Занятие математического кружка «Два свойства уравнения». 6-й класс

Разделы: Математика


Мы много раз пользовались уравнениями и знаем, что они очень полезны для решения различных задач. Чтобы успешно пользоваться уравнениями, надо хорошо знать их свойства и изучить различные приемы их решения.

Решение уравнений - один из основных вопросов курса алгебры. К этому вопросу мы будем возвращаться несколько раз. Сейчас рассмотрим два основных свойства уравнений.

Свойство 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число или один и тот же многочлен относительно неизвестного, то полученное в результате этого новое уравнение имеет те же и только те же решения, что и исходное уравнение. Или, другими словами: уравнение не теряет и не приобретает решения, когда к обеим частям его прибавляется одно и то же число или один и тот же многочлен относительно неизвестного.

Разъясним сначала, почему уравнение не может потерять решение, когда к обеим частям его прибавляется одно и то же число или один и тот же многочлен относительно неизвестного.

Рассмотрим уравнение

Это уравнение имеет решение х=5. При х=5 уравнение превращается в тождество 6=6.

Прибавим теперь к каждой части уравнения по 20, получим новое уравнение:

После замены в уравнении буквы х числом 5 каждое из выражений, заключенных в скобки, дает в результате опять 6 и, таким образом, мы в каждой части получим 26. Разница между исходным и решаемым заключается лишь в том, что при х=5 исходное уравнение превращается в тождество 6 = 6, а решаемое уравнение превращается в тождество 26 = 26.

Если бы к каждой части исходного уравнения прибавили не по 20, а по - 200, новое уравнение опять при х=5 превратилось бы в тождество. Различие межу этим уравнением и исходным уравнением заключалось бы только в том, что в каждой части нового уравнения получилось бы по 194, а не по 6, как в исходном уравнении.

Если бы мы к каждой части исходного уравнения прибавили по многочлену х2+х+2, новое уравнение опять при х=5 превратилось бы в тождество 38 = 38 (многочлен х2+х+2 при х=5 принимает значение 32).

Выходит, что решение х=5 не теряется, когда к каждой части уравнения прибавляется одно и то же число или один и тот же многочлен относительно неизвестного.

Так как вычитание любого числа и любого многочлена можно заменить сложением, уравнение не может потерять решение и тогда, когда от каждой части его отнимается одно и то же число или один и тот же многочлен относительно неизвестного.

Разъясним теперь, почему уравнение не может приобрести решение, когда к обеим частям его прибавляется одно и то же число или один и тот же многочлен относительно неизвестного.

Рассмотрим опять уравнения исходное и любое из приведенных и выясним, почему при переходе от исходного уравнения к уравнению приведенному мы не могли приобрести решения.

Для того чтобы от приведенного уравнения перейти к исходному уравнению, достаточно от каждой части его отнять по 20 (или к каждой части прибавить по -20). Значит, при переходе от приведенного уравнения к исходному мы не можем потерять решения.

Так как буквы в алгебре обозначают числа, все сказанное об уравнениях с числовыми коэффициентами относится также и к уравнениям с буквенными коэффициентами.

Следствие из 1-го свойства уравнений. Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив при этом знак его на противоположный.

Это утверждение справедливо для любых уравнений.

Свойство 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на какое-нибудь число, отличное от нуля, то полученное в результате этого новое уравнение имеет те же и только те же решения, что и исходное уравнение.

Иными словами: уравнение не приобретает и не теряет решений от того, что обе части его умножены или разделены на одно и то же число, отличное от нуля.

Прежде чем разъяснить свойство 2, заметим, что его достаточно разъяснить для умножения, так как деление можно всегда заменить умножением на обратное число.

Мы и здесь, как и при разъяснении свойства 1, сначала расскажем, почему при умножении (или делении) обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля, ни одно решение не может быть потеряно.

Возьмем какое-нибудь уравнение. Все, что будет показано на этом уравнении, можно показать и на любом другом уравнении. Уравнение

имеет решение х=6. Действительно, при х=6 уравнение превращается в тождество 10=10.

Умножим каждую часть уравнения на 20, получим уравнение:

При х=6 и это уравнение тоже превращается в тождество. 20•10=20•10

Если бы мы умножили обе части уравнения на , мы получили бы уравнение, которое при х=6 превращается в тождество

Выходит, что решение х=6 не теряется при умножении или делении каждой части уравнения на одно и то же число.

От уравнения данного уравнения можно перейти обратно к исходному посредством умножения каждой части его на .

Ясно поэтому, что при переходе от полученного уравнения к исходному уравнению не может быть потери решения. Отсюда вытекает, что при переходе от исходного уравнения к полученному уравнению не могло быть и приобретения решения. Здесь опять, как и при изучении свойства 1, важно понять, что решения, приобретенные при переходе от исходного уравнения к уравнению полученному в результате преобразований, должны были бы потеряться при обратном переходе, а потеря решения здесь невозможна.

Так как буквы в алгебре обозначают числа, все сказанное об уравнениях с числовыми коэффициентами относится также и к уравнениям с буквенными коэффициентами. При этом необходимо только следить за тем, чтобы при умножении обеих частей уравнений на буквенное выражение не вкралось умножение на нуль!

14.04.2015