Логарифмы. Логарифмические уравнения. 11-й класс

Цели урока:

• Образовательные: отработка умений систематизировать, обобщать свойства логарифмов, логарифмической функции; применять их при решении логарифмических уравнений; уметь применять различные методы решения логарифмических уравнений.
• Развивающие: развитие сознательного восприятия учебного материала, развитие зрительной памяти, развитие математической речи учащихся. Формировать навыки самообучения, самоорганизации и самооценки, способствовать развитию исследовательской и творческой деятельности учащихся.
• Воспитательные: формирование познавательной активности; воспитать у учащихся любовь и уважение к предмету, научить видеть в математике не только строгость, сложность, но и логичность, простоту и красоту. (Слайд 2).

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

а) Дорогие ребята! Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. Очень хочу, чтобы те, кто еще равнодушен к царице всех наук, с нашего урока ушел с глубоким убеждением: Математика – интересный и очень нужный предмет. Для того, чтобы выполнить все задания, вы должны уметь применять все приобретенные знания по логарифму, поэтому эпиграфом нашего урока будут слова:«Усердие все превозмогает».

б) Объявление темы урока, его цели:

Сегодня на уроке мы будем повторять.
Все свойства логарифмов подробно вспоминать.
Логарифмические уравнения с О.Д.З. решать.
Задания ЕГЭ С части разбирать.

(Презентация. Слайд 3).

На столе у каждого ученика лежит лист самооценки. После каждого этапа урока я рекомендую вам его заполнять.

Лист самооценки

Фамилия, имя ____________________________________________________

Итоговое колличество баллов ____ Оценка ____

Критерии оценивания:

• «3» 10-15 баллов,
• «4» 16-30 баллов,
• «5» более 30 баллов. (Слайд 4).

2. Актуализация знаний

Логарифмом b по основанию a называется показатель степени, в которую надо возвести основание  a, чтобы получить число b.

Значение  основания  a должно быть a > 0 и a =/= 1.
Число b принимает положительные  значения.

Логарифм по основанию 10 называется десятичным.
Логарифм по основанию e называется  натуральным. (Слайды5, 6).

Своиства логарифмов

(Слайд 7)

График логарифмической функции

(Слайд 8)

3. Устная работа

Ребята, вам даются задания, которые вы должны выполнить. Получив ответы к каждому заданию, внизу таблицы выберите свои ответы и рядом с заданием, в пустые клеточки впишите соответствующие значения букв.

(Слайд 9).

4. Историческая справка

ДЖОН НЕПЕР

Джону Неперу принадлежит сам термин «логарифм», который он перевел как «искусственное число». Джон Непер – шотландец. В 16 лет отправился на континент, где в течение пяти лет в различных университетах Европы изучал математику и другие науки. Затем он серьезно занимался астрономией и математикой. К идее логарифмических вычислений Непер пришел еще в 80-х годах XVI века, однако опубликовал свои таблицы только в 1614 году, после 25-летних вычислений. Они вышли под названием «Описание чудесных логарифмических таблиц». (Слайд 10)

5. Исследовательская работа

«Исследование влияния преобразований логарифмических выражений на их область допустимых значений»

1. Найдите ОДЗ уравнения  log₅(3x – 2) + log₅(x – 7) = 2 + log₅2.
2. Преобразуйте уравнение, используя свойства логарифмов.
3. Найдите ОДЗ полученного уравнения и сравните её с исходной. Как изменилась ОДЗ (расширилась или сузилась)?
4. Решите уравнение.
5. Выполните проверку. Дайте ответ.
6. Появились ли в ходе решения посторонние корни? Объясните причину их появления. (Слайды11, 12).

Вопросы:

1) Что происходит с ОДЗ при замене log₂(x(x + 3))наlog₂x + log₂(x + 3 )?
2) Что происходит с ОДЗ при обратной замене?
3) В каком случае могут потеряться корни?
4) В каком случае могут образоваться посторонние корни?

Учащиеся высказывают свою гипотезу.

Решение

Ответы:

1) ОДЗ сужается.
2) ОДЗ расширяется.
3) при сужении ОДЗ.
4) при расширении ОДЗ. (Слайды 13, 14).

Коллективное обсуждение полученных результатов. Формулировка выводов.

Вывод: Некоторые формулы действий с логарифмами обладают тем свойством, что при их использовании О.Д.З. уравнения либо расширяется, либо – сужается. И если первую ситуацию легко исправить проверкой истинности равенства для найденных решений, то вторая ситуация совершенно недопустима, так как может привести к потере решений. (Слайд 15).

6. Диктант по свойствам логарифмической функции (Слайды 16-18).

Виды логарифмических уравнени и способы их решения(Слайд 19).

1. Простейшие логарифмические уравнения: log_ax = b.

Решение данного вида уравнений следует из определения логарифма, т.е. х = а^b и х > 0.

2. Уравнения вида log_ax = log_aу.

Т.к. основания одинаковые, то приравниваем выражения под логарифмами х = у , x > 0, y > 0 .

3. Уравнения квадратного вида log²_ax + log_ax + c = 0.

Уравнения решаются способом введения новой переменной и переходом к обычному квадратному уравнению.

4. Уравнения вида a^x = b

Решаются логарифмированием обеих частей по основанию а.

5. Уравнения, которые можно привести к простейшим, используя свойства логарифмов.

6. Графический способ log_ax = f(x).

Строятся графики функций, расположенных в левой и правой частях уравнения и указывается корень уравнения.

7. Метод оценки границ.

Определяются границы значений всех функций, указанных в уравнении.

7. Самостоятельная работа (Слайд 20).

а) Решите уравнение log₃(sinx – sin2x + 27) = 3
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение (Слайд 21).

8. Логарифмический софизм 2>3 (Слайд 22).

Рассмотрим верное неравенство: 1/4 >1/8. Преобразуем его к виду: (1/2)²>(1/2)³, большему значению соответствует больший логарифм, значит: lg (1/2)²>lg(1/2)³.
По свойству логарифма: 2 lg(1/2)>3 lg(1/2). После сокращения на lg(1/2) имеем:2>3.
В чем состоит ошибка этого доказательства?

Решение:(Слайд 23).

Ошибка в том, что при сокращении на lg1/2 не был изменен знак неравенства (> на <); между тем необходимо было это сделать, так как lg1/2 есть число отрицательное.

9. Домашнее задание: Найдите ошибки! Раздать карточки(Слайд 24).

Решите эти уравнения правильно.

Ответы домашней работы: (Слайд 25).

Ошибки в уравнении №1

Ответ:– 7; – 1.

Ошибки в уравнении №2

Ответ: 0

Ошибки в уравнении №3

Ответ:нет решений.

10. Рефлексия

Лист успеха обучаемого (Слайд 29)

Фамилия, имя_______________

– С какими трудностями вы встретились? (Слайд 30).
– Что помогло? (Опорные конспекты …)
– Что было сегодня необычного?
– Что понравилось?
– Что взяли с урока?
– Кому и в чем помог разобраться сегодняшний урок?

11. Итоги урока

1. Вычисление итогового количества баллов.
2. Самооценка своей работы на уроке.
3. Сдача листов самооценки. (Слайд 28)
заключение урока, я хочу вам прочитать высказывание: (Слайд 27).

Музыка может возвышать или умиротворять душу,
Живопись – радовать глаз,
Поэзия – пробуждать чувства,
Философия – удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,
А математика способна достичь всех этих целей».

Американский математик Морис Клайн.

Ода логарифму(Слайд 26)

Сегодня тема: логарифмы. И это вам совсем не рифмы, Не повесть это, не рассказ, То – математика! Весь сказ! Что логарифмом называем? Так-так, так-так… Опять не знаем?! Кто "показатель" там сказал? Ну, молодец! Ты угадал! Чего, скажите, коль не трудно? Кто там шепнул: «О, как занудно»?!

Конечно, степени, друзья. Что возвести должна всё ж я? О, нет: не икс, не бэ, конечно. Перебирать что ль бесконечно? Так и урок пройдёт опять. Так кто же хочет всё же пять? «Я знаю! Это – основанье!», – Вдруг слышу гордое признанье. Внезапно зазвенел звонок… Ура! Закончился урок!

12. Дополнительное задание

Сильные учащиеся, которые выполняют самостоятельную работу быстрее других, решают задания по карточкам. (Слайд 31).

Решения (Слайды 32-35).