Урок геометрии «Замечательные точки и линии треугольника»

Разделы: Математика


Цели урока.

  1. Обобщить и систематизировать знания по ранее изученному материалу.
  2. Познакомить учащихся с теоремами Чевы и Менелая.
  3. Сформировать умения решать ключевые задачи темы.

Ход урока

Удивительно, но треугольник, несмотря на свою кажущуюся простоту, является неисчерпаемым объектом изучения - никто даже в наше время не осмелится сказать, что изучил и знает все свойства треугольника. Действительно, кто не слышал о Бермудском треугольнике, в котором бесследно исчезают корабли и самолёты? А ведь сам треугольник таит в себе немало интересного и загадочного.

Тема нашего сегодняшнего урока “Замечательные точки и линии треугольника”.

Вспомним материал, который изучали ранее на уроках. С какими замечательными точками треугольника мы были знакомы ранее? (Учащиеся отвечают)

К числу таких точек, изучаемых в школьном курсе геометрии относятся:

  • точка пересечения биссектрис (центр вписанной окружности);
  • точка пересечения серединных перпендикуляров (центр описанной окружности треугольника);
  • центр пересечения высот треугольника (ортоцентр);
  • точка пересечения медиан (центроид).

Если рассмотреть дополнительно биссектрисы трех пар внешних углов треугольника, то получается еще три замечательные точки – центры вневписанных окружностей:

Задача:

В треугольнике ABC точка D делит сторону BC в отношении BD:DC= 1: 3, а точка O делит AD в отношении AO:OD=5:2. В каком отношении прямая BO делит отрезок AC? (Подсказка: сделать дополнительное построение и использовать теорему Фалеса).

Дано:

ABC, DBC, BD : DC= 1:3

OAD, AO : OD= 5:2

BO AC= E

Найти AE : EC

Решение:

Проведем DM ll BE . По теореме Фалеса . Тогда AE= 5k, EM= 2k, где k - коэффициент пропорциональности. Аналогично , откуда MC= 3EM=6k; EC= 2k+6k= 8k; .

Ответ: AE : EC= 5:8

Для решения этой задачи пришлось выполнить дополнительное построение. Эту задачу можно решить без дополнительного построения, причем достаточно просто и быстро. Но для этого нам понадобится следующее утверждение:

Теорема (Менелая). Пусть на сторонах AB, BC и на продолжении стороны AC ABC взяты соответственно точки C1, A1, B1, не совпадающие с вершинами треугольника. Если точки A1, B1, C1  лежат на одной прямой, то выполняется равенство

..=1 ()

Упражнение 1.

Точка C1 – середина стороны AB треугольника ABC. Точка O – середина отрезка CC1. В каком отношении делит прямая AO сторону BC?

Ответ: 2:1.

Упражнение 2.

Точка A1 делит сторону BC треугольника ABC в отношении 1:2. Точка B1 делит сторону AC в отношении 2:1. Прямая A1B1 пересекает продолжение стороны AB в точке C1. Найдите отношение AB:BC1.

Ответ: 3:1.

Мы знаем, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Поставим теперь общий вопрос. Рассмотрим ABC и отметим на его сторонах BC, AC и AB (или их продолжениях) соответственно точки L, M, K. При каком расположении этих точек прямые AL, BM и CK пересекутся в одной точке?

Ответ на этот вопрос нашел в 1678 году итальянский инженер-гидравлик Джованни Чева (1698–1734 гг.). Чева создал учение о секущих, положившее начало новой синтетической геометрии. Известна его работа “О взаимном расположении пересекающихся прямых” (1678 г.) и теорема Чевы о соотношениях отрезков в треугольнике.

Ответ на этот вопрос нашел в 1678 году итальянский инженер-гидравлик Джованни Чева (1698–1734 гг.). Чева создал учение о секущих, положившее начало новой синтетической геометрии. Известна его работа “О взаимном расположении пересекающихся прямых” (1678 г.) и теорема Чевы о соотношениях отрезков в треугольнике (Учащиеся смотрят доказательство этой теоремы http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/c1b2c70a-eea7-4ea4-843c-
4c043be6009f/%5BG89D_8-03-02-34%5D_%5BML_004-2%5D.swf)

Упражнение 3.

Точки C1 и A1 делят стороны AB и BC треугольника ABC в отношении 1:2. Прямые CC1 и AA1 пересекаются в точке O. Найдите отношение, в котором прямая BO делит сторону CA.

Решение: По условию задачи

Используя теорему Чевы, находим

Упражнение 4.

Точки C1, B1, A1 делят стороны AB, AC, BC, соответственно, в отношениях 4:1, 2:1, 1:2. Выясните, пересекаются ли прямые AA1, BB1, CC1 в одной точке (Да).

Сегодня на уроке мы с вами рассмотрели две замечательные теоремы планиметрии – теоремы Чевы и Менелая. Применение теорем Чевы и Менелая для позволяет получить решение многих стандартных и известных задач не менее простые и компактные, но и более эффективные.

Домашнее задание:

  1. Рассмотреть решение задачи https://www.youtube.com/watch?v=csRa8iPqyfM
  2. Используя теорему Чевы, докажите, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. 

Литература:

  1. https://www.youtube.com/watch?v=csRa8iPqyfM
  2. http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/c1b2c70a-eea7-4ea4-843c-4c043be
    6009f/%5BG89D_8-03-02-34%5D_%5BML_004-2%5D.swf
  3. http://festival.1september.ru/articles/566481/img4.gif
  4. Лекции 1-4 “Геометрия на профильном уровне обучения” авторы: И.М.Смирнова, В.А. Смирнов.
  5. http://www.geometry2006.narod.ru/