Олимпиада в Сочи и математика

Разделы: Математика, Внеклассная работа


В феврале 2014 года в Сочи состоялось важнейшее событие в международной спортивной жизни – Зимние Олимпийские игры. Олимпийские игры привлекают к себе пристальное внимание миллионов людей нашей планеты. Под олимпийскими знаменами собираются спортсмены всех континентов, потому что  спорт сближает людей, помогает народам лучше понять и познать друг друга.

Среди учеников 7-го класса был проведен конкурс на составление задач, посвященных Олимпиаде-2014. По окончании конкурса задачи, составленные учениками, были апробированы на тематическом уроке. Наиболее интересные задачи предлагаются вашему вниманию.

Задачи также могут быть использованы при проведении дополнительных уроков по математике (факультативов, кружков).

1. Ребус

Реши ребус: СНЕГ + КРУГ = СПОРТ

2. Ледовая арена

Размеры и форма ледовой арены могут быть какими угодно. Если речь идёт о катке для развлечений и любительского фигурного катания, это может быть круглый каток или прямоугольный — например, 12х24 м. Если ширину этого катка увеличить на а метров, а длину катка на 2а метров, то получим стандартный олимпийский каток площадью 1800 кв. метров. Определите стандартные олимпийские размеры катка.

3. Медальный зачет 

В общем медальном зачете у России:

1) Утроенная сумма золотых и серебряных медалей равняется количеству бронзовых медалей, умноженному на 8;
2) Утроенная разность золотых и серебряных медалей на 3 меньше количества бронзовых медалей;
3) Общее количество золотых и бронзовых медалей равняется удвоенному количеству серебряных медалей.
Найти количество золотых, серебряных и бронзовых медалей завоеванных спортсменами России.

4. Хоккейная команда 

Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников и 10 нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников и трех нападающих?

5. Реакция вратаря 

по хоккею с шайбой Россия – Норвегия.
Нападающий Илья Ковальчук находится на расстоянии 15 метров от капитана сборной Павла Дацюка. Он решил дать пас капитану и, как следует размахнувшись, отправил шайбу со скоростью 108 км/ч. Павел Дацюк за 1,2 сек сумел принять пас и направить шайбу прямо в ворота. Сумеет ли вратарь сборной Норвегии отразить удар, если он, сообразив что случилось,  заблокировал ворота через 1,8 сек?

6. Вероятность забросить шайбу

В команде по хоккею 6 игроков. Известно, что вероятность того, что первый игрок забьет шайбу 30%; вероятность, что второй игрок забьет шайбу 25%; третий забьет шайбу – 40%; четвертый – 35%, пятый – 20% и шестой – 5%. С какой вероятностью команда забьет шайбу в игре?

7. Скорость победы

Американец и русский вышли в финал соревнований по конькобежному спорту. Американец пробежал весь путь со скоростью 39,5 км/ч. Длина пути 10000м. Русский первую половину пути бежал со скоростью 40 км/ч, но на середине пути упал и потерял 15 секунд. С какой минимальной скоростью (с точностью до целых) надо бежать россиянину, чтобы победить в соревнованиях?

8. Бег на коньках

Найти скорость (км/ч) чемпиона олимпиады по конькобежному спорту Роналда Мюлдера, если дистанцию в 500м он преодолел за 34,49 сек. Ответ округлить до сотых.
Ответ: 52,19 км/ч

9. Расшифруй имя

Расшифруй имя советского шорт-трекиста, если полученный результат каждого вычисления соответствует номеру буквы русского алфавита:

               
1 2 3 4 5 6 7 8

10. Великолепная пятерка

Первый пять мест в фигурном катании заняли Аделина Сотникова, Ён А Ким, Каролина Костнер, Грейси Голд, Юлия Лепницкая. Известно, что Липницкой 15 лет, Костнер на 4 года старше Ким, а Сотникова младше Голд на год. Но сумма лет Ким и Костнер равна сумме лет остальных фигуристок. Среднее арифметическое возрастов Сотниковой и Ким равна среднему арифметическому возрастов остальных трех девушек. Определить возраст фигуристок.

11. Шоколадки

Однажды члены сборной России по биатлону сели за круглый стол, чтобы выпить чашку чая и обсудить последние новости. Антон Шипулин принес пакет с шоколадками. Биатлонисты стали брать шоколадки по часовой стрелке так, что первый взял одну шоколадку, второй – 2, третий – 3 и т.д. (несколько кругов). При подсчете оказалось, что на  третьем круге было взято на 200 шоколадок больше, чем на первом. Вскоре к биатлонистам пришел Евгений Плющенко и спросил: «Сколько вас?» Ответьте на его вопрос.

12. Биатлон. Спринт

Биатлон. Спринт, женщины.  Дистанция 7,5 км. Без промахов спортсменка пробежала бы за 22 минуты. Но допустила три промаха и бежала три штрафных круга по 150 м. На сколько процентов увеличилось время преодоления дистанции?

13. Лыжный забег 

В детском саду в лыжном забеге на 100м соревновались Петя и Федя. Петя обогнал Федю на 10м. Федя предложил Пете отойти на 10м от стартовой линии (т.е. на расстояние, на которое Петя обогнал Федю). Кто в итоге обошел и на сколько?

14. Скорости, скорости

Два лыжника стартовали одновременно и первый лыжник финишировал через 24 минуты. Через 6 минут после этого финишировал лыжник, занявший третье место. Найдите разницу в скоростях лыжников, если длина трассы 10 км.

15. Скорость на дистанции

На Олимпийской лыжной дистанции 30 км победила спортсменка из Норвегии. Она прошла дистанцию на 3 минуты быстрее спортсменки из Японии. Скорость норвежки была на 1 км/час больше скорости соперницы. Какова скорость каждой лыжницы?

16. Порядок финиширования 

В лыжной гонке на Олимпиаде участвовали спортсменки Финляндии, Швеции, Норвегии и Польши. Когда в интервью их спросили, кто пришел первый к финишу, полька сказал, что она был первой. Норвежка сказала, что она пришла к финишу позже спортсменки из Швеции, но раньше спортсменки из Финляндии. Финка сказала, что она была раньше спортсменки из Польши. Спортсменка из Швеции сказала, что она был второй. Журналистам стало известно, что утверждение одного из участников ложно. Кто из них солгал и в каком порядке пришли участники к финишу?

17. Прыжки с трамплинов

Сочи два трамплина 105 м и 140 м. За полет на критическую дальность (т.е. на 105 и на 140 м) спортсмен получает 60 баллов на каждом трамплине. Если пролетит больше – прибавляют баллы, если меньше – отнимают. За каждый метр за прыжки от 100 до 169м добавляют 1,8 балла. Результаты прыжков трех спортсменов представлены в таблице.

Спортсмен Дальность полета
Трамплин 105м
Дальность полета
Трамплин 140м
1 Дмитрий 109м 143м
2 Олег 101м 134м
3 Сергей 106м 129м

Сколько баллов получат участники соревнования? В каком порядке придут спортсмены к финишу?

18. Скоростной спуск

Боде Миллер проехал участок «Большая сковорода» олимпийской трассы «Роза Хутор» не очень хорошо: его результат 3 секунды при скорости 120 км/ч, но «Медвежью бровь» проскочил за 4 секунды со скоростью 131км/ч! Потом Миллер подлетел на трамплине и его скорость в течение 1 сек была меньше на 11 км/ч, однако затем он удачно перекантовался и разогнался на 6 км/ч и доехал с полученной скоростью за 2 сек до финиша. Какова его средняя скорость на участке от середины «Большой сковороды» до 1/4 конечного участка? Ответ дать с точностью до десятых.

19. Соревнования по могулу

Майклу Кингсбери на Олимпийских играх по могулу три судьи поставили 24 балла и он занял II место. Из них 6 баллов он получил за скорость и еще 4 балла за прыжки. За технику исполнения второй судья поставил на 1 балл больше, чем первый, а третий судья на 2 балла меньше, чем первый. Сколько баллов поставил каждый судья?

20. Мужской скелетон

15 февраля состоялся финальные заезд, и определились победители в мужском скелетоне. Данные приведены в таблице. Построить интервальный статистический ряд, сгруппировав результаты в интервалы продолжительностью одна минута. Определить моду полученного вариационного ряда.

Место Страна Имя Общее время
1 Россия Александр Третьяков 3:44.29
2 Латвия Мартинс Дукурс 3:45.10
3 США Мэтью Антуан 3:47.26
4 Латвия Томасс Дукурс 3:47.58
5 Россия Сергей Чудинов 3:47.59
6 Россия Никита Трегубов 3:47.62
7 Канада Джон Фейрбейрн 3:48.13
8 Великобритания Кристан Бромли 3:48.17
9 Германия Александр Крокель 3:48.29
10 Великобритания Доминик Парсонс 3:48.36
11 Германия Франк Роммель 3:48.47
12 Япония Хироатсу Такахаси  3:48.74
13 Канада Эрик Нельсон 3:48.77
14 Австрия Маттиас Гюггенбергер   3:49.00
15 США Джон Дейли 3:49.11
16 Южная Корея Сеонгбин Юн 3:49.57
17 Австралия Джон Фэрроу 3:50.67
18 Италия Маурицио Ойоли 3:50.68
19 Австрия Рафаэль Майер 3:50.86
20 Новая Зеландия Бен Сэндфорд    3:51.21

21. Санный спорт

На соревнованиях по санному спорту было разыграно 4 золотых, 4 серебряных и 4 бронзовых медали. В результате оказалось, что количество золотых медалей, завоеванных Германией, равно сумме всех медалей России и Латвии. Количество серебряных медалей Германии и Австрии одинаково. Количество серебряных медалей России совпадает с количеством бронзовых медалей Латвии. Количество бронзовых медалей Италии равно количеству бронзовых медалей США. Других медалей, кроме названных, команды не завоевали. Определить итоги медального зачета и лидера соревнования по санному спорту.

Ответы к задачам:

1. Ребус: 1456 + 9376 = 10832; 1937 + 8627 = 10564. Возможны другие варианты.

2. Ледовая арена: стандартные олимпийские размеры катка  30м х 60м.

3. Медальный зачет:  Россия завоевала 33 медали, из которых 13 золотых, 11 серебряных, 9 бронзовых.

4. Хоккейная команда: 5040 способов.

5. Реакция вратаря: время, затраченное на пас и удар по воротам составит 1,7 сек, что меньше времени реакции вратаря.

6. Вероятность забросить шайбу: команда забросит шайбу с вероятностью 0,84.

7. Скорость победы: россиянин должен бежать со скоростью 41 км/ч.

8. Бег на коньках: скорость чемпиона по конькобежному спорту 52,19 км/ч.

9. Расшифруй имя: Виктор Ан.

10. Великолепная пятерка: Липницкой 15 лет, Сотниковой 17 лет, Голд 18 лет, Ким 23 года, Костнер 27 лет.

11. Шоколадки: чай пили 10 биатлонистов.

12. Биатлон. Спринт: время преодоления дистанции увеличилось на 6%.

13. Лыжный забег: Петя обогнал Федю на 1м.

14. Скорости, скорости: разница в скоростях лыжников составляет 5 км/ч.

15. Скорость на дистанции: скорость норвежки 25 км/ч, скорость японки 24км/ч.

16. Порядок финиширования:  I место заняла спортсменка из Польши, II – из Швеции, III – из Норвегии, IV – из Финляндии. Высказывание финки ложно.

17. Прыжки с трамплинов:

Спортсмен Трамплин 105м Баллы Трамплин 140м Баллы Итого
1 Дмитрий 109м 67,2 143м 65,48 132,68
2 Олег 101м 52,8 134м 49,2 101,4
3 Сергей 106м 61,8 129м 40,2 102,0

Первым будет Дмитрий, вторым – Сергей, третьим – Олег.

18. Скоростной спуск: средняя скорость на искомом участке трассы 126,7 км/ч.

19. Соревнования по могулу: первый судья поставил 5 баллов, второй – 6 баллов, третий – 3 балла.

20. Мужской скелетон:

Временной интервал
[хi, xi+1)
3:44-3:45 3:45-3:46 3:46-3:47 3:47-3:48 3:48-3:49 3:49-3:50 3:50-3:51 3:51-3:52
Количество спортсменов 1 1 0 4 7 3 3 1

Наибольшее количество спортсменов преодолело дистанцию на время  [3:48; 3:49). Этот интервал является модальным интервалом.

21. Санный спорт:

Место Страна Золото Серебро Бронза Всего
1 Германия 4 1 0 5
2 Россия 0 2 0 2
3 Австрия 0 1 0 1
4 Латвия 0 0 2 2
=5 Италия 0 0 1 1
=5 США 0 0 1 1

17.10.2014