогрессией?
2) Как найти разность арифметической прогрессии?
3) Как может быть задана арифметическая
прогрессия?
4) Назовите формулу n-го члена.
5) Назовите формулу суммы n первых членов
арифметической прогрессии.
6) Сформулируйте характеристическое свойство
членов арифметической прогрессии.
3. Устные задания
1) Является ли последовательность чисел
арифметической прогрессией? Если да, то назовите
её разность.
– 4; 0; 4; 8; …
2) Зная первые два члена арифметической
прогрессии, назовите следующие за ними два
члена.
–1; 3; …;
3) (аn) – арифметическая
прогрессия, а1 = 5, d = 2.
Найти а6, а21.
4) (аn) – арифметическая
прогрессия, а2 = 12; а3
= 20.
Найти а1, а4. и d.
5) Найдите среднее арифметическое и среднее
геометрическое чисел 16 и 64.
6) (аn) – арифметическая
прогрессия, а6 = 8, а8 = 14.
Найти а7.
7) (аn) – арифметическая
прогрессия, a1 = – 6; а6
= 18.
Найти S6.
8) Арифметическая прогрессия задана формулой аn
= 2n – 1.
Найти S10.
4. Проблемная ситуация
Необходимо положить в банк на один год 10 000
рублей. Известно, что в одном банке вклад
возрастает за год на 14 % , а в другом ежемесячно на
1 %.В какой банк выгоднее положить деньги?
(Учащиеся предлагают следующее решение)
Решение:
1. 10 000 * 1,14 = 11 400 р. – в первом банке
2. 10 000 * 1,01 = 10 100 р. – через месяц
10 100 * 1,01 = 10 201 р. – через два месяца
10 201 * 1,01 = 10 303р. – через три месяца
10 303 * 1,01 = 10 406 р. – через четыре и т.д.
Вопрос: Как более рационально решить? Есть ли какая закономерность в последовательности этих чисел?
10 100; 10 201; 10 303; 10 406 и т. д.
Учащиеся замечают, что каждый последующий член в 1,01 раз больше предыдущего и делают вывод о существовании ещё одного вида прогрессии.
5. Формулируется тема урока и цели
Дети сами формулируют цели урока:
– Сформулировать определение геометрической
прогрессии;
– Знать формулу n-ого члена;
– Уметь применять теоретический материал при
решении задач;
– Осознать значение полученных знаний на уроке в
жизни человека.
Вопрос: В чем отличие геометрической
прогрессии от арифметической?
(Изменяя два слова, учащиеся сами выводят
определение)
Определение: Геометрической прогрессией последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.
Вопрос: Является ли данная последовательность чисел геометрической прогрессией?
0; 2; 4; 6; ...?
4; 0; 0; 0; …?
Ответ: нет.
Вопрос: Почему? Какое ещё условие должно обязательно выполняться?
Определение: Геометрической прогрессией последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.
Далее один ученик читает вслух определение по учебнику и делается сравнение (всё точно)
Учитель: Как давно людям известны прогрессии, кто их открыл и почему они так называются, вы узнаете из сообщения ученицы.
1. Историческая справка (сообщение ученика)
Сами по себе прогрессии известны так давно, что, конечно, нельзя говорить о том, кто их открыл. Вероятно, первая ситуация, в которой людям пришлось с ними встречаться – подсчёт численности стада, проведённый несколько раз, через равные промежутки времени. Если не происходит никаких чрезвычайных событий, количество новорождённых и умерших животных пропорционально числу всех животных в стаде. Значит, если за какой-то период времени количество овец увеличилось с 10 до 20, то за следующий такой же период оно снова вырастет вдвое и станет равно 40. Название геометрическая прогрессия» объясняется тем, что последовательности такого рода легко могут возникнуть в геометрических построениях. Например, если начертить серию равносторонних треугольников так, чтобы вершины каждого следующего треугольника лежали на серединах сторон предыдущего (Приложение 1), то площадь треугольника будет каждый раз уменьшаться вчетверо.
Задача из папируса Райнда
«У семи лиц по семь кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семи мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»
7. Объяснение нового материала учителем (на примере исторической задачи с кошками выводится формула n-го члена геометрической прогрессии)
Решение задачи и вывод формулы ученики записывают в тетради.
Людей всего 7, кошек 72 = 49, они съедают всего 73 = 343 мыши, которые съедают всего 74 = 2401 колосьев, из них вырастает 75 = 16807 мер ячменя, в сумме эти числа дают 19 607 (по щелчку мышки последовательно появляется каждая строчка)
7; 49; 343; 2 401; 16 807.
7 * 7 = 49; 49 * 7 = 343; 343 * 7 = 2 401; 2 401
* 7 = 16 807.
q – знаменатель ( quotient – частное )
q = 7
b1; b2; b3; … ; bn; …
b2 = b1 * q
b3 = b2 * q = (b1 * q) * q = b1
* q?
b4 = b3 * q = (b1 * q2) * q =
b1 * q?
bn = b1 * q n–1 Формула n-ого
члена
8. Закрепление материала
Устно: задание 1,2,3, задание 4,5,6 с записью на доске и в тетради.
1. Какая из последовательностей является геометрической прогрессией?
а) –3; 3; – 3; 3;…
б) 0; 2; 4; 8; …
в) 3; 6; 9; 12; …
г) 2; 0; 0; 0; 0; …
д) 3; 6; 12; 24; …
2. Дана геометрическая прогрессия.
3; 12; 48; …
Найти qи назовите следующий член.
3. (bn) – геометрическая прогрессия.
b4 = 20; q = 5.
Найти b3 ; b5.
4. (bn) – геометрическая прогрессия.
b1 = 5; q = 2.
Найти b4; b5.
5. (bn) – геометрическая прогрессия.
b1 = 1; q = 3.
Записать первые пять членов прогрессии
6. (bn) – геометрическая прогрессия.
b5 = 16 ; b7 = 49.
Найти b6.
9. Возвращение к проблемной ситуации (зная
формулу, дети могут быстро решить задачу про
банк)
Необходимо положить в банк на один год 10 000
рублей. Известно, что в одном банке вклад
возрастает за год на 14 %, а в другом
ежемесячно на 1 %. В какой банк выгоднее положить
деньги?
Решение (записывается в тетради):
1) 10 000 * 1,14 = 11 400 руб.
2) 10 000 * 1,0112 = 11 268 руб.
Ответ: выгоднее положить деньги в первый банк.
Задача 2.
Известно, что бактерия в питательной среде
через каждые полчаса делится на две. Сколько
бактерий может образоваться из одной за 6 часов?
(Один ученик решает у доски, остальные записывают
в тетради)
Записывается последовательность чисел:
1; 2; 4; 8; 16 и т.д. Всего 13 членов. Знаменатель равен 2.
b13 = 1 * 212 = 4096
Ответ: 4096 бактерий.
Задача 3 (самостоятельно, кто решит первый, получит оценку)
Известно, что если бактерия попадает внутрь
организма, то через каждые 20 секунд делится на
две. Сколько бактерий может образоваться из
одной за 6 часов?
Ответ: 262 144.
10. Обобщение
Вопросы:
1. С каким новым понятием мы сегодня
познакомились?
2. Дать определение геометрической прогрессии,
назовите отличие от арифметической.
3. Что называется знаменателем прогрессии?
4. Как он находится?
5. Как можно задать геометрическую прогрессию?
6. Назовите формулу n-го члена.
11. Самостоятельная работа (задания на карточках. Приложение 2)
Проверка работы (самопроверка слайд 17)
Ответы:
1 вариант – 162; 54; 18; 6; 2.
2 вариант – 2; 4; 8; 16; 32.
Вопрос: Есть ли какая закономерность в последовательности чисел, полученных в ответах?
Ответ: да.
(Ответы 1 варианта образуют убывающую геометрическую прогрессию, а 2 варианта – возрастающую.)
Вопрос: Чему равен знаменатель каждой прогрессии?
Ученики сами оценивают свою работу: верно 5
заданий – «5»,
4 задания – «4», 3 задания – «3».
На экране вновь появляются цели урока и ученики делают вывод, что они достигнуты.
Цели:
– Сформулировать определение геометрической
прогрессии;
– Знать формулу n-ого члена;
– Уметь применять теоретический материал при
решении задач;
– Осознать значение полученных знаний на уроке в
жизни человека.
12. Сообщение ученика (Приложение 3) о стремительном размножении кроликов, мух, задача про шахматы
13. Подведение итогов
1. Выставление оценок.
2. Рефлексия.
1) Что вызвало затруднение сегодня на урок?
2) Чем запомнится сегодняшний урок?
3) Что полезного для себя вы взяли с сегодняшнего
урока?
Итог: Проведя сегодня на уроке
учебное исследование, мы не сделали открытие для
науки, т. к. оказалось, что прогрессия была
известна ещё в древности, но сделали его для себя.
И я надеюсь, что знания, полученные сегодня на
уроке, вам обязательно пригодятся в дальнейшей
жизни.
Желаю, чтобы вы выбрали такую профессию, за
которую платили столько, чтобы вам пришлось
столкнуться с проблемой: в какой банк
выгоднее вложить деньги и под какие
проценты?
14. Домашнее задание (дополнительно
задача про грипп)
Человек, заболевший гриппом, может заразить
четырех человек. Через сколько дней заболеет всё
население посёлка в количестве 341 человека?
(Решение: 1; 4; 16; 64; 256
Итого: 1 + 4 + 16 + 64 + 256 = 341
Ответ: на пятый день)
Список использованной литературы:
1. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н.Г. и др. алгебра 9
класс. М.: Мнемовина 2011г.
2. Глейзер Г.И. история математики в школе.
VII-VIIIкл. М.: Просвещение 1982г.