Урок алгебры в 10-м классе (занятие элективного курса) по теме «Методы решения уравнений высших степеней»

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»


Презентация к уроку

Загрузить презентацию (1,7 МБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.


На занятии изучается методика решения уравнений высших степеней. Рассматриваются два метода: разложение на множители и замена переменной. Понижение степени уравнений с помощью деления многочленов по схеме Горнера и приведение различных уравнений к замене переменной. Дана историческая справка исследования уравнений высших степеней. Представлена презентация урока.

Метод разложения на множители.

 Этот метод основан на  применении теоремы Безу. Если число α является корнем многочлена P(x) степени n, то его можно представить в виде P(x) = (x - α)Q(x), где  Q(x) - многочлен степени (n-1).Теорема Безу: “Остаток от деления многочлена  Р(х) на двучлен (x - α) равен P(α), т.е. значению многочлена при x = α” Таким образом, если известен хотя бы один корень уравнения  Р(х)=0 степени n, то с помощью теоремы Безу можно свести задачу к решению уравнения степени (n-1),  понизить степень уравнения. Теорема. Пусть несократимая дробь p/q является корнем уравнения a0xn + a1xn-1+ ... + ax-1x+ an = 0 с целыми коэффициентами, тогда число p – является делителем свободного члена an, а q – делителем старшего коэффициента a0. У многочлена с целыми коэффициентами целые корни являются делителями свободного члена. Таким образом, зная корень многочлена, его легко разложить на множители, т.е. разделить P(x) на (x - α) “углом” или по схеме Горнера.   

Схема Горнера

 

a0

a1

a2

...

an-1

an

α

a0

b1 = α a0 + a1

b2 = α b1 + a2

...

bn-1 = α bn-2 + an-1

0

 

(x - x1)(x - x2) ... (a0x2 + bx + c) = 0, x1= α – корень многочлена.

Пример №1. x3 - 9x2 + 26x - 24 = 0  Решение. Выпишем делители свободного члена

p = ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±8; ±12; ±24, R(2) = 0, x1= 2.

Понизим степень уравнения делением многочленов в столбик «углом»

рис.2

x3 - 2x2

 -7x2 + 26x

-7x2 + 14x

12x - 24

12x - 24

Разложим на множители (x - 2)(x2 - 7x + 12) = 0, x1 = 2, x2 = 3, x3 = 4.

Ответ: {2;3;4}

Решить самостоятельно.

Пример №2: x3 + 7x2 - 56x + 48 = 0 Ответ: {1;4;-12}

Пример №3: x3 - 5x2 - 2x + 16 = 0 Ответ: рис.3

Понижение степени по схеме Горнера.

Пример №4: x4 + 3x3 - 24x2 + 17x + 3 = 0

Решение. Найдем делители свободного члена p =±1; ±3, R(1) = 0, x1= 1.

 

1

3

-24

17

3

 

1

1

4

-20

-3

0

x1= 1

3

1

7

1

0

 

x2= 3

Разложим на множители (x - 1)(x - 3)(x2 + 7x + 1) = 0 Ответ: рис.4

Пример №5: x6 -  x5 - 8x4 + 14x3 + x2 - 13x + 6 = 0

p = ±1; ±2; ±3; ±6

 

1

-1

-8

14

1

-13

6

 

1

1

0

-8

6

7

-6

0

x1= 1

-1

1

-1

-7

13

-6

0

 

x2= -1

2

1

1

-5

3

0

 

 

x2= 2

-3

1

-2

1

0

 

 

 

x2= -3

Разложим на множители (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 3)(x2 - 2x + 1) = 0

(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 3)(x - 1)3 = 0

Ответ: {±1; 2; -3}

Пример №6:4– 7х3 – 3х2 + 5х – 1 = 0,  p = ± 1,  рис.7

 

2

-7

-3

5

-1

 

1

2

-5

-8

-3

-4

не корень

-1

2

-9

6

-1

0

x1= -1

0,5

2

-8

2

0

 

x2= 0,5

(х + 1)(х – 0,5)(2х2 – 8х + 2) = 0

х2 – 4х + 1 = 0     D/4 = 4 – 1 = 3      x = 2 ±√3  Ответ: {1; 0,5; 2 ±√3}

Решить самостоятельно.

Пример №7: 4 + 17х3 – 17х2 - 8х + 6 = 0  Ответ: {1/2; 1; -5 ±√19}

Пример №8: х4 + 3х3 – 5х2 - 13х + 6 = 0  Ответ: {2; -3; -1 ±√2}

Замена переменной.

Пример №9:

рис.8

1. Возвратные уравнения

a0xn + a1xn-1+ ... + an-1x+ an = 0 – Возвратное симметричное, если a0 = an, a1 = an-1 и т.д.  

1) Для нечетных возвратных многочленов справедлива теорема: “Всякий возвратный многочлен нечетной степени имеет корнем х = -1. Затем схема Горнера.

2) Возвратное уравнение 4-й степени aх4 + bх3 + cх2 + bx + a = 0, a ≠ 0. Делим на x2 рис.11

Получим замену

рис.9 рис.10

Пример №10:4 - 35х3 + 62х2 - 35x + 6 = 0

Делим на x2, получим  рис.12

6t2 - 35t + 50 = 0    t1= 5/2; t2=  10/3

рис.13

Решить самостоятельно.

Пример №11: 4 + 3х3 - 24х2 - 3x + 2 = 0  Ответ: рис.14

Пример №12: 12х4 - 16х3 - 11х2 - 16x + 12 = 0 Ответ: {2; 0,5} 

2. Однородные уравнения.

a0xn + a1xn-1y + ... + ax-1xyn-1+ anyn = 0  Делим на yn, x ≠ 0, y ≠ 0.

a0(x/y)n + a1(x/y)n-1 + ... + an-1(x/y)+ an = 0, получим замену x/y = t

a0tn + a1tn-1 + ... + an-1t+ an = 0

Пример №13:4 + х2(x + 2) - 3(x + 2)2 = 0  Делим на (x + 2)2, получим

рис.15

Решить самостоятельно.

Пример №14: (x - 1)4 + 9(x + 1)4 = 10(x2 - 1)2   Ответ: {-2; -0,5; 0}

3. Уравнения (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m, m ≠ 0.

Если выполняется одно из условий a + b = c + d, b + c = a + d, a + c = b + d, то выполняется замена переменной.

Пример №15: (x + 2)(x - 3)(x + 1)(x + 6) = -96;   2+1=-3+6

(x + 2)(x - 3)(x + 1)(x + 6) = -96, (x2 + 3x + 2)(x2 + 3x - 18) = -96

x2 + 3x = t, (t + 2)(t - 18) = -96, t2 - 16t + 60 = 0, t1=10, t2=6

рис.16

Решить самостоятельно.  

Пример №16: (x - 2)(x + 4)(x + 1)(x + 7) = 63

4. Уравнения рис.17 приводим к замене

рис.18

Решить самостоятельно.   

Пример №18:  рис.19 Ответ: {0,5; 3,5}

5. Биномиальные уравнения

(x + a)n + (x + b)n = c, замена x = t - (a + b)/2, получим (t - p)n + (t + p)n = c. Применяем формулу бинома  Ньютона

рис.20

Пример №19: (x + 6)4 + (x + 4)4 = 82, x = t - (6+4)/2 = t-5,

(t - 1)4 + (t + 1)4 = 82, t 4 + 4t3 + 6t2 + 4t + 1+ t4 - 4t3 + 6t2 - 4t + 1 = 82,

рис.21

x1= -3, x2= -7. Ответ: {-3; -7}

Решить самостоятельно.  

Пример №20: (x + 3)4 + (x + 5)4 = 16, Ответ: {3; -5}

Домашнее задание:

Пример №2: x3 + 7x2- 56x + 48 = 0 Ответ: {1; 4; -12}

Пример №3: x3 - 5x2- 2x + 16 = 0 Ответ: рис.22

Пример №7: 2x4 + 17x3 - 17x2- 8x + 6 = 0 Ответ: {1/2; 1; -5 ±√19}

Пример №8: x4 + 3x3 - 5x2- 13x + 6 = 0 Ответ: {2; -3; -1 ±√2}

Пример №11: 2x4 + 3x3 - 24x2- 38x + 2 = 0  Ответ: рис.23

Пример №12: 12x4 - 16x3 - 11x2- 16x + 12 = 0 Ответ: {2; 0,5}

Пример №14: (x - 1)4 + 9(x + 1)4 = 10(x2- 1)2 Ответ: {-2; -0,5; 0}

Пример №16: (x - 2)(x + 4)(x + 1)(x + 7) = 63

Пример №18:  рис.24

Пример №20: (x + 3)4 + (x + 5)4 = 16, Ответ: {3; -5}

Историческая справка

Квадратные уравнения

1.1. Индийский ученый Брахмагупта (VIIв) – правило решений квадратных уравнений.

1.2. После трудов Нидерландского математика А.Жирара (1595-1632г.), а также Декарта и Ньютона способ решений квадратных уравнений принял современный вид.

1.3. Ф. Виетт (1591г.) – зависимость корней от коэффициента.

Кубические уравнения    х3+рх +q = 0

1.4. Сципион Даль Ферро (1465-1526г.) и его ученик Фиори.

1.5. Н. Тарталья (1499-1557г.) – не опубликовал своих трудов.

1.6. Д. Кардано (1501-1576г.), «Великое искусство, или о правилах алгебры» – узнал об открытии Тартальи.

Формула корней кубического уравнения (формула Кардано)

рис.25

х3+х - 1 = 0

р=1   q= -1

рис.26

Уравнения 3-й и 4-й степени

1.7. Ученик  Кардано  Л.Феррари (1522-1567г.) – метод решения уравнения 4й степени.

1.8. Р.Бомбелли (1530-1572г.) – полное исследование кубических уравнений.

1.9. Ф.Виет (1540-1603г.) – полное изложение вопросов, связанных с решением уравнений 3й и 4й степени.

Уравнения 5-й степени

1.10. Норвежский  математик Н. Абель (1802-1829г.) – доказал, что в общем случае корни уравнений 5й степени и более высоких степеней не могут быть выражены через радикалы.

1.11. Французский математик Э. Галуа (1811-1832г.) выделил класс  алгебраических  уравнений, которые разрешены в радикалах.

16.12.2014