Урок геометрии по теме "Теорема Вариньона. Решение задач". 8-й класс

Цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.

Задачи:

1. Изучить теоретический материал: понятия «параллелограмм Вариньона», бимедианы четырехугольника, разобрать доказательство теоремы Вариньона и следствия из нее.
2. Сравнить количество времени, необходимое для решения задач традиционным способом и, используя теорему Вариньона.
3. Показать решение олимпиадных заданий с помощью параллелограмма Вариньона.

Ход урока

Введение

В 21 век, в век информационных технологий, главным ресурсом является время. Тысячи людей желают посещать тренинги, семинары и лекции по тайм-менеджменту, где бы их научили, как рационально, с минимальными потерями и максимальной пользой использовать свое время. Большую часть времени у ученика занимает обучение в школе и приготовление домашнего задания. Одним из самых сложных предметов в школе является геометрия. В частности, задачи на доказательство требуют значительной траты времени, поэтому у многих отсутствует интерес к решению подобных заданий. В теме «Четырехугольники» эту проблему может решить использование теоремы Вариньона.

Пьер Вариньон – французский математик и механик 18 века, который первым доказал, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Эта теорема вызвала интерес у отечественных ученых лишь в 20 веке. Подробно ее применение показал украинский геометр – Г.Б.Филипповский и кандидат физико-математических наук, доцент МГУ В.В. Вавилов. В школе теорема Вариньона не входит в курс программы, но считаю изучение её необходимым.

1. Теоретическая часть

Вариньон Пьер [1] (1654–1722)

Пьер Вариньон родился во Франции в 1654 году. Обучался в иезуитском коллеже и университете в Кане, где стал магистром в 1682 году. Вариньон готовился к религиозной деятельности, но, изучая сочинения Эвклида и  Декарта, увлекся математикой и механикой. Труды Вариньона посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике и физике. Вариньон был одним из первых ученых, ознакомивших Францию с анализом бесконечно малых. В конце 17 и начале 18 в. Вариньон руководил «Журналом ученых», в котором помещали свои работы по исчислению бесконечно малых братья Бернулли. В геометрии Вариньон изучал различные специальные кривые, в частности ввел термин «логарифмическая спираль». Главные заслуги Вариньона относятся к теоретической механике, а именно к геометрической статике. В 1687 Вариньон представил в Парижскую АН сочинение «Проект новой механики...», в котором сформулировал закон параллелограмма сил. В 1725 в Париже был издан трактат Вариньона «Новая механика или статика», представляющий собой систематическое изложение учения о сложении и разложении сил, о моментах сил и правилах оперирования ими, почти без изменений сохранившееся в учебниках статики до нашего времени. Написал учебник по элементарной геометрии (издан в 1731).

Теорема Вариньона [2]

Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

Дано: ABCD – выпуклый четырехугольник AK=KB; BL=LC; CM=MD; AN=ND Доказать: 1) KLMN – параллелограмм; 2) SKLMN= SABCD/2

Доказательство:

1. Рассмотрим одну из сторон четырехугольника KLMN, например KL. KL – средняя линия треугольника ABC (по определению),следовательно, KL║AC. Аналогично, так как MN – средняя линия треугольника ADC,то MN║AC. Так как KL║AC и MN║AC следовательно, KL║NM и KL=MN=AC/2. Таким образом, KLMN – параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника.
2. Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника,
3. т.е. S_KBL = S_ABC/4, S_MDN=S_ADS/4. Следовательно, S₁+S₃=S_ABCD /4. Аналогично, S₂+S₄=S_ABCD/4. Следовательно, S₁+S₃ + S₂+S₄ = S_ABCD /4 + S_ABCD/4 = S_ABCD/2.

Т.е., SKLMN = S_ABCD/2. Что и требовалось доказать.

Определение. Бимедианы четырехугольниках [3] – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон (диагонали параллелограмма Вариньона)

Следствия из теоремы Вариньона

Следствие 1

Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны 2) бимедианы перпендикулярны.

Дано: ABCD – четырехугольник; KLMN – параллелограмм Вариньона; AC=BD Доказать: KLMN – ромб

Доказательство:

Так как AC=BD (диагонали исходного четырехугольника равны по условию), то стороны параллелограмма Вариньона будут равны KL=LM=MN=NK (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм c равными сторонами является ромбом.

2)

Дано: ABCD – четырехугольник; KLMN – параллелограмм Вариньона; KM и LN перпендикулярны Доказать: KLMN – ромб

Доказательство:

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба).

Что и требовалось доказать.

Следствие 2

Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: 1) диагонали перпендикулярны; 2) бимедианы равны

1)

Дано: четырехугольник ABCD;  KLMN – параллелограмм Вариньона; диагонали AC и BD – перпендикулярны Доказать: KLMN – прямоугольник

Доказательство:

 Так как диагонали AC и BD – перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

2)

Дано: четырехугольник ABCD;  KLMN – параллелограмм Вариньона; бимедианы KM и LN – равны Доказать: KLMN – прямоугольник

Доказательство:

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).

Что и требовалось доказать.

Следствие 3

Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны и перпендикулярны;  2) бимедианы равны и перпендикулярны

1)

Дано: четырехугольник ABCD; KLMN – параллелограмм Вариньона; диагонали AC и BD – перпендикулярны; AC=BD Доказать: KLMN – квадрат

Доказательство:

Так как диагонали исходного четырехугольника AC и BD равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является квадратом.

Дано: четырехугольник ABCD;  KLMN – параллелограмм Вариньона; бимедианы KM и LN – перпендикулярны; KM=LN Доказать: KLMN – квадрат

Доказательство:

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата).

Что и требовалось доказать.

2. Практическая часть. Решение задач.

Задача 1 [4]

Докажите, что а) середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, б) середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Доказательство:

а) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1);

Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1).

б) диагонали ромба перпендикулярны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 2);

Стороны ромба равны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 2).

Задача 2

У четырехугольника диагонали равны aи b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Решение:

Периметр параллелограмма Вариньона равен a+b.

Задача 3

Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

См. теорему Вариньона.

Задача 4

Докажите, что средние линии четырехугольника делятся точкой пересечения пополам.

Доказательство:

Т.к. средние линии четырехугольника являются диагоналями параллелограмма Вариньона, то точка пересечения делит их пополам.

Олимпиадные задачи

1. Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий [5]. 

Дано: ABCD – четырехугольник; AC = BD Доказать: SABCD= KM*LN

Доказательство:

Так как диагонали AC = BD, параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Что и требовалось доказать.

2. Докажите, что суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны [6].

Доказательство:

Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника.

Получаем: S_BKL + S_DMN = (S_ABC + S_ADC)/4 = S_ABCD/4 = (S_ABD + S_CBD)/4 = S_AKN+S_CLM

Что и требовалось доказать.

Заключение

«Нет ничего нового под солнцем, но есть кое-что старое, чего мы не знаем», – сказал американский литератор Лоренс Питер.

Пьер Вариньон жил в 18 веке, но теорема Вариньона как нельзя актуальна именно в наши дни, когда чтобы всё успеть, необходимо гораздо больше, чем 24 часа в сутки.

Поэтому была поставлена цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.

Для этого был разобран весь теоретический материал, решены задачи базового уровня, а также повышенной сложности (олимпиадные). Было подсчитано, что на решение задачи традиционным способом затрачивается 15-20 минут, а зная теорему Вариньона и следствия из нее, доказательство сводится к одному-двум предложениям и занимает 1-2 минуты. При этом экономия времени на доказательство в среднем составляет 15 минут. Таким образом, уже даже решение трех задач добавит дополнительные сорок пять минут (т.е. целый урок) на доказательство других, более сложных.

От этого повышается не только интерес к изучению данного предмета, но и сам процесс работы приносит удовлетворение. Цель работы считаю достигнутой.

Список литературы:

1. Интернет-ресурсы ru.wikipedia.org/wiki/Вариньон,_Пьер
2. Филипповский Г. Б. Параллелограмм Вариньона решает задачи //Математика в школе № 4 – 2006, стр. 45–50
3. В. Вавилов, П. Красников. Бимедианы четырехугольника//Математика. 2006 – №22.
4. Геометрия: Учебник для 7 – 9 кл. общеобразовательных учреждений /Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др, – М.: Просвещение, 2008.
5. Геометрия: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1996.
6. Интернет-ресурсы easymath.com.ua/