Косинус и синус суммы и разности аргументов

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»


Презентация к уроку

Загрузить презентацию (783 кБ)


Цели урока:

  • Разработать и закрепить вывод формул для косинуса и синуса суммы и разности аргументов;
  • Способствовать формированию умений в применении нового и ранее изученного материала, при выполнении различных преобразований тригонометрических выражений;
  • Воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, доска, мел, указка.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент – 1 мин.

2. Устная работа – 3 мин.  (Слайды 3-5)

2.1.Упростить:

2.2. Вычислите:

б)  cos 60o + 2sin 30o + 1/2 tg260o – ctg 45o

2.3. Выразите тригонометрические функции через тригонометрические функции положительных углов меньших 90o:

sin100o;   cos70o;   tg165o;   cos(–215o);  sin(–70o);  tg (–130o)

3. Изучение нового материала – 13 мин. (Приложение 1)

3.1. Рассмотрим  ∆АВС (рис 1. Cлайд 6), ∟А = α;|AC| = b; |AB | = c, тогда S∆ABC = 1/2bc sinα

3.2. Рассмотрим произвольный  ∆АВС (рис. 2, слайд 7)

Проведем высоту AD; обозначим  ∟BAD = α, ∟DАC = β;  |AB| = c, |AC| = b

S∆ADB = 1/2 ch sinα
S∆ADC = 1/2 bh sinβ
S∆ABC = S∆ADC + S∆ADB, где S∆ABC = 1/2 bс sin (α + β)

получим: 1/2 bс sin (α + β) = 1/2 сh sinα + 1/2 bh sinβ, или bc sin(α + β) = ch sinα + bh sinβ

разделим обе части равенства на bc:

sin (α + β) = h/b sinα + h/c sin β, т.к. h/b = cosβ, h/c = cosα; то sin(α + β) = sinα · cosβ + cosα ·  sinβ

3.3. Заменив β на – β получим:  sin(α – β) = sinα · cosβ – cosα · sinβ

3.4. Формула косинуса суммы аргументов может быть выведена из полученной:

cos (α + β)= sin (90o – (α + β)) = sin ((90o – α) – β) = sin (90o – α) sinβ – cos (90o – α) sinβ = cosα · cosβ – sinα · sinβ

3.5. Используя скалярное произведение векторов, введем формулу косинуса  разности аргументов (рис. 3 слайд №8)

В плоскости XOY с единичным вектором  возьмем угол ( [0A) [0x)) = α и  ( [0С) [0у) ) = β


4. Закрепление нового материала – 20 мин.

4.1.  Работа у доски – 10 мин.

а) Вычислите:

cos 75o = (cos 45o + 30o) = cos 45o · cos30o – sin 45o · sin 30o =

б) Доказать, что:

sin ( + х) = – sinx
cos ( + х) = – cosx

Решение:

sin ( + х) = sin  · cosx + cos  · sinx = 0 · cosx + (– 1) · sinx = – sinx
cos ( + х) = cos  · cosx + sin  · sinx = (– 1) · cosx – 0 · sinx = – cosx

в) Вычислите: sin (x + y), если известно, что

sin x = 3/5,  0 < x < /2 ; cos y = – 3/5, <  y < 3 /2

Решение:

Oтвет: –1

4.2. Самостоятельная работа по вариантам – 10 мин.  (Приложение 2; слайд 10)

 

5. Практическое применение теорем сложения – (Приложение 3)

 

Задача №1  (рис.5 слайд № 11)

На практике часто приходиться двухфазный или трехфазный ток направлять в один проводник. При этом возникает, как показал опыт, "суммарный" переменный ток, мгновенная сила которого равна сумме мгновенных сил слагаемых токов. Точную величину амплитуды "суммарного" тока, его частоту и фазу смещения не найти, не рассмотрев предварительно свойств тригонометрических функций, связанных со сложением аргументов.
При частоте гармонического тока ν = 50 Гц его круговая частота равна 2 ν, т.е. 314 1/с. Если данный процесс происходит в единой ветви, то результирующий ток, например в фазе , будет складываться из токов: i1,  i2,  i3.

Задача №2 (рис. 6 слайд № 12)

При переходе светового луча из одной среды в другую происходит его преломление (рис.5), т.е. отклонение от первоначального направления, причем коэффициент преломления равен отношению  sin α1' sin α2  ,  где α1 – угол падения луча на границу сред, α2 – угол отклонения.При конструировании оптических приборов приходится решать задачи подобные следующей: как надо направить луч на границу двух сред, чтобы угол падения луча превышал угол преломления на данную величину?
Если  коэффициент преломления равен n, а угол падения больше угла преломления на αо, то отыскание искомого угла падения х сводится к решению уравнения sinx/sin(x – α) = n , которые нельзя решить без знания теорем сложения.

6.Домашнее задание – 1 мин. (Слайд 13)

Учебник А.Г. Мордкович: § 21 стр. 107 – 111

7. Подведение итогов урока – 2 мин.

– Какую тему изучили на уроке?
– Результаты самостоятельной работы (решение и ответы заранее подготовлены).
– Комментирование и выставление оценок.