Решение задач по теме «Теорема Пифагора»

Разделы: Математика


Цель: применение теоремы Пифагора при решении задач.

Задачи. Систематизировать знания по теме при решении задач с историческим и практическим содержанием. Создавать атмосферу заинтересованности каждого ученика. Учить выслушивать мнение одноклассников и высказывать свое при работе в парах и группе. Применить полученные знания при самостоятельном выполнении заданий.

1. Организационный момент. (Проверка готовности обучающихся к уроку. Создание эмоционального настроя. Приветствие.)

2. Мотивация. Иоганн Кеплер немецкий астроном, один из творцов астрономии нового времени говорил так: “Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень”

Без преувеличения можно сказать, что теорема Пифагора самая известная теорема геометрии, т.к. о ней знает подавляющее большинство населения планеты, хотя доказать ее способна лишь незначительная его часть.

Выяснением истории возникновения названия занимались два учащихся. Предоставляем им слово. (3 мин.)

Презентация уч-ся. (5-7 мин.) (Индивидуальная работа)

Презентация 1

Презентация 2

Слайды 1-4. Древнегреческий философ и математик (VI в до н.э.) Пифагор – едва ли не самый популярный ученый за всю историю человечества. Вокруг личности Пифагора образовалась множество легенд. Одни называли его математиком, пророком, философом, другие шарлатаном. Судить о правдивости высказываний сложно. Пифагор много путешествовал, после возвращения на родину- в Кротон, начинается самый славный период его биографии. Пифагор основывает школу – пифагорейский союз, состоявший из молодых представителей аристократии, куда принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы занимались математикой, философией, естественными науками, сделали много важных открытий в арифметике и геометрии. Но в школе существовал Декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось Пифагору. На основе преданий, распространенных известными математиками (Проклом, Плутархом и др.), длительное время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна, отсюда и название – теорема Пифагора.

Слайды 5-7. Различные формулировки теоремы Пифагора:

“В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (общепризнанная) Евклид (дословный перевод): "В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол". “Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах”. (Во времена Пифагора)

В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф.И. Петрушевским: "В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол".

Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э.): "Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол". К теореме Пифагора его ученики составляли стишки и рисовали шаржи.

“Пифагоровы штаны во все стороны равны”.

Доказательство теоремы называли “мостом ослов”, так как слабые ученики, заучивающие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому “ослами”, были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Или “бегство убогих”, так как некоторые “убогие” ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Саму теорему называли “ветряной мельницей”, “теоремой – бабочкой” или “теоремой невесты” Известно около 150, а по некоторым источникам около 500 различных доказательств теоремы Пифагора, поэтому она занесена в книгу рекордов Гиннеса.

Слайды 8- 10. Однако эту теорему знали за много лет до Пифагора. Так, за 1500 лет до Пифагора древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным и применяли этот способ для строительства пирамид. В самом древнем индийском геометрическом сборнике “Сульвасутра” (“Правила веревки”, 600 год до н.э.), даются правила построения прямых углов при помощи веревки с узлами, расстояния между которыми равны 15, 36 и 39 падас (мера длины). В Древнем Китае уже около 2200 года до н.э. для треугольника со сторонами 3, 4, 5 было найдено правило “гоу-гу”, с помощью которого можно было по известным гипотенузе и одному из катетов находить другой неизвестный катет, а также гипотенузу, если известны оба катета.

Слайды 11-12. Большая часть доказательств теоремы Пифагора выполнена геометрическими методами, один из них метод разложения, который заключается в том, что квадрат, построенный на гипотенузе, с одной стороны, и квадраты, построенные на катетах, с другой, складываются из равных частей. На рисунке доказательство для равнобедренного треугольника. Из рисунка все так понятно, что комментировать его не требуется. Как писал в подобных случаях индийский математик XII века Бхаскара: “Смотри!”. Среди методов разложения есть два таких доказательства, что их можно назвать шедеврами: иранского математика ан-Найризи (конец IX - начало Х века), лондонского биржевого маклера и астронома-любителя Генри Перигэлу (1873 год).

3. Несколько уроков мы рассматривали свойства прямоугольного треугольника. Зачем? (Например ответ: решать задачи). Как можем сформулировать тему урока?

Тема сегодняшнего урока: Решение задач по теме “Теорема Пифагора”.

Какую цель поставим на урок? Какие задачи должны выполнить для ее достижения? (2 мин.)

4. Применение знаний и умений.

1) Разминка-блиц опрос

Слайды. Устное решение по готовым чертежам. (7 мин.) (Фронтальная работа)

2) Письменное выполнение упражнений. Старинные задачи с практической направленностью. (4 мин.)

Старинная задача из учебника Магницкого: Случися некоему человеку к стене лествицу прибрати, длиною 125 стоп, у стены же тоя высота есть 117 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лествицы нижний конец от стены отстояти имать? (Ответ: 44 стопы)

Задача Бхаскары

На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой,
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в том месте река
В четыре лишь фута была широка.
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота? (Ответ: 8 футов)

Задачи с практическим содержанием. С решением у доски.

3) Выход к ГИА

Большое количество задач на свойства прямоугольного треугольника и теорему Пифагора вынесено на ГИА. Рассмотрим несколько.

На расстоянии 20 метров друг от друга растут две сосны высотой 8 и 23 метра. Определите расстояние между их вершинами. (Ответ: 25 м)

С решением у доски. (2 мин.)

Слайд-карточки. У гол. Найти значения sin, cos, tq, ctq угла, изображенного на рисунке. (5 мин.) (Работа в парах по нахождению решения данной задачи)

Обсуждение решения: исправление ошибок, если они есть; нахождению решения, если не нашли.

4) Выход к ЕГЭ

Знания, которые получили при изучении данной темы, будут использоваться и в старших классах.

Слайд-Карточки. Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда по его измерениям. (5 мин.) (Работа в группах)

5) Дифференцированная самостоятельная работа.

Карточки. (5-7 мин.) Обучающимся предлагается выбрать для решения любые 2-4 задания. Проверка при наличии времени по готовым ответам на уроке, либо работы сдают на проверку.

Ответы

№ задачи 1 2 3 4 5 6 7
Ответ 10 5 2V2 16 16 V2 V3

5) Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция

Наш урок подходит к концу. Давайте обсудим: какие задачи вызвали у вас затруднения и почему?

6) Рефлексия

Подведение итога урока, в соответствии с целью и задачами. Качественная оценка работы класса и отдельных учащихся. Оценка учащихся. Учащиеся подводят итоги своей работы, продолжая незаконченное предложение. (У меня получилось…, Я попробую…и т.д.)

7) Домашнее задание (на карточке).

№16,18 всем; по желанию: вывести формулу диагонали прямоугольного параллелепипеда; мини сообщения (биография Пифагора, пифагорейская школа, история таблицы Пифагора).

28.01.2015