Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»


Презентация к уроку

Загрузить презентацию (339,8 кБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.


Презентация

Презентации представляют некоторую последовательность кадров, содержащих текст, либо рисунок, либо то и другое.

Художник, создающий картину, видит конечную цель своего замысла. Зрители, оценивающие картину, также интересуются конечным результатом. Путь, по которому прошел художник, часто остается тайной даже для искусствоведов.

Учитель, объясняющий новую тему, напротив, заинтересован показать последовательность получения результата, его отдельные шаги, или, если можно так выразиться, «алгоритм» его получения.

Известный математик и астроном Жюль Анри Пуанкаре (1854 – 1912) объяснял свои успехи тем, что он запоминает алгоритмы, а не факты. Запомнить алгоритм, то есть логическую последовательность, проще, чем отдельный факт.

Ученик так же лучше бы понимал алгоритм. Однако учебник часто не содержит всех промежуточных этапов получения решения, особенно это касается построения рисунков. Обычно показывается окончательный рисунок, содержащий много элементов, что не способствует пониманию и запоминанию ее учеником.

Поэтапный или поэлементный показ текста и рисунка в учебнике невозможен. Это привело бы к увеличению его объема.

Существуют программы, дающие учителю возможность создания презентаций, например,

программа Power Point, имеющая богатые возможности для создания кадров и навигации. Однако в этой программе отсутствует возможность поэлементного раскрытия содержания рисунка. Рисунок показывается полностью, либо показывается какая-то его часть, а для того, чтобы последовательно показать изменения рисунка, необходимо создавать новые рисунки и показывать их последовательно, что увеличивает размер программы и требует точного совмещения положений рисунков, так как даже небольшие отклонения приводят к смещению рисунка и затрудняют его восприятие.

Между тем, существует свободно распространяемая система LaTex, включающая пакеты Beamer и Tikz, позволяющая как создавать презентации, так и постепенно показывать рисунок, не изменяя кадр целиком, а добавляя элементы рисунка. Данная возможность особенно важна при показе сложных рисунков, имеющих много элементов. При показе всего рисунка ученику сложно сразу осознать, каким образом и в какой последовательности создавались элементы рисунка, что затрудняет его понимание.

Цель данной презентации состоит в том, чтобы показать возможности, предоставляемые указанными выше пакетами, для создания постепенно раскрываемого содержания кадров (слайдов). Практическое применение подобных презентаций показало их более высокую эффективность в процессе изучения, особенно разделов, требующих рассмотрения достаточно сложных чертежей. К таким разделам относится тема «Признак перпендикулярности прямой и плоскости».

Приведем краткое содержание презентации.

Сначала показывается название презентации (слайд 1). Затем следует эпиграф, на каждом уроке различный (слайды 2, 3), а за ним цель урока (слайды 4–7), раскрываемые на экране последовательно.

  1. Повторить теоретический материал предыдущего урока (слайд 4).
  2. Решить задачу 119 (слайд 5).
  3. Доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости (слайд 6).
  4. Показать применение признака перпендикулярности при решении задач (слайд 7).

Повторение темы «Перпендикулярные прямые».

Вопрос: Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными (слайд 8)?

Ответ: (сначала ответов на вопросы не видно, затем они открываются на этом же слайде и выделены красным цветом)

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов (слайды 9 (ответ) и 10 (рисунок)).

Вопрос: Что утверждает лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой (слайд 11)?

Ответ: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой (слайд 12 (ответ) и 13 (рисунок)).

Вопрос: Какая прямая называется перпендикулярной к плоскости (слайд 14).

Ответ: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости (обозначение aa (слайд 15)). Показывается рисунок (слайд 16).

Вопрос: Какая связь между параллельностью параллельных прямых и их перпендикулярностью к плоскости (слайд 17)?

Ответ: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости (слайд 18 (ответ) и 19 (рисунок)).

Вопрос: Как формулируется обратная теорема (слайд 20)?

Ответ: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны (слайд 21).

Показывается рисунок (слайд 22).

Представьте телеграфные столбы вдоль дороги. Можно ли утверждать, что столбы перпендикулярны к плоскости дороги (слайды 23, 24, 25)?

Нельзя! Как видно на втором рисунке (вид сбоку), левый и правый столбы даже не параллельны (слайд 26).

Далее следует решение подготовительной задачи перед доказательством теоремы.

Решим задачу № 119.

Прямая OA перпендикулярна к плоскости OBC и точка O является серединой отрезка.AD. Докажите, что а) AB=DB; б) AB=AC, если OB=OC; в) OB=OC, если AB=AC (слайд 27).

Решение, (случай а)) (слайд 28). Показывается рисунок (слайд 29). OA OBC по условию (слайд 30), тогда OA OB по определению перпендикулярности прямой к плоскости (слайд 31). OA=OD по условию задачи, поэтому OB – серединный перпендикуляр к AD и поэтому AB=DB (слайд 32).

Решение, (случай б)) (слайд 33). Показывается рисунок (слайд 34). OA OBC по условию (слайд 35), тогд OAOC. Если OB=OC, то ΔAOC = ΔAOB (по двум катетам) и AB=AC (слайд 36).

Решение, (случай в)) (слайд 37). Показывается рисунок (слайд 38). Если AB=AC, то ΔAOC = ΔAOB (по катету и гипотенузе) и OB=OC (слайд 39).

Вопрос: Как же проверить, перпендикулярна данная прямая к данной плоскости или нет (слайд 40)? Ответ дает теорема, выражающая признак перпендикулярности прямой и плоскости (слайд 41).

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости (слайд 42).

Приводится краткая запись условия теоремы и ее заключения (слайды 43 - 46).

Затем показывается (пошагово) доказательство.

Рассмотрим плоскость a (слайд 47), (показывается плоскость a (слайд 48)) и прямую a, a p, a q, где (слайд 49) (показывается прямая a (слайд 50)), p и q – прямые, принадлежащие плоскости a, пересекающиеся в точке O (слайд 51). (Показываются прямые p,q и точка O (слайды 52, 53)).

Пусть m произвольная прямая плоскости a (слайд 54). (Показывается прямая m (слайд 55)). Докажем, что am. Тогда aa (по определению) (слайд 56).

Рассмотрим сначала случай, когда прямая a проходит через точку O (слайд 57). (Показывается прямая a (слайд 58)).

Проведем через точку O прямую l, параллельную m (слайд 59). (Показывается прямая m (слайд 60)).

Отметим на прямой a точки A и B так, чтобы OA=OB (слайд 61). (Показываются точки A и B (слайд 62)).

Проведем в плоскости a прямую, пересекающую прямые p,q и l в точках P, Q, L соответственно (слайд 63). (Показывается данная прямая (слайд 64)).

p и q – срединные перпендикуляры к AB. Поэтому AP=BP (слайд 65), (показываются прямые AP и BP (слайд 66)) AQ=BQ (слайд 67), (показываются прямые AQ и BQ (слайд 68))

ΔAPQ = ΔBPQ по трем сторонам (слайд 69). Тогда угол APQ равен углу BPQ (слайд 70).

Проведем отрезки AL и BL (слайд 71). (Показываются отрезки AL и BL (слайд 72)).

ΔAPL = ΔBPL по двум сторонам и углу между ними. Поэтому AL=BL (слайд 73).

Тогда ΔABL равнобедренный (слайд 74). Его медиана LO является его высотой, то есть la (слайд 75). Так как l параллельна m и la, то по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых третьей ma (слайд 76).

Таким образом, прямая a перпендикулярна к любой прямой m плоскости a, то есть ma (слайд 77).

Пусть теперь прямая a не проходит через точку O (слайд 78). (Показывается прямая, не проходящая через точку O (слайд 79)).

Проведем через точку O прямую a1 параллельную a (слайд 80). (Показывается прямая a1 (слайд 81)).

По лемме a1 p и a1 q, поэтому по доказанному в первом случае a1 a (слайд 82).

Тогда по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к плоскости, следует, aa (слайд 83).

Пример применения признака перпендикулярности.

Задача 128. Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая OM так, что MA=MC, MB=MD. Докажите, что прямая OM перпендикулярна к плоскости параллелограмма (слайд 84). (Показывается рисунок к задаче (слайд 85)).

Решение (слайд 86)

По условию MA=MC и AO=OC по свойству диагоналей параллелограмма (слайд 87). Поэтому MO – медиана равнобедренного треугольника AMC (слайд 88). Следовательно, MO также высота этого треугольника, то есть MOAC (слайд 89).

Аналогично доказывается, что MOBD (слайд 90).

Так как MOAC и MOBD, то MOABCD по признаку перпендикулярности прямой и плоскости (слайд 91).

Далее следует домашнее задание (слайд 92).

Литература (слайд 93):

  1. Till Tantau User Guide to the Beamer Class, Version 3.07. http://latex-beamer.sourceforge.net, September 29, 2011.
  2. Till Tantau The Tikz and PGF Packages, Manual for Version 2.10, http://sourceforge.net/projects/pgf, October, 2010.