До и после радиана

I. Проблемы и причины их появления

Основная задача учителя – научить ученика мыслить, выполняя ФГОС. Земля освещается солнцем, а человек - знаниями. «Знания – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит», - Абу Райхан Беруни.

Ближайшая задача выпускника – сдача ЕГЭ. «Изучение тригонометрии не для «средних умов», к тому же это скучное и никому не нужное время провождение. Нет расчёта её учить, так как в тестах ЕГЭ предлагается только одно уравнение на 2 балла», - считают выпускники. Высказывая своё мнение о ЕГЭ, они влияют на сверстников. Постараемся учесть реальную ситуацию обучения в школе.

Главный просчёт системы обучения в том, что тесты ЕГЭ не извлечены из ФГОС. Отведённые 4 часа экзамена уходит только на написание решения (попробуйте переписать готовую 100 бальную работу за 4 часа, предварительно просмотрев весь тест). Когда все устремлены к одной цели, то и финал прекрасный получится, то и знания будут хорошие. А пока, ЕГЭ не является в глазах людей носителем правды, а остаётся «прехитрым» созданием, которое надо уметь расположить в свою пользу, «угодить», чтобы снискать благополучие. Сейчас это - протез совести.

Потребность тригонометрии и её производная, мотивация, - основные причины, отвечающие целям и интересам успешного изучения учебного материала. Исходным является языковая проблема формального математического языка - отсутствие понимания математической однозначности знака, символа и т. д.. Курс тригонометрии по крупицам разбросан с 1 по 9 класс и не способствует развитию мышлнения школьника. Ученик знает, «что, где и когда» изучаемое будет очень существенно и принципиально важно, но это «далёкое далёко» не мотивирует в данный момент его на действия. Перенос предметов алгебра и геометрия из 6 класса в 7 снизил интерес изучаемого материала (изменился возраст). В программе за 7 класс написано: «уметь изображать числа точками на координатной прямой» и не написано для окружности, «выполнять расчёты по формулам» с акцентом на формулы окружности и круга (необходимо), присовокупив деление окружности на 12; 6; 4; 8; 2 части, с подписыванием длин дуг, когда R=1. Периодические функции в основной школе не изучаются, и выпускники 9 классов не получают знаний по данной теме в полном обьёме. На изучение тригонометрии в 10 классе отведено 56% часов учебной программы. Учитывая ценность тригонометрии, следует задание С1 оценивать 4 баллами. Во всём надо знать меру. Своими действиями мы демонстрируем школьникам ненужность тригонометрии. Между тем, Томас Пейн в своей книге «Век разума» (1794) назвал тригонометрию «душой науки».

II. Причина появления тригонометрии

 Фрактал – это то, о чём много людей говорят в наши дни. Фрактал – это фигура, определённая часть которой повторяется, изменённая в размерах, отсюда следует принцип самоподобия. Части фракталов подобны всей фигуре. Математика изучает формы природы, в которой действует единые законы меры. Одной из причин появления тригонометрии является «…неспособность описать форму облаков, гор или деревьев. Облака - это не сферы, горы - не углы», - писал основатель теории фракталов Бенуа Мандельброт. Посредством уравнений и теорем решается проблема описания криволинейных поверхностей и линий.

III. Коррекция кривизны

a) Углы на пальцах

Посмотрите на ладонь. Что мы видим? Если считать пальцы прямыми и принять их за лучи, исходящими из бугра Луны ладони, то можно считать, что они образуют углы в 0°; 30°; 45°; 60°; 90°. Направление мизинца соответствует началу отсчёта углов, а большой палец – 90°.

b) Горы – не углы, но …

Посмотрим на гору с математической точки зрения. Что мы видим?

Если принять искривлённые границы горы за прямые линии, то наклон горы с основанием образует угол. Синус в переводе на русский язык означает кривизна, изгиб и sinα = . Здесь завязано отношение противолежащего катета к гипотенузе, а прямоугольный треугольник, построив по определённому отношению катета к гипотенузе, мы получим требуемый угол. Горы и лестницы бывают крутыми и пологими, а это зависит от угла.

c) Архитектура из деталей по форме костей человеческого тела

В основном здания имеют форму геометрических тел. Общим, для всех творений Антонио Гауди, стало обожествление природы, в которой всё находится в гармонии. Глазами архитектора смотрел Гауди на человеческое тело, которое состоит из многих анатомических деталей без острых углов и вносил их в архитектуру. Он ненавидел углы и чёткие прямые пространства геометрической формы. Считал, что прямую линию создал человек, кривую линию преподнесла природа, а круг – бог. Кривизна поверхности определяется уравнением z = k x sin . Изменяя всего несколько коэффициентов в уравнении, можно добиваться практически бесконечных вариантов исходного изображения.

d) Мерный ритм

Стало возможным запись ритмов биения сердца и колебания земли.

Кардиограмма Сейсмограмма

IV. До и после радиана

Л. Эйлер создал тригонометрию как науку о функциях. Ему принадлежит мысль рассматривать тригонометрические функции, как отношения соответствующих отрезков к радиусу круга, то есть как числа, как допустимые отрицательные углы и углы, большие 360°.

В определении функций устанавливается соответствие между числами с опорой на наглядные образы. Присутствует строгая формализация рассуждений при введении единицы измерения длины в 1 радиан, что нельзя сказать про обычные единицы измерения длины. Сам термин «радиан» появился в 18 веке. Радианная мера угла имеет то преимущество перед привычным измерением углов в градусах, что является естественной.

1. Главные рычаги

a) Отношение длины подъёма к длине пути: NM : AN = BC : AB = sinA.

Введём единицу измерения: 360°:2π = 57,3° = 1rad.

b) Отношение длины дуги к длине радиуса: ᴗCD:ᴗAB = R:r, ᴗCD:R=ᴗAB:r.

c) Надо выбрать меру. Такой мерой должен быть R и его следует принять за 1.

d) Если разрезать красную окружность в точке А и растянуть, то получится отрзок АВ = C, где С - длина окружности. Диаметр откладывается 3 с лишним раза.

2. Длина окружности

Если R = 1, то С = 2π. Половина окружности будет π, четверть - , а три четвёртых - π. Отсюда, C = πD, где D = 2R. Заменяем запоминание пониманием, это позволит проще осмыслить форму записи длины окружности в радианах.

3. Длина n окружностей

Точка, пробегая по окружности n раз, совершает путь длиной 2πRn, n Є Z и R=1, при этом повторяется мерный ритм, длиной 2π. Числовая прямая будет равна n числовым окружностям 2πRn, где R=1, т.е. (-∞;∞) = 2πn,где n Є Z.

V. Уравнение периодических функций и их графики

 Возьмём на координатной плоскости точку В (х;у) и построим ∆ОВС. Проведём окружность с центром в точке О и радиусом ОВ = 1. Так как точка В лежит и на окружности, то получим В(t), где t-величина ᴗ ВК равна величине ﮮ ВОС в радианах. По определению синуса и косинуса имеем sint =  , cost = . Отношение катетов к гипотенузе зависят от величины острого угла t. При R=1 имее: sint = BC = y, cost = ОС = x, т.е. х = cost; у = sint. Аргумент t, tєR. Перейдём к привычной записи: у = cosх; у = sinх, хєR.

1. График периодической функции y = sinx, хєR

2. Узкие места при решении уравнений

1. Нахождение координат точки окружности, принадлежащей координатной плоскости.
2. Ориентация деления окружности на 2; 4; 6; 8 и 12 равных частей. Оценка цены деления.
3. Отбор решений на промежутке.

VI. Программа моделирования по созданию стержня знаний с акцентами

«Когда людей будут учить не тому, что они должны думать, а тому как они должны думать, то тогда исчезнут всякие недоразумения», - Г.Лихтенберг.

Приложение