Функция распределения случайной величины. Урок по теории вероятностей и статистике для 11-го класса

Разделы: Математика


Тип: изучение нового материала.
Цели: Образовательные: ввести понятия функции распределения случайной величины, непрерывной случайной величины, плотности распределения.

Развивающие: показать применение определенного интеграла к задачам теории вероятностей, дать представление об определенном интеграле с бесконечными пределами интегрирования, развивать логическое мышление, умение обобщать полученные знания.

Воспитательные: развивать внимание, аккуратность, умение вести дискуссию.

Оборудование: компьютер, проектор или интерактивная доска.

Ход урока

I. Оргмомент. Тема, цели, план урока.

II. Повторение. Геометрическая вероятность.

Задача 1. На круг радиуса R случайным образом бросается точка.

Найдите вероятность того, что точка попадет в закрашенное кольцо.

Решение.

Задача 2. На круговую мишень случайным образом бросается точка.

Значения случайной величины X – количество очков, выбитое при попадании в определенный круг мишени. Составьте таблицу распределения вероятностей случайной величины X. Радиусы окружностей на мишени 10 см, 20 см и 30 см.

Решение.

X 1 2 3
PX 5/9 1/3 1/9

III. Функция распределения.

Некоторые свойства функции распределения:

Задача 3. Постройте функцию распределения для случайной величины из задачи 2.

Решение.

IV. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения.

Некоторые свойства плотности распределения:

Пример непрерывной случайной величины. Для случайного опыта из задачи 2 рассмотрим случайную величину R – расстояние от точки, брошенной на мишень, до центра мишени. Величина R принимает все значения из промежутка .

Задача 4. Найти плотность распределения для случайной величины R.

Решение. Вероятность попадания точки в кольцо с внутренним радиусом a см и внешним радиусом b см равна . Из таблицы интегралов для элементарных функций и формулы Ньютона-Лейбница нам известно, что . Сравнивая два этих выражения и используя свойства интегралов, заключаем, что искомая плотность распределения равна при и 14.gif (157 bytes) вне этого промежутка.

V. Домашнее задание.

Задача 5. Рассмотрим эксперимент с подбрасыванием двух кубиков и случайную величину M – максимальное из двух чисел на кубиках. Постройте функцию распределения для величины M.

Решение.

M 1 2 3 4 5 6
PM 1/36 1/12 5/36 7/36 1/4 11/36

Задача 6. На числовой отрезок [2;5] случайным образом бросается точка. Найдите плотность распределения для случайной величины X – координаты точки.

Решение. Вероятность попадания точки на отрезок [a;b] () равна . Из таблицы интегралов для элементарных функций и формулы Ньютона-Лейбница нам известно, что . Сравнивая два этих выражения, заключаем, что искомая плотность распределения равна при и вне этого промежутка.

VI. Итог урока.

  1. Что такое функция распределения случайной величины?
  2. Приведите примеры дискретных и непрерывных случайных величин.
  3. Что такое плотность распределения случайной величины?

26.10.2014