Сумма геометрической прогрессии

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»


Презентация к уроку

Загрузить презентацию (278,8 кБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.


Слайд №1

Цель: выявить принципы выдачи кредитов банками различным фирмам и установить, как система банков может значительно увеличить возможности кредитования фирм?

Слайд №2

Задачи:

  • Образовательные:
    • отработать навыки применения формул суммы геометрической прогрессии и формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии;
    • обеспечение восприятия, осмысления и первичного запоминания способов действий и связей в экономике.
  • Воспитательные: прививать интерес к предмету и  усвоение принципов саморегуляции и сотрудничества.
  • Развивающие: развить познавательную активность учащихся, продолжить формирование целостной системы ведущих знаний по теме курса; выявление внутрипредметных и межкурсовых связей.

1. Оргмомент

Учитель: Тема сегодняшнего урока: «Сумма геометрической прогрессии», назвала я урок «Зачем нужна прогрессия банкирам? Интересно…». Геометрическая прогрессия имеет широкое приложение в экономике. С ее помощью банк производит расчеты с вкладчиком, решает, стоит ли вкладывать деньги в крупные проекты, доход от которых будет получен через несколько лет и т.д. Цель нашего урока ответить на вопрос: как банки дают кредиты различным фирмам, и как система банков может значительно увеличить возможности кредитования фирм?
Чтобы дать ответ и достигнуть нашей цели, вам надо будет: вспомнить формулы, связанные с геометрической прогрессией, узнать о банковской системе России, понять новые для Вас экономические термины, построить правильную математическую модель. Для того чтобы урок прошел интересней и эффективней, представим что вы – молодые служащие банка.
Станем на первую ступеньку нашего пути к поставленной цели. Вспомним формулы, которые мы изучили на предыдущих уроках, связанных с ГП. Перед вами таблица, в левом столбце формулы. Но не все из них действительно существуют. В вашем распоряжении 2 минуты.

Слайд №3, слайд №4.

Ученик проговаривает ответы.

2. Подготовка к основному этапу урока

Переходим на 2 ступеньку.

Структура банковской системы России:

Слайд №5

Дело в том, что Центральный Банк России руководит работой всеми коммерческими банками, которые принимают деньги у населения, фирм, объединений и выдают кредиты. По закону о банках каждый коммерческий банк обязан часть поступающих к нему денег хранить в ЦБ, который ими распоряжается. Это обязательные резервы банка. Они устанавливаются как определенный процент от суммы вклада, поступающего в банк. Остальными деньгами – свободными резервами So банк распоряжается самостоятельно. Слайд №6.
Теперь, используя эти понятия, запишите величины обязательных и свободных резервов в общем виде, т.е. вам надо записать формулы, которыми мы сегодня будем пользоваться для нахождения обязательных и свободных резервов.

Слайды №7, 8.

Слайд №9. Решим простую задачу:

Я внесла в коммерческий банк 400000 рублей, а процентная ставка обязательных резервов установлена на уровне Р =15%. Найдем обязательные и свободные резервы от этой суммы.

Ученики решают самостоятельно задачу, затем идет взаимопроверка и проверка учителем.

Решение: Р = 4 00000 * 0,15 = 60000 рублей. Слайд №10.

Учитель задает вопросы для закрепления первичных понятий и установления правильности их осознания.

– От чего зависят величины свободных и обязательных резервов и может ли влиять ЦБ на размер кредитов  с предоставляемых банками?
Существует прямая зависимость величины свободных резервов от суммы вклада в банк, а каждый банк может выдать кредитов на сумму, не превышающую величины его свободных резервов. ЦБ может активно влиять на величину кредитов, предоставляемых коммерческими банками.

Учитель. Существует ли прямая зависимость величины СВР от S вклада. Как ЦБ влияет на величину кредитов.

3. Этап  усвоения новых знаний и способов действий

Учитель. Молодцы! Мы прошли 3-4 ступеньки – узнали новые экономические термины, выразили математическими формулами, и ответили на один из вопросов – какой?
Теперь рассмотрим систему, состоящую из  перечисленных банков.
Пусть процентная ставка обязательного резерва 20%, и в первый банк внесен вклад, равный 500000 рублей. Сделаем упрощающее предположение: банк все свои свободные резервы целиком выдает в кредит только одному клиенту. Слайд №11.
Ребята производят расчёты: 20% от суммы, полученной Сбербанком, составляют обязательные резервы 500000 * 0,2 = 100000(руб.), которые перечисляются в Центральный банк. Свои свободные резервы в размере 500000 – 100000 = 400000 (руб.) банк выдаёт клиенту.
Слайд №12.
На эти деньги заёмщик приобретает у некоторой фирмы товары. Полученные  400000 рублей фирма переводит в обслуживающий её Мончебанк. Итак, составим схему. Слайд №13.
В результате проделанных операций Мончебанк получил вклад 4000000 рублей и с этими деньгами производит такие же банковские операции.
Сделаем сводную таблицу. Слайды №14, 15.
Вычисляем суммарный объем кредитов, выданных рассматриваемой системой банков. Полученная сумма равна 1344640 рублей.

Учитель: Как можно ускорить операцию подсчета суммы выданных кредитов?

Ученик: Свободные резервы банков образуют последовательность

400000*0,8=320000;
320000*0,8=400000*(0,8)2 = 256000;
256000*0,8=400000*(0,8)3 = 204800;
204800*0,8= 400000*(0,8)4 = 163840, т.е. первые пять членов геометрической прогрессии с первым членом 400000 и знаменателем 0,8. Воспользуемся формулой суммы конечного числа первых членов геометрической прогрессии. Слайд №16. Слайд №17. Слайд №18.
Полученная сумма кредитов оказалась в 1344600 ÷ 400000 ~ 3,36 раза больше той суммы, которую мог предоставить один банк. Слайд №19.
Возникает у молодого, богатого финансиста вопрос: «Что, если я буду и дальше увеличивать число банков в своей системе?» Ясно, что суммарная величина кредитов будет при этом возрастать. Выясним характер этого возрастания Слайд №20.
Из этого представления видно, что с увеличением n величина Sn, возрастая, будет оставаться меньше 2000000 и по мере возрастания n будет к нему приближаться, никогда не достигнет 2000000.

4. Этап первичной проверки понимания.

Ученики вычисляют.

– Вычислите теперь Sn при n = 7, n = 10, n = 20, n = 30, n = 40.
Вы видите, что чем больше число n, тем меньше величина суммы кредитов отличается от 2000000.
Запишем этот результат на случай произвольных значений b1 и q.

Ученик. Проговаривает формулу вслух, остальные записывают.

Слайд №21.

– Цель почти достигнута. Мы преодолели еще две ступеньки, и осталось ответить на вопрос: «Что получится, когда количество банков в системе будет увеличиваться неограниченно?»

5. Этап  закрепления знаний и способов действий

– Конечно, в конкретной банковской системе так не бывает, но математические методы тем и сильны, что с их помощью можно рассматривать предельные возможности, которые не реализуются ни при каком значении n, то есть можно заглянуть туда, где бессилен любой опыт. – Как называется геометрическая прогрессия при неограниченном увеличении n  и | q | < 1

Ученик: Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Учитель. Чему равна ее сумма?

Ученик проговаривает формулу для нахождения суммы членов бесконечно убывающей прогрессии.

Учитель.  Экономический смысл этой формулы в том, что при фиксированных значениях b1 и q она указывает границу предельных возможностей системы банков. Сколько бы банков мы в нее не включали, выдать кредитов на сумму равную или большую числа S = b1 ÷ (1 – q)  не возможно. Слайд №22.
Множитель Мю экономисты называют мультипликатором. В нашей задаче мультипликатор показывает: во сколько раз увеличивается величина первоначального кредита при рассмотрении бесконечной системой банков.

6. Этап обобщения и систематизации знаний

Учитель: Молодцы. Мы увидели, каким образом, приобретенные в школе знания по математике могут быть использованы для решения очень важных задач современной экономике. В Вашей личной жизненной практике ГП ее сумма встречаются очень часто. Они имеют глубокий экономический смысл. Более того, решая задачу о нахождении суммы n членов ГП, мы фактически нашли возможности суммарного кредитования.

7. Этап подведения итогов урока

Учитель дает учащимся информацию о коллективных и индивидуальных отметках за урок.

8. Этап информации о домашнем задании

 

Используемая литература

1. Е.В. Инютина (Москва), А.С. Симонов (Тула) / журнал «Математика в школе». – 2001. – с.17-21.