Урок по теме "Критические точки функции. Необходимое условие экстремума". 10-й класс

Разделы: Математика


Цели урока:

  • ввести понятие критических точек функции, точек экстремума;

  • доказать необходимое условие экстремума;

  • способствовать выработке навыка отыскания экстремумов

  • функции, развитию логического мышления учащихся.

Оборудование: учебник “Алгебра и начала анализа под ред. А.Н. Колмогорова, дидактические материалы для 10-11 классов, таблицы.

Ход урока

I. Оргмомент.

II. Сообщение темы, целей, задач урока.

III. Изучение нового материала.

1. С помощью графика ответить на следующие вопросы:

2. Назвать нули функции (х = -4, х = 0, х = 4);

промежутки знакопостоянства ((-4;0) и (4; +∞) – f (х) > 0); (-∞,-4) и (0;4) - f (х)<0).

3. Промежутки монотонности ((-∞ ;-2] и [2; +∞) – функция возрастает, [-2; 2] – функция убывает)

4. Точки максимума и минимума (х = -2 –точка максимума, f (-2) = 4; х = 2 – точка минимума, f (2) = - 4)

.5. Множество значений функции: (-∞, +∞)

Остановимся подробнее на точках экстремума. Вспомним определение точек максимума и минимума.

По рисункам назвать точки максимума и минимума

Вопрос. Что можно сказать о наличии производной в этих точках и об ее значении?

Гипотеза: в точках экстремума производная равна 0.

Теорема Ферма

Если точка х0 является точкой экстремума функции и в этой точке существует производная f , то она равна нулю, f (х0 ) = 0.

(Доказательство самостоятельно).

Определение критических точек.

Теорема Ферма: х0 – точка экстремума => х0 – критическая точка.

Верно ли обратное утверждение.

Рассмотрим функцию f (х) = х3, f (х) = 3х2, х = 0 – критическая точка, х0 – критическая точка, но не является точкой экстремума.

Вывод: теорема Ферма является лишь необходимым условием для того, чтобы х0 была точкой экстремума для функции f, она дает основание “отобрать” точки, “подозрительные” на экстремум. Утверждать, что в этих точках функция действительно имеет экстремум, нельзя, нужна дополнительная проверка. Какая? Это мы выясним несколько позже.

IV. Закрепление новой темы.

1. Найти критические точки функции:

F(x)=42-x+7x2 G(x)=1+cos x, Q(x)= x-2 sin x

2. Доказать что функция не имеет критических точек

Y= tgx Y=3x-7

3. Работа в парах (карточки)

Найдите максимум и минимум функции:

f(x)= x ³ - 4x ² +5x-1 

f(x)= x ³ - 4x ² +7x+2

4. “Найди ошибку”.

f (х) =

Д (f ) = [0; +∞)

f (х) =

f (х) = 0 при х = 1

f (х) не существует при х = 0, х = -1

х = 1 – критическая точка

х = 0 – критическая точка

х = -1 – критическая точка

V. Информация о домашнем задании.

П. 23; № 290, 291.

Самоанализ урока

в 10 классе по теме “Критические точки функции”

Урок по данной теме занимает место в системе уроков в разделе “Производная и ее применение”.

Тип урока: изучение нового материала.

При планировании учтены реальные учебные возможности учащихся 10 класса.

Урок связан с предыдущими (используются понятия нулей функции, промежутков знакопостоянства, точек максимума и минимума) и изученный материал является необходимым для доказательства необходимым для доказательства достаточного условия экстремума функции.

В ходе проведения занятия осуществлялось единство обучающей, развивающей и воспитывающей функций урока.

Выбранная структура урока соответствует содержанию учебного материала, логично осуществлялся переход от одного этапа к другому. Выделялись главные, существенные, важные понятия: (определение критических точек функции, “чтение графиков”, рассматривалось доказательство теоремы Ферма).

При изучении нового материала ставились проблемы перед учащимися, помогающие активизировать учебно-познавательную деятельность.

С целью контроля знаний учащихся использовались различные методы: устный опрос, карточки индивидуальных заданий с заданиями различного уровня сложности.

Обращалось внимание на развитие познавательных интересов; перед доказательством теоремы Ферма перед учащимися был поставлен проблемный вопрос о значении производной в критической точке функции.

Задание “Найди ошибку” позволяет активизировать мыслительную деятельность, способствует анализу, синтезу, обобщению.

Урок по данной теме достиг поставленных целей, носил обучающий характер, методы обучения соответствовали выбранному типу урока.

3.12.2014