Головоломки с цветными кубиками

Разделы: Математика, Внеклассная работа


Обучение – это ремесло, использующее бесчисленное количество маленьких трюков.

Д. Пойа

Занимательность в обучении, способствующая развитию творческих способностей учащихся, до сих пор остается одной из нерешенных проблем в школьном математическом образовании.
С точки зрения  М.Ю Шубы, «под занимательностью … понимаем те компоненты урока (способы подачи учебного материала, специфические свойства информации и заданий, связанные с учебным материалом, а иногда и с организацией обучения), которые содержат в себе элементы необычайного, удивительного, неожиданного, комического, вызывают интерес у школьников к учебному предмету и способствуют созданию положительной эмоциональной обстановки учения». [8, с. 3]

По мнению Б.П. Никитина, «…особые качества ума, такие, как наблюдательность, умение сопоставлять и анализировать, комбинировать, находить связи и зависимости, закономерности  и т. д. – все то, что в совокупности и составляет творческие способности». [6, с. 11]

Мы в детстве играли кубиками. Затем, взрослея, все реже к ним прикасаемся. Но кубики можно считать универсальной игрушкой. Она способствует проявлению и развитию разных сторон личности, удовлетворению интеллектуальных и эмоциональных потребностей в любом возрасте. Кубики, как строительный материал, быстро не «исчерпывают» себя, дольше  «служат» детям, т. к. обладают большой вариативностью, разнообразием комбинаций.

Математика – наиболее оптимальный учебный предмет, где могут использоваться задания, задачи, упражнения с кубиками, как на уроках, так и во внеклассной работе. При обучении математике использование кубиков позволяет развивать не только логику, пространственное воображение, но и творческое мышление.

В данной статье будут представлены головоломки с цветными кубиками. Этот материал, является продолжением ряда статей, опубликованных ранее.

Куб является простейшим из правильных многогранников, которыми можно целиком заполнить трехмерное пространство. Кубики могут быть изготовлены из разных материалов, удобных в обращении, лучше с гладкими гранями. Их можно купить или сделать самим. Можно не раскрашивать кубики, а обклеить их разноцветными бумажными квадратами.

Раскрашивая грани кубиков двумя красками, мы получим не больше десяти разных кубиков. Раскрашивая в три цвета, получим 57 разных кубиков. Если же красок не три, а шесть, то шестицветных кубиков будет 2226.

В ряде представленных головоломках будет встречаться комплект из 30 кубиков, у которых все шесть граней разного цвета.  Он, с точки зрения А. Макмагона (британский специалист по комбинаторному анализу, преподаватель Королевской военной академии, умер в 1928году), считается идеальным для наших целей и, как утверждают историки, придуман им же.
Легко понять, что 30 является максимальным числом. У каждого куба одна грань должна быть, например, красной. Противоположная ей грань может быть любого из пяти цветов. Оставшиеся четыре цвета можно распределить шестью разными способами, так что число различных кубов будет 5 х 6 = 30. Два куба считаются различными, если их разверстки нельзя совместить так, чтобы цвета всех граней совпадали.

Изготовить такой комплект довольно утомительно. Но это того стоит. Раскрашенные кубики могут стать не только средством в обучении, но и любимой забавой для досуга в семье.

1. Головоломка «30 кубиков»

Выберите любой из 30 кубиков. Найдите теперь такой кубик, который можно положить рядом с выбранным так, чтобы соприкасающиеся грани были одного цвета, верхние квадраты – другого, а четыре остальные грани также были бы одинаково раскрашены. Такой куб всегда существует. Эти два кубика будут зеркальным отражением друг друга.
Отыскивая нужный кубик, можно значительно сэкономить время, если разложить кубики в ряды и переворачивать каждый ряд целиком, сжав его пальцами с торцов. Пусть, например, вам нужно найти кубик, у которого противоположные грани красного и синего цвета. Разложите кубики в ряд красными гранями кверху; поверните ряд целиком на пол-оборота и выньте из него все кубики с синими гранями наверху. Или, если вам нужны кубики, у которых одна вершина образована гранями синего, желтого и зеленого цветов. Разложите кубики в ряду синими гранями вверх, переверните весь ряд и выньте кубики, обращенные кверху зеленой и желтой сторонам. Сложите из оставшихся ряд с зеленым верхом, переверните его и отберите кубики с синими и желтыми гранями. Оставшиеся после этого кубики будут искомыми.

2. Головоломка «8 из 29»

Из 30 кубиков отложите в сторону какой-нибудь кубик. Отберите восемь из оставшихся 29 кубиков и постройте из них куб размером 2 х 2 х 2, который является точной копией отложенного кубика, но в два раза выше. В дополнение ко всему маленькие кубики должны соприкасаться гранями одного цвета.
Для решения подходят только восемь определенных кубиков, вам вряд ли удастся их отыскать, если вы не знаете какого-нибудь систематического метода. Наилучшим можно считать следующий способ.
Посмотрев, какого цвета три пары противоположных граней образца, отберите из 29 кубиков все те, у которых будет хотя бы одна такая пара сторон. У вас останется 16 кубиков. Переверните образец так, чтобы он был обращен к вам одной из верхних вершин и вам были бы видны только три грани, образующие эту вершину. Среди оставшихся 16 кубиков можно найти два таких, у которых три грани в одной из вершин расположены, как у образца. Эти два кубика отложите в сторону, а образец поверните к себе другой вершиной и найдите опять пару кубиков, имеющих такую же вершину.
В конце концов вы отберете восемь кубиков (по два для каждой верхней вершины образца), которые и будут искомыми. После этого сложить головоломку уже совсем просто.

3. Головоломка «2 х 2 х 2»

Из разноцветных кубиков нужно сложить фигуру размером 2х2х2. В предлагаемых моделях должно выполняться «правило домино», требующее, чтобы соприкасались грани лишь одинакового цвета. Вот эти модели.
1. Левая и правая грани куба окрашены в один цвет, передняя и задняя – в другой. Верхняя грань окрашена третьей краской, а нижняя – четвертой.
2. Две противоположные грани окрашены одинаково, а остальные четыре – четырьмя разными красками.
3. Левая и правая грани окрашены одной краской, передняя и задняя грани – другой. Верх и низ раскрашены всеми четырьмя оставшимися красками (на каждой грани – по четыре квадрата разного цвета).
4. Каждая грань раскрашена четырьмя красками, одними и теми же для всех граней

4. Головоломка «Четыре кубика»

Даны четыре кубика, выкрашенные каждый четырьмя красками (желтый – Ж, зеленый – З, синий – С, красный – К). Нужно уложить их все в ряд так, чтобы каждая сторона получившейся призмы размером 1х4 была образована гранями всех четырех цветов (расположенными в любом порядке). Иногда, вместо того чтобы раскрашивать грани, кубики обклеивают картинками.
Схема раскраски таких кубиков представлена на рисунке 1.

Рис. 1.

Правильно сложить такие кубики – задача, как ни странно, не из легких. Решение можно получить так. Сложить кубики в том порядке, в котором они перечислены, столбиком. При это кубик I должен быть вверху, а кубик IV – внизу. Потом  кубик I следует повернуть против часовой стрелки (если смотреть снизу) на 1/4 оборота, кубик II – на 1/2 оборота, а кубик III – на 3/4 оборота. Заметим, что в исходном положении все кубики обращены желтой стороной вверх, а синей – вправо.

5. Головоломка «Шахматный куб»

Для игры нужны 8 кубиков, окрашенных в два цвета, как показано в приводимых развертках (рис. 2). С этими кубиками можно решить несколько задач.

Рис. 2.

1. Сложить куб 2 х 2 х 2 так, чтобы на всех его шести сторонах цвет кубиков чередовался в шахматном порядке. Если задача окажется сложной, можно первоначально ее упростить: сложить куб так, чтобы цвет кубиков в шахматном порядке чередовался только на пяти видимых сторонах куба (нижняя сторона во внимание не принимается). Построение должно быть, как показано на рис. 3 а.

Рис. 3.

2. Из 8 кубиков сложить две призмы 2 х 2 х 1, в которых верхняя и нижняя стороны, а также четыре боковые грани окрашены в шахматном порядке. Построение должно быть, как показано на рис. 3 б.

3. Из этих же кубиков сложить призму 2 х 2 х 1, в которой верхняя и нижняя стороны, а также четыре боковые грани окрашены в шахматном порядке, и призму 4 х 1, на четырех боковых сторонах которой кубики по цвету чередуются в шахматном порядке. Построение должно быть, как показано на рис. 4 а.

Рис.  4.

4. Собрать 2 призмы 2 х 2 х 1, верхняя и нижняя стороны одного цвета, а боковые – другого. Построение должно быть, как показано на рис. 4 б.

6. Головоломка «Куб-хамелеон»

Для игры нужны 27 кубиков (рис. 5), окрашенных в три цвета (допустим, красный, желтый, синий).

Рис. 5.

Из этих кубиков надо сложить куб 3 х 3 х 3 так, чтобы все его стороны были красными, затем из этих же кубиков сложить куб так, чтобы все его стороны были желтыми, а потом синими (рис. 6).

Рис. 6.

Для выполнения этой задачи надо подсчитать, сколько кубиков имеют три стороны, окрашенных в один и тот же цвет, сколько – две и какие кубики куда поместить при сборке.
Если разложить кубики по группам так, как они расположены на развертках, находить нужные будет легче.
Куб удобнее собирать в четыре приема: сначала верхний слой по горизонтали, потом нижний, средний, а затем объединить их, сложив куб.
Данный набор кубиков позволяет решать множество других, менее трудных задач, основанных на подборе кубиков по цвету. Приведем несколько из них.

1. Сложить три куба 2 х 2 х 2 так, чтобы в одном из них четыре боковых стороны были синими, а верхняя и нижняя – красными; в другом – четыре боковых стороны красными, а верхняя и нижняя – синими; в третьем – четыре боковых стороны желтыми, а верхняя и нижняя – красными (рис. 7).

Рис. 7.

2. Сложить из 9 кубиков призму 3 х 3 х 1 так, чтобы верхняя сторона была красной, нижняя – синей, четыре боковых – желтым (рис. 8 а).

Рис. 8.

3. Сложить из девяти кубков призму 3 х 3 х 1 так, чтобы цвет кубиков со всех сторон располагался в шахматном порядке как показано на рис. 8 б.

4. Из 16 кубиков сложить призму 4 х 4 х 1 так, чтобы по краям кубики были одного цвета, а четыре кубика в центре другого, как показано на рис. 8 в. Цвет кубика с нижней стороны значения не имеет.

7. Головоломка «Чтобы цвет не повторялся»

Из четырех кубиков, стороны которых окрашены в четыре разных цвета (как показано на рис. 9 а-г), предлагается собрать призму, на каждой боковой стороне которой должны быть представлены все четыре цвета (рис. 9 д). Это удается не каждому.

Рис. 9.

Данную задачу можно предложить в упрощенном виде (рис. 10 а): взять 6 кубиков, просверлить в каждом сквозное отверстие  надеть их на круглый стержень. Надо повернуть кубики так, чтобы ни на одной стороне призмы один и тот же цвет не повторялся (как окрасить кубики показано на рис. 10 б).

Рис. 10.

Литература

  1. Андрущенко А.В. Развитие пространственного воображения на уроках математики: 1 – 4 кл.: пособие для учителя. – М.: ВЛАДОС, 2003. – 136 с.
  2. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения: пер. с англ. / под ред. Я.А. Смородинского. – М.: Мир, 1971. – 511 с.
  3. Гарднер М. Математические досуги: пер. с англ. / под ред. Я.А. Смородинского. – М.: Мир, 1972. – 496 с.
  4. Гарднер М. Математические новеллы: пер. с англ. / под ред. Я.А. Смородинского. – М.: Мир, 1974. – 456 с.
  5. Минскин Е.М. Пионерская игротека. – М.: Молодая гвардия, 1987. – 174 с.
  6. Никитин Б.П. Интеллектуальные игры. – М.: Лист Нью, 2004. – 192 с.
  7. Покровская Т.А. Формирование у младших школьников представлений о геометрических фигурах: пособие для учителя начальной школы. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003. – 174 с.
  8. Шуба М.Ю. Занимательные задачи в обучении математике: кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1995. – 222 с.
  9. Яковлева Т.П. Игральные кубики в обучении математике. – М.: Издательство «Спутник+», 2008. – 234 с.

18.10.2014