Традиционные и нестандартные задачи на построение

Разделы: Математика


Решение олимпиадных задач или задач исследовательского характера служит хорошей подготовкой к будущей научной деятельности, заостряет интеллект учащихся. Но сразу начинать с трудных задач для них – это сложно. Значит, надо брать те задачи, которые им понравились и доступны. Надо научить школьников переносить проблемы в новые ситуации, выявлять круг идей и расширять их, владея определенной техникой построения чертежей и знаниями о свойствах фигур. Учителю надо выработать свой подход  в обучении (технологию или метод) к задачам на построение и формировать универсальные учебные действия.

В данной работе рассмотрим задачи на построение с помощью циркуля и линейки (как известные, так и нестандартные). 

Идея о построении с помощью одного циркуля была выдвинута еще итальянским ученым Джованни Баттиста Бендетти (1530-1590). В 1672 году появилась книга «Euclidus Danicus» датского геометра Георга Мора (1640-1697). В ней он показал, что все задачи, которые сводятся к квадратным уравнениям, можно решить геометрически с помощью одного циркуля. Более чем через 100 лет, в 1797 году, эта задача была вновь поставлена и решена итальянцем Лоренцо Маскерони (1750-1800).

Разумеется, одной линейкой можно проделать не всякое построение, выполнимое циркулем и линейкой. Если же на листе предварительно нарисована окружность и отмечен ее центр, то согласно поразительной теореме Штейнера, все построения, выполнимые циркулем и линейкой, могут быть проделаны одной линейкой.  Однако, всякое построение, выполнимое циркулем и линейкой, можно проделать и  одним циркулем. Известно, что решение задач на построение состоит из четырёх этапов: анализ, построение, доказательство и исследование.  Как решать эти задачи, – советов много. А наш совет – это ответ на вопрос, что надо делать уже после решения задачи? Надо ещё раз подумать над этой задачей, т. е. провести исследование.  Попробовать понять: сколько же решений имеет задача? А также попробовать самостоятельно составить задачу, понять:

  • Какие идеи привели к решению, чем эта задача не похожа на другие?
  • Будет ли задача иметь решение, если какое-то условие убрать или ослабить?
  • Можно ли данные и ответ поменять местами, т. е. верно ли обратное утверждение?
  • Можно ли этот метод обобщить (применить к другим задачам) или вывести какие-то следствия?

Как  учащимся осваивать идеи и методы решения задач на построение?

1) Можно сначала прочитать описание идеи, потом рассмотреть уже разобранные задачи, и затем попытаться решать самому.
2) Можно сразу начать с задач, чтобы самим уловить идею, а уже потом прочитать комментарии и разобрать решение задачи. Ведь идея – это путь к решению, а метод – это алгоритм решения.

Решение каждой геометрической задачи начинается с чертежа, и качество чертежа влияет на успешность решения. Не рекомендуется рисовать заведомо «провокационные» чертежи, т. е. фигура на чертеже не должна «добавлять» новые по сравнению с данными свойства. Чаще всего оказывается более удобным строить чертёж на основе свойств, указанных в условии объектов.

Во всех решаемых задачах на построение мы ограничимся описанием самого построения (или решения). Только интерес и любопытство, удивление и поиск могут заставить ученика задуматься над тем или иным вопросом. Как же порождать творческую активность и пробуждать интерес к математике? Хотя бы иногда решать нестандартные задачи (в том числе и на построение).

Объект исследования: традиционные и нестандартные задачи

Предмет исследования: нестандартные задачи на построение.

Цель: рассмотреть идеи и методы решения некоторых известных и нестандартных задач на построение для развития и формирования УУД у учащихся.

Задачи: научить переносить проблемы в новые ситуации, выявлять круг идей и расширять их, владея уже определенной техникой построения чертежей и знаниями о свойствах фигур;
уметь организовывать работу над задачей на построение олимпиадного или исследовательского характера и осуществлять преемственность при этом.

Методики исследования:

  • теоретические, т.е. изучение источников информации: книг, пособий, газетных и журнальных статей в печатном и электронном видах.
  • практические, т.е. уроки, консультации, семинары, коллоквиумы, факультативы в школе, олимпиады и тестирование.

Решение задач

Выводы: (см. Приложение 1 – проектная работа)

1. Доказано, что множество точек, которые можно построить одной линейкой из четырех рациональных точек, находящихся в общем положении, состоит из всех точек плоскости. Разумеется, нельзя провести циркулем прямую, поэтому все рассматриваемые задачи на построение должны состоять в построении некоторой точки (на плоскости).
Однако, всякое построение, выполнимое циркулем и линейкой, можно проделать одним циркулем.
2. Задачи на построение развивают творческое воображение и УУД у учащихся, которые потом применяются при сдаче экзаменов или в различных проблемных ситуациях.

В заключение хочется сказать, что именно поиск решения задач на построение, их исследование ведут к новым идеям и методам. Мне и моим учащимся, исследователям-энциклопедистам гимназии №5 г. Владикавказа Республики Северная Осетия-Алания тоже нравится решать  задачи на построение. Порой мы долго над ними думаем, задачи становятся громоздкими, обрастают какими-то лишними выкладками. Но блестящая мысль, осенившая вдруг кого-то, решает все проблемы. Решение маленьких математических проблем опирается помимо знаний фактического материала также на сообразительность, природный ум и интуицию. Мысли награждаются мыслями:  и задача бывает решена.

Список литературы:

1) Конель-Белов А.Я., Ковальджи А.К. Как решают нестандартные задачи.– М:МЦНМО, 2008.– 6 с.
2) Фукс Д. Построение одним циркулем // Квант (приложение к №1). – 1998. – 85 с.
3) Михеев Ю. Одной линейкой // Квант (приложение к №1). – 1998. – 79 с.
4) В. Н. Дятлов, Г. В. Дятлов, Ю.А. Дмитриева. Математические этюды  ИИМ, 2008г.

16.10.2014