Решение показательных уравнений

Разделы: Математика


Тип урока: формирование понятий, умений, навыков.

Цели:

  • Общеобразовательные: на языке конкретных действий: студенты повторяют понятие степени с действительным показателем, свойства степени, правила действий над степенями с одинаковым основанием; знакомятся с понятием и видами показательных уравнений; получают первоначальные навыки решения показательных уравнений методом уравнивания оснований, введения новой переменной, вынесения общего множителя.
  • Воспитательные: развитие продуктивного мышления и навыков самоконтроля в процессе выполнения упражнений.
  • Развивающие: развитие внимания, аккуратности, логического мышления.

Задачи:

  • повторить, обобщить и систематизировать теоретический материал, связанный со свойствами степеней с действительным показателем, действиями со степенями;
  • освоить приёмы решения показательных уравнений;
  • подготовиться к промежуточному контролю.

Структура урока:

I. Организационный момент (объявление темы урока и разъяснение целей учебной деятельности).
II. Основная часть:

  1. Актуализация опорных знаний студентов по данной теме:
    • вопросы на повторение;
    • устный счёт.
  2. Изучение нового материала.
  3. Решение показательных уравнений.

III. Самостоятельная работа.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Студентам сообщается тема урока и разъясняются цели и задачи учебной деятельности. (2 минуты)

II. Основная часть

1. Актуализация опорных знаний по данной теме.

Вопросы на повторение: (3 мин.)

1. Дать определение степени с действительным показателем;
2.  Перечислить свойства степеней;
3.  Перечислить правила действий со степенями.

2. Устный счёт: (7 мин.)
а) Вычислите: ;  ; ; ; ; ; ; ; ; ;  .
б) Найдите х: ; ;  .

3. Изучение нового материала (35 мин.)

Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным. Простейшее показательное уравнение имеет вид , где. Если , или , данное уравнение корней не имеет.

При решении уравнений вида  используется следующее свойство: . Преобразование показательного уравнения к виду выполняется многими способами. Рассмотрим некоторые из них.

Способ уравнивания оснований

Решить уравнения:

а)
Решение: Записав 625 в виде , получим , откуда .  Ответ: .

б)

Решение: Записав 25 в виде , получим , откуда . Переходим к квадратному уравнению , корни которого числа 3 и -1.   Ответ: .

в)
Решение. Представим , получим . Приходим к уравнению . Откуда . Ответ: .

г)
Решение. По определению отрицательного показателя степени, получим .  Откуда , .    Ответ : .

Способ введения новых переменных.

Решить уравнения:

а) . Решение: обозначим  , тогда получим . Решая уравнение, получим   .Возвращаясь к исходной переменной, получим  и . Корень первого уравнения , второе уравнение корней не имеет.

Ответ: .
б) . Решение: пусть , тогда получим . Решая это уравнение, найдем  и. Возвращаясь к исходной переменной, получим  и . Решив уравнения, получим корни  и .    Ответ:{-2;3}

в) .

Решение: Используя свойство степени, преобразуем данное уравнение к виду: ; далее . Пусть , тогда . Решая квадратное уравнение, получим  и . Возвращаясь к исходной переменной, получим  и . Решая первое уравнение, получим х=1, второе уравнение корней не имеет.  Ответ:

Способ вынесения общего множителя за скобки.

Вычислить: ; ;  (обратить внимание на вынесение общего множителя за скобки).

Решить уравнения:

а) .
Решение: Вынесем общий множитель за скобки , получим , откуда .  Ответ:{2}

б) .

Решение: Вынесем общий множитель за скобки , получим , откуда  , .  Ответ:{4}

в) .
Решение: Вынесем общий множитель за скобки ; ; получим , откуда , . Ответ:{3}

4. Решение показательных уравнений (тренировочные упражнения).

Для закрепления материала предлагается решить данные уравнения на доске (30 минут).

1.
2. ;      
3.  ;         
4.  ;
5. ;
6.   
7.   
8.  ;
9. ;  
10. ;
11. ;
12. .

III. Самостоятельная работа (15 мин.)

Вариант 1. 

  ;              ;      .

Вариант 2.

 ;        ;         

Вариант 3.

;           ;            

Вариант 4.

;        ;                   .

Результаты работы объявляются на следующем уроке.

16.02.2015