Урок алгебры по теме "Решение задач с помощью систем уравнений". 7-й класс

Разделы: Математика


Цели:

  • закрепить знания и умения решения систем уравнений;
  • научить детей решать задачи с помощью составления систем уравнений;
  • использовать задачи из литературных произведений, развитие познавательного интереса при решении задач.

Задачи:

обучающие:

  • сконструировать алгоритм решения задач с помощью систем уравнений;
  • начать отработку навыка составления системы уравнений по условию задачи;
  • показать примеры задач из литературных произведений;
  • формировать умение работать в паре, аргументировать свою позицию;

развивающие:

  • развивать и совершенствовать имеющиеся знания в новой ситуации;
  • продолжить работу над математической речью;
  • учить анализировать, делать выводы и рефлексию;

воспитательные:

  • воспитывать математическую грамотность, навыки контроля и самоконтроля.

Тип урока: комбинированный;

Формы работы: фронтальная, парная работа;

Методы обучения:

  • словесные (беседа, объяснение);
  • наглядные (презентация к уроку);
  • проблемные (организация поисковых действий нового способа решения задач и выработка его алгоритма);
  • практические (самостоятельная работа, организация сотрудничества в паре, подбор заданий для работы на уроке из литературных произведений);

Используемые технологии: обучение в паре, ИКТ, интеграция;

Наглядные пособия и оборудование: презентация, раздаточный материал, медиа проектор

ХОД УРОКА

1. Подготовка к восприятию материала (проверка опорных знаний)(10 мин)

Учитель, используя медиа проектор, восстанавливает изученную ранее тему. Детям задаются вопросы

А) Вопросы

Посмотрите на экран, какой математический объект вы видите? (Слайд 3)

Что является решением системы уравнений? Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными? Как это проверить? (Презентация. Слайд 4)

Какие способы решения систем уравнений вы знаете? (Слайд 5)

Данная система уравнений совместна и определена. Объясните почему?

Давайте вспомним суть применения каждого способа?на примере данной системы.

Б) Самостоятельная работа в парах:

1) Решить данную систему:

1 вариант        2 вариант            3 вариант

Граф.способ       подстановки            сложения

(на доске)

2) Составить математическую модель предложения (линейное уравнение с двумя переменными): (Слайд 6)

1. Мальчиков и девочек в классе 8 человек.

2. Учителей в классе на 3 человека меньше чем учеников.

3. Птиц на ветке (х) втрое больше чем под деревом(у).

4. В коробке лежат старинные трехрублевые и пятирублевые купюры, в сумме 50 рублей.

5. 60% одного числа равны 30 % другого.

6. За 1,5 часа по течению катер проплыл 60 км. (х-собственная скорость катера, у- скорость течения)

3) Доп. задания (Приложение 4).

Проверка фронтально с помощью презентации и решения на доске. Оценки ученики выставляют сами в оценочный лист. (Приложение 3)

Система уравнений не только позволяет установить общие корни уравнений, содержащихся в ней, но и становится хорошим помощником при решении задач. В таких задачах неизвестных компонентов более одного и они связаны друг с другом условием. Сегодня мы рассмотрим задачи, в которых неизвестно два каких либо элемента и будем учиться решать такие задачи с помощью составления системы уравнений. Тексты нескольких задач будем брать из литературных произведений.(Слайд 7)

В)Вспомним домашнюю задачу. (Слайд 8) (5 мин)

Вопросы:

-Из какого произведения задача?

-Кто Автор?

-Назовите героев рассказа?(купец Удодов, его сын Петя, семиклассник Зиберов Егор Александрович) -Кто из вас лучше справился с задачей, чем Зиберов?)

-Какими способами решали задачу?

В те времена, когда происходили описываемые в рассказе события, задачи принято было делить на арифметические и алгебраические.

Отец Удодов решил ее на счетах ("по-неученому"),т.е. арифметически, используя только действия с числами (Слайд 9)

-Назовите этапы математического моделирования при решении задач с помощью уравнений.

(Слайд 10)

-Какова мат.модель?

Сегодня решим эту задачу третьим способом, составляя изученную нами модель - систему.

Дети записывают в тетрадях число, тему урока (Слайд 11)

Как думаете какай этап мат. моделирования изменится? Попробуйте сформулировать алгоритм.

(Слайд 11)

Алгоритм:

Обозначить некоторые неизвестные буквами и, используя условие?задачи, составить систему?уравнений.

Решить эту систему.

Истолковать результат в соответствии с условием задачи.

2. Изучение новой темы.

А) Задача Зиберова:

Решаем на доске и в тетрадях (таблицы заготовлены заранее (Приложение 2))

(условие в виде таблицы)

-Сколько неизвестных в задаче Зиберова?

-Введем буквенные обозначения.

-Какими условиями они связаны.

1 этап. Пусть куплено х аршин черного сукна, у аршин - синего,

  Цена

(руб.)

Кол-во

(аршин)

Сумма

(руб.)

Черное сукно 3 х
Синее сукно 5 у
    Всего 138 Всего 540

х + у=138,

2 этап.

1 ученик решает у доски, остальные в тетради.

3 этап

Ответ:75 аршин черного,63 аршина синего.

Учитель выключает медиа проектор.

Б)Задача 1

Задачи напечатаны на листах (см. Приложение 2)

- Рассмотрим для примера такую задачу.

(условие в виде текста)

Я знаю, что в классе 20 учеников. Среди них есть девочки и мальчики.? А еще я знаю, что девочек больше чем мальчиков на 4 человека. Сколько мальчиков и девочек в этом классе?

Ответ можно узнать двумя способами: 1) просто пересчитать; 2) решить такую задачу:

y - количество мальчиков

Т.к. мальчиков и девочек вместе - 20. Получим уравнение: х + у = 20

С другой стороны девочек больше чем мальчиков на 4

Значит можно получить следующее уравнение х - у = 4Объединим оба эти уравнения в систему, т.к в каждом уравнении речь идет об одних и те же детях., получим:

Далее дети самостоятельно решают систему уравнений

Ответ: В классе 8 мальчиков и 12 девочек

3. Самостоятельная работа в парах.

У вас на партах лежат карточки, на них условия задач.

Задача 2

1) 2) В автопарке много машин. Среди них есть машины марок - "ауди" и "опель". Известно, что всего в автопарке -9 "ауди", а "опель" на 5 машин больше, чем "ауди". Сколько машин "ауди" и "опель" в автопарке ?

Решение:

Ответ: В автопарке 2 белых медведя и 7 бурых медведей.

2) В зоопарке живет много разных животных. Среди них есть лисы - черные и рыжие. Известно, что всего в зоопарке живет 7 лис, а черных на 3 лисы меньше, чем рыжих. Сколько черных и рыжих лис живет в зоопарке?

Решение

Ответ: В зоопарке 5 рыжих лисиц и 2 черные лисицы.

После того как дети самостоятельно составили систему уравнений - проверка. Решать эти системы устно.

Учитель включает медиа проектор.

4. Решение задач повышенного уровня сложности.

А) Задача из сказки "Тысяча и одна ночь".

Составьте систему к решению задачи из сказки №458 "Тысяча и одна ночь".

Мудрец задает юной деве задачу:

?Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветвях, а другие расположились под деревом. Сидевшие на ветвях голуби говорят расположившимся внизу: Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам,то нас с вами стало бы поровну". Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом??

Вопросы:

-Сколько неизвестных? Обозначим их буквами.- Сколько условий? Составим 2 таблицы.

-Какие величины? Заполняем таблицы. (заранее приготовленные, см. Приложение)

  Было изменение стало
На ветках х +1 Х+1
Под деревом у -1 У-1
Поскольку под деревом стало в 3 раза меньше, чем всех, то 3(у-1)=х+у
  Было изменение стало
На ветках Х -1 Х-1
Под деревом у +1 У+1
Поскольку стало поровну, то х-1=у+1

3 (у-1)=х+у

Х-1=у+1

Решают эту систему ученики дома.

Ответ: 7 голубей на дереве, 5 под деревом.

Б) Задачи "сумасшедшего математика"

Попробуйте решить такие задачи? Разрешимы ли они?

В) Задача на размен по мотивам Ильфа и Петрова.

(при наличии времени)

"Потом отец Федор подошел к комоду и вынул из конфетной коробки 50 рублей трехрублевками и пятирублевками. В коробке оставалось еще 20 рублей".

Напрашивается вопрос: сколько трех- и пятирублевок отец Федор взял и сколько оставил? А для единственности решения, добавим условие: отец Федор взял с собой большую часть трехрублевок и большую часть пятирублевок. Найдите решение.

Решение:

а) Пусть x - взято трехрублевок, аy- взято пятирублевок. Тогда составим уравнение: 3x+5y=50. Найдем пары решений: (5 и 7), (10 и 4), (15 и 1).

б) Пусть а - осталось трехрублевок, иb- осталось пятирублевок. Составим уравнение: 3а+5b=20. Найдем пары решений: (5 и 1), (0 и 4).

Ответ: Путем анализа результатов получаем:?5 трехрублевок и 7 пятирублевок или 10??трехрублевок и 4 пятирублевок взял отец Федор.

Любая книга откроет свои тайны тому человеку, кто умеет сам добывать знания и отвечать на интересующие его вопросы. Грамотное использование математических фактов делает художественное произведение достоверным и реальным!

5. Подведение итогов урока, выставление оценок.

- Итак, подведем итоги. Какая сегодня у нас была тема урока?

- Что нового вы узнали, чему научились?

- Остались ли у вас вопросы, на которые учитель должен будет ответить на следующем уроке?

6. Домашнее задание

  1. Решить задачу 1 графическим способом.
  2. Составить и решить задачу, в которой вы можете узнать возраст своих родителей, с помощью системы уравнений.
  3. Творческое задание. Найдите задачи из произведений! Решите их. Проиллюстрируйте.

Приложение 1.

Приложение 2.

Приложение 3.

Приложение 4.

30.07.2014