Методика организации по обучению решения задач на проценты как средство подготовки учащихся к жизненному самоопределению

Разделы: Математика


Задачей системы образования становится формирование личности – непрерывно развивающейся, разносторонне образованной, обладающей высоким уровнем экономической культуры, духовно богатой, умеющей реализовывать индивидуальные интересы, не противопоставляя их общественным, способной делать оптимальный экономический выбор.

Целями математической подготовки в средней школе являются: развитие логического мышления учащихся, интеллектуальное развитие, формирование качеств мышления.

Основным направлением модернизации математического школьного образования является отработка механизмов итоговой аттестации через введение единого государственного экзамена. В заданиях ЕГЭ по математике с кратким ответом (часть В) встречаются задачи, решение которых требует умения решения основных задач на проценты в проекте ЕГЭ – 2015 под № 19 включена задача на проценты.

Cовременная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Везде – в газетах, по радио и телевидению, в транспорте и на работе обсуждается повышение цен, зарплат, рост стоимости акций, снижение покупательной способности населения и т.п. Добавим сюда объявления коммерческих банков, привлекающих деньги населения на различных условиях, сведения о доходах по акциям различных предприятий и фондов, об изменении процента банковского кредита. Все это требует умение производить хотя бы несложные процентные расчеты для сравнения и выбора более выгодных условий.

На уроках математики параллельно с изучением теоретического материала обучающиеся должны уметь производить измерения и решать задачи с производственно-техническим содержанием, пользоваться справочниками и таблицами, считать на простейших приборах, выполнять хозяйственные расчёты, строить схемы, диаграммы и графики.

Задачи на проценты являются традиционными для школы; обучение их решению всегда рассматривалось как необходимое условие подготовки учащихся к жизни.

Ученик привык к тому, что если число х увеличили на у, а затем полученное уменьшили на у то получили х. Но если число х увеличить на 10%, а затем уменьшить на 10%, то получится не х, а 0,99х. Словом проценты - это особый язык к которому надо привыкать.

И так в 5 классе начиная изучение темы “Проценты” перед каждым учителем встают задачи. Научить обучающихся:

  • Выражать проценты в виде десятичной дроби, выполнять обратное преобразование.
  • Находить несколько процентов числа, увеличивать (уменьшать) число на несколько процентов.
  • Находить число по нескольким его процентам.
  • Находить, сколько процентов одного числа составляет другое, на сколько процентов одно число больше (меньше) другого.

Учащихся также надо знакомить с формой неявного использования процентов, типичной для средств массовой информации.

Объяснить, используя слово “процент”, что означают следующие утверждения:

а) из каждых 100 новорожденных 52 – мальчики;

б) из каждых 100 жителей Волгограда 27 имеют домашних животных.

Научив решать задачи арифметическим способом, переходим к задачам типа:

Товар уценили на 10%, затем он опять подорожал на 10%. Когда была выше стоимость до уценки или после подорожания?

Ученики с высоким уровнем решают с переменными x, а те кому задачи даются с трудом решают, используя числа.

В 6 классе учащиеся знакомятся с тем, что за хранение сбережений вкладчика и разрешение распоряжаться этими деньгами банк выплачивает вкладчику проценты к хранящейся сумме денег. В зависимости от способа начисления проценты делятся на простые и сложные.

Простые проценты: S0 - начальный вклад в банк, p % банк обязуется выплатить вкладчику в конце каждого года от первоначальной суммы,

Sn - количество денег, через n лет на вкладе, Sn = So• ( 1 + p•n/100)

Например: Вкладчик открыл в банке счёт и положил на него 150000 руб. сроком на 4 года под простые проценты по ставке 18% в год. Какой будет сумма которую вкладчик получит при закрытии вклада? На сколько рублей вырастет вклад за 4 года? Чему равен коэффициент наращивания?

Задачи со сложными процентами рассматриваем на кружковых занятиях.

Решая эти задачи учащиеся знакомятся с экономическими законами, расчёт банка с вкладчиками и заёмщиками, также должны понять, что экономика тесно связана с математикой и знания, полученные на уроках математики широко применяются при решении экономических задач. Повысить интерес к изучению математики и экономики.

Как итог интегрированный урок с преподавателем экономики по теме: “Проценты и банк”.

Тема урока: Проценты и банк (Интегрированный урок).

Цель урока: вспомнить основные понятия из курса математики по теме “Проценты”, из курса “Экономики” - “Банк”. Закрепить навыки решения экономико-математических задач.

Задачи урока.

– Повторить понятия “процент”, “пропорция”, “банк”, “депозит”, “кредит” и др. Закрепление навыков решения экономико-математических задач по теме “Проценты. Банк”.

?. Показать взаимосвязь двух предметов – математики и экономики.

- Формирование умений общаться в команде, цивилизованно защищать интересы команды.

Тип урока: интегрированный урок повторения и обобщения знаний и закрепления умений с применением дифференцированного подхода.

Форма урока: урок-соревнование между группами. Класс делится на 4 группы, целью которых является набрать большее количество баллов (жетонов) к концу урока. В конце урока подсчитывается количество жетонов в каждой группе, команда, набравшая наибольшее количество жетонов является победителем. Кроме этого, жетоны являются баллами, поэтому в каждой команде участники решают как распорядиться ими, то есть как оценить работу членов команды. Например, команда набрала 20 баллов, следовательно, баллы могут быть распределены следующим образом: 1) четырем учащимся “5”; 2) пятерым учащимся “4”; 3) одна “5”, три “4” и одна “3”. Если учитель считает нужным, то может добавить баллы той или иной команде для выставления более высоких оценок. Эта оценка выставляется по экономике. Кроме этого оценивается и индивидуальная работа учащихся по математике.

Оборудование урока:

(в том числе интерактивное оборудование, программное обеспечение и т.п.)

Заранее подготовленные чертежи на листах формата А-3

1. Подбор задач, составление кроссворда.

2. Деление класса на четыре равноценные группы (6–7 человек).

3. Подготовка плакатов (к заданию 3) и жетонов.

4. Размножить раздаточный материал.

5. Заранее задать учащимся домашнее задание – перечислить сказки, в которых есть упоминание о банке, деньгах, процентах.

Ход урока

Вступление – учитель математики.

Здравствуйте, ребята! Не успели вы переступить порог школы и стать первоклассниками, как тут же повстречались с математикой, по праву названной “царицей наук”. И вот уже шестой год вы изучаете эту науку. Одной из тем, с которой вы познакомились на уроках – проценты. А вот экономику вы начали изучать сравнительно недавно. Сегодня мы с учителем экономики проводим совместный – интегрированный урок. А как вы думаете, почему у нас возникла такая мысль? Тема урока “Проценты и банк”. Мы должны с вами вспомнить понятия процент, банк, депозит, кредит, дробь и закрепить навыки в решении экономико-математических задач. Начнем урок с маленькой разминки для каждой команды.

Задание 1: Найти названному проценту соответственное количество учащихся: 100%; 10%; 50%; 25%. Правильный ответ 1 балл.

Задание 2: найти названному проценту соответствующую дробь:

1) 80% - 3/4, 2/3, 4/5, 7/10.

2) 45% - 9/20, 3/5, 3/10, 5/10.

3) 55% - 7/10, 3/5, 11/20, 1/2.

4) 15% - 1/4, 3/20, 7/10, 1/10.

Правильный ответ – 1 балл.

Учитель математики: Ну а теперь переходим к следующему этапу. От каждой команды мне нужно по одному участнику. На плакатах вы видите разделенные на части круги. Надо заштриховать соответствующие проценты на данных кругах. Задание 3: Заштриховать нужную часть круга (по три задания; круг – 1 балл).

1) 70%(из 10 частей); 20% (из 5 частей); 50% (из 4 частей).

2) 80% (из 5 частей); 30% (из 10 частей); 75% (из 4 частей).

3) 25% (из 4 частей); 90% (из 10 частей); 40% (из 5 частей).

4) 100% (из 4 частей); 60% (из 5 частей); 10% (из 10 частей).

Учитель экономики: Ну, а чтобы не бездельничали остальные члены команды, каждая команда получает экономико-математический кроссворд, который необходимо разгадать в течение трех минут. 1 слово – 1 балл.

Вопросы кроссворда:

  1. Вид неустойки. Исчисляется в процентах (пеня)
  2. Положительная разность между выручкой и совокупными издержками (прибыль)
  3. Обязательные платежи, взимаемые государством с граждан (налог)
  4. Количество денег, за которое продается и покупается единица товара (цена)
  5. Превышение расходов над доходами (дефицит)
  6. Проценты бывают.. (простые и сложные)

Теперь настало время узнать правильные ответы и оценить работу команд (в баллах). Вначале дадим слово тем, кто выполнял задание у доски, а затем проверим правильность ответов на вопросы кроссворда.

4. Решение задач в командах. Учитель экономики: Ну что ж, мы с вами вспомнили, что такое процент, банк и другие понятия, связанные с банковской системой. Теперь пора перейти к практической части. Все вы, когда вырастите, возможно, станете клиентами банка: откроете счет в банке или возьмете кредит. А для того, чтобы правильно рассчитать сумму, которую должен вам банк или вы банку, необходимо уметь применять проценты в расчетных задачах.

Сейчас каждая команда получит шесть задач. Они разделены на три категории: сложные, средней сложности и легкие. Эта работа для вас будет одновременно индивидуальной и командной, т.е. каждый выбирает задачу любой категории сложности (можно не одну) и решает ее на отдельном листочке. Затем сдает решенные задачи учителю математики (за эту работу вам будет выставлена индивидуальная оценка по математике). В заключении, объединив полученные каждым результаты, вы сдаете бланк с вариантами ответов всех задач – обводите правильный вариант ответ, что принесет дополнительные баллы всей команде (сложные – 3 балла; средней сложности – 2 балла; легкие – 1 балл). На это отводится 10 минут.

  1. Какой будет заработная плата после повышения её на 35% если до повышения она составляла 10000р.
  2. Какую сумму следует положить в банк, выплачивающий 25% годовых что бы по истечению года получить 1млн р.?
  3. Деньги, вложенные в банк, приносят ежегодно 20% дохода. За сколько лет вложенная сумма удвоится.
  4. Вкладчик положил 1000 рублей в банк. Годовая процентная ставка которого составляет 20%. Каким станет вклад через 3 года, если банк начисляет простые проценты.
  5. Начальный вклад клиента сбербанка составил 8000 рублей. Годовая процентная ставка банка 40% Каким станет вклад через 3 года, если банк начисляет простые проценты? Сложные проценты?
  6. В двух банках в конце года на каждый счет начисляется прибыль: В первом банке – 60% к текущей сумме на счете, во втором 40% к текущей сумме на счете. Вкладчик в начале года часть имеющихся у него денег положил в первый банк, а остальные деньги во второй банк с таким расчетом, чтобы через два года суммарное количество денег на обоих счетах удвоилось. Какую часть денег вкладчик положил в первый банк?

Настало время сдать задачи. Отдельно командные результаты на проверку мне сейчас, а учителю математики ваши собственные решения. За что вы получите индивидуальную оценку по математике. Ответы к задачам: 1. Е. 2. Г. 3. Е. 4. В. 5. В. 6. А.

5. Анаграмма Пока оцениваются ваши командные усилия в решении задач, выполните еще одно задание – разгадайте анаграмму. В ней есть лишнее слово, которое вы должны отметить. Команда, выполнившая правильно первой это задание получает 3 балла, второе место оценивается – 2-мя баллами, а третье – 1-м баллом.

ТОП + ДИЕЗ (депозит); РЕ + ТИК + Д (кредит); Ц + ТОН + РЕ + П (процент); ПО + ПИР + Я + ОР + Ц (пропорция).

6. Проверка домашнего задания “Проценты, деньги, банк в сказках”. Ну, а теперь проверим, как вы выполнили домашнее задание. Каждая команда в течение 2-х минут на отдельный листок записывает названия сказок, в которых есть упоминание о деньгах, банках, процентах, кредитовании. Команда, назвавшая большее количество соответствующих условию задания сказок, получает 2 балла.

Если осталось время, то можно провести блиц-опрос “Вид банка” (для этого перейти по гиперссылке на Змее Горыныче на 20-ый слайд, затем вернуться по стрелке).

7. Подведение итогов урока. Подсчет результатов. Объявление команды-победителя. Каждая команда, набранные в процессе игры баллы, может превратить в оценки членов команды. (Например, команда набрала 20 баллов, следовательно, можно поставить четыре “5” или пять “4”. Учитель, если считает нужным, может добавить баллы одной из команд). Оценки за индивидуальную работу при решении задач объявляются на следующем уроке математики.

Так же тема: “Геометрическая прогрессия” имеет очень широкое приложение в экономике. С ее помощью банк производит расчёты с вкладчиком, решает, стоит ли вкладывать деньги в крупные проекты, доход от которых будет получен через несколько лет.

Задача: Система состоит из трех банков А1, А2, и А3.. В первый банк А1 внесен вклад 200000руб. Процентная ставка обязательных резервов составляет 15%. Какова максимальная сумма кредитов, которую может выдать эта система?

Решение: В этом случае n = 3, So = 200000руб., q =1- 0,15=0,85. Обязательные резервы банка А1 составляют 15%, т. е. 200000•0,15=30000(руб). Величина свободных резервов банка составляет 200000?30000=170000(руб).

Найдем: S3 = 170000(1- 0,853)/(1- 0,85) =437325(руб).

Знакомство с задачами такого уровня происходит на уроках, но отработка навыка проходит во вне урочное время ( кружки, факультативы, элективы )

Рассмотрение их имеет две цели: во-первых, закрепить изученные понятия, связанные с арифметической прогрессией; во-вторых, познакомить учащихся с новым путем решения задач на проценты.

Задача: При покупке квартиры в строящемся доме покупатель заключил со строительной фирмой следующий договор: сразу после заключения договора он выплачивает 10% стоимости квартиры, а далее начинает ежемесячно выплачивать 1,5% от ее стоимости. Стоимость купленной им квартиры составляет 36000 руб.

а) Составьте формулу для вычисления суммы, выплаченной покупателем квартиры через n месяцев после заключения договора. Вычислите, сколько было выплачено через 1 год, через 2 года после заключения договора.

б) Составьте формулу для вычисления суммы, которую осталось заплатить через n месяцев с начала действия договора, и найдите, сколько остается заплатить через 1 год, через 2 года.

в) На сколько лет рассчитана выплата стоимости квартиры?

г) Проиллюстрируйте графически ситуации, описанные в заданиях а) и б), откладывая по горизонтальной оси число лет, в течение которых производится расчет, а по вертикальной оси – денежные суммы.

Решение:

Сначала покупатель заплатил р.

Затем долг за квартиру можно представить виде арифметической прогрессии

а1=36000-3600=32400

a)

б)

в)

месяцев, то есть n=5лет.

г) см. рис.

Одним из типов задач на составление уравнений и систем уравнений ? задачи на смеси, растворы, сплавы, решение которых связано с понятиями: “концентрация”, “процентное содержание”, “проба”, “влажность

Еще в старших классах необходимо вернуться к задачам “работа и производительность” и “процентные вычисления в жизненных ситуациях”.

Задача 1. Семья Ивановых ежемесячно вносит плату за коммунальные услуги, телефон и электричество. Если бы коммунальные услуги подорожали 50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 35%. Если бы электричество подорожало на 50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 10%. Какой процент от общей суммы платежа приходится на коммунальные услуги, телефон, электричество?

Решение.

1) Ученики работают над составлением математической модели задачи, составляют и заполняют таблицу.

Вид платежа Плата в рублях Первая ситуация Вторая ситуация
Коммунальные услуги а 1,5а а
Телефон b b b
Электричество с с 1,5с
Всего а + b + с 1,5а + b +с =

=1,35(а+b+с)

а + b + 1,5с =

= 1,1(а +b +с)

2) Работают над математической моделью, решают систему.

3) Выражают ответ на вопрос задачи в процентах

a/ (a +b + c) •100% =7b/10b•100% = 70%,

b/ (a +b +c)•100% = b/10b•100% =10%,

c/(a +b +c)•100% =2b/10b•100% =20%.

Ответ: 70% платежа приходится на коммунальные услуги,

10% ? на телефон, 20% ? на электричество.

Задача 2. Стоимость путевки в пансионат складывается из стоимости питания и проживания. В связи с тем, что питание в пансионате подорожало на 50%, а проживание подорожало на 25%, стоимость путевки увеличилась на 40%. За что платили больше до подорожания: за питание или проживание и во сколько раз?

Современный выпускник школы не получает представления об экономике как совокупности методов, создающих условия для выживания и прогресса человечества. Поэтому необходимо показать им важность применения математического аппарата в экономических изысканиях, научить математически рассчитывать и показывать, “как государство богатеет и чем живёт”.

В старших классах знакомить учащихся с математическим моделированием. Под моделью мы будем понимать приближенное описание какого-либо явления внешнего мира, выраженное с помощью математической символики и заменяющее изучение этого явления исследованием и решением математических задач. С математическим моделированием встречались при решении текстовых задач, но при этом упор делается на нахождении ответа, а теперь внимание будет акцентироваться на построении модели, её уточнении после исследования, сравнении результатов, полученных при работе с моделью с реальностью и прогнозами.

Далее учащиеся знакомятся с понятием производственной функции – зависимости количества окончательного продукта, которое может произвести фирма, от объёма затрат ресурсов на это производство. В этом случае учащимся предстоит находить значение функции, значение аргумента, решать уравнения и их системы. Например.

Тема: “Решение простейших задач линейного программирования”

Цель: “Формирование экономической грамотности учащихся”

Задача: Два кирпичных завода М и Р обеспечивают кирпичом два обекта:

К и В. Продуктивность завода Р – 4000 кирпичей в сутки, а завода М – 3500 кирпичей в сутки. Строительство К требует 5000 кирпичей в сутки, а строительство В – 2500. Цена перевозки 100 кирпичей от завода Р на объект К – 100 руб., на объект В – 300 руб. Цена перевозки 100 кирпичей от завода М на объект К – 150 руб., на объект В – 400 руб. Как спланировать перевозку кирпичей, чтобы затраты были наименьшими?

Ученики работают над составлением математической модели задачи, составляют и заполняют таблицу.

Строительство Завод Р Завод М Количество сотен кирпичей
К 100 руб/х1 150 руб/х2 50
В 300 руб/у1 400 руб/у2 25
Количество сотен кирпичей 40 35 75

На вопрос задачи можно получить различные ответы (Z – стоимость перевозки кирпичей). Рассмотрим III – случая.

а) 100•30 150•20 50
  300•10 400•15 25
  40 35 75
  Z= 3000+ 3000 + 3000+ 6000=15000  

 

б) 100•40 150•10 50
  300•0 400•25 25
  40 35 75
  Z= 4000+ 300 •0 + 1500+ 10000=15500  

 

в) 100•35 150•15 50
  300•5 400•20 25
  40 35 75
  Z= 3500+ 1500 + 2250+ 8000=15250  

 

Делаем вывод, что вариантов плана перевозки кирпичей можно составить как угодно много. Из всех вариантов необходимо найти оптимальный. Причем методом перебора, как видим, решить эту задачу невозможно.

Решим задачу с помощью метода оценки. Поскольку все кирпичи, вырабатываемые заводами Р и М за сутки, полностью используются объектами К и В, то условие задачи можно записать системой уравнений:

Затраты на перевозку кирпичей выражаются равенством

Z = 100x1 + 150x2 + 300y1 + 400y2. (2) В задаче требуется найти такие значения х1, х2, у1, у2, которые удовлетворяют системе уравнений (1) и при которых функция (2) принимает наименьшее значение. Для того чтобы оценить функцию (2), приведём её к функции одной переменной. С этой целью полученные значения переменных в системе ( 1), выраженные через х1, подставим в функцию Z:

Z = 100x1 + 150(50 – x1) + 300(40 – x1) + 400(x1 – 15) = 50x1 – 13500.

Получили линейную функцию одной переменной Z = 50x1 – 13500, значение которой легко оценить.

Согласно условию задачи

откуда получаем: 15< х1<40. Значит, исследуемая функция Z принимает наименьшее значение при х1 = 15.

Z = 50•15 + 13500 = 14250.

План перевозки кирпичей будет таким:

Строительство Завод Р Завод М Количество сотен кирпичей
К 15 35 50
В 25 0 25
Вместе 40 35 75

Класс поделен на группы некоторые группы работают над задачами, некоторые над проектами (оценки за проект выше)

Тема проекта “Ремонт кабинета математики”

Основополагающий вопрос: “Экономно – значит дёшево?”

I группа работает над темой: “Оклейка стен обоями” (Учитывается: экологичность обоев, цена, экономичность, практичность а также клей)

II группа работает над темой: “ Панели” (Материал, работа, цена)

III группа работает над темой: “Покрытие пола” ( Материал, работа, цена)

Учащиеся самостоятельно: вычисляли площадь поверхности, узнавали цены, расход материала, срок службы, стоимость работы. На уроке все расчёты были представлены и рассчитано сколько не обходимо строительных материалов для ремонта, и сколько необходимо денег.

Остальные работали над задачами.

Задача №1

Автобаза должна выделить в распоряжение хлебозавода не менее 8 машин грузоподъемностью по 3 тонны и не менее 6 машин по 5 тонн. Всего база может выделить не более 15 машин. Сколько машин по 3 тонны и 5 тонн нужно выделить, чтобы общая грузоподъемность была наибольшей?

Задача №2

“Накопительные модели в схеме сложных процентов” 30 тыс. руб. выдано в кредит на 6 месяцев под простые (сложные) проценты по ставке 10% в месяц. Найти наращенное количество долга в конце каждого месяца. Вычислить интерес и дисконт этой сделки.

Задача №3

Величина предоставляемого банком кредита – 24 тыс. руб. Годовая процентная ставка 12% годовых. Срок погашения – 6 месяцев. Погашение кредита должно осуществляться ежемесячно равными долями. Уплата процента производится ежемесячно от оставшейся суммы задолженности. Рассчитайте план погашения кредита.

Современный выпускник школы не получает представления об экономике как совокупности методов, создающих условия для выживания и прогресса человечества. Поэтому необходимо показать им важность применения математического аппарата в экономических изысканиях, научить математически рассчитывать и показывать, “как государство богатеет и чем живёт”.

Научить не боятся задач на проценты. Больше давать задач с практическим содержанием чтобы ученик понимал, что умение их решать поможет им определится в реальной жизни. Учить анализировать ситуации в обыденной жизни, как экономические, так и политические, переведённые на язык процентов.

15.01.2015