Решение уравнений с параметром методом применения понятия пучка прямых на плоскости

Разделы: Математика


Образовательная цель: Совершенствовать навыки решения уравнений с параметром с помощью понятия «пучок прямых на плоскости».

Развивающая цель: Развить исследовательскую и познавательную деятельность учащихся.

Оборудование: Проектор, экран.

Ход урока

I. Оргмомент

Приветствие, объявление темы урока и его целей

II. Подготовка к основному этапу урока

Мотивация: Тема «Задачи с параметрами» занимает особое место в подготовке к вступительным экзаменам в вузы по математике. Решение таких задач развивает исследовательские умения и навыки, что позволяет абитуриентам выдержать конкурсные испытания в престижные вузы. Задачи с параметром каждый год предлагаются в наиболее трудной части С единого государственного экзамена. Поэтому для того, чтобы с ними справиться, нужна специальная подготовка по решению различных типов таких задач.

Актуализация опорных знаний:

1. Ответы учащихся на вопросы учителя по слайду 2

Вопросы:

  1. Каким одним уравнением можно задать эти прямые?
  2. Какие значения принимает параметр а?
  3. Приведите примеры.

Обобщение учителя: Уравнение у = ах есть уравнение данного пучка прямых.

Число а - параметр пучка, характеризующий направление

прямой. Точка (О;О) — центр пучка.

2. Выполнение задания по слайду 3

Задание учителя: Выполним последовательно параллельный перенос пучка прямых у = ах на 3 единицы вверх по оси Оу и затем параллельный перенос на 2 единицы вправо вдоль оси Ох.

Назовите центр пучка. Выведите уравнение нового пучка прямых.

Замечание учителя: Перепишем полученное уравнение: у - 3 = а (х -2). В таком виде легко сразу назвать центр пучка.

3. Выполнение упражнения: Среди данных уравнений найти уравнение пучка прямых и назвать его центр:

  1. у=аx2+4х-7;
  2. у=ах+1;
  3. у=аx3 -3;
  4. у=а +2;
  5. у=ах-3а-2.

4. Вывод учащихся: Уравнение пучка прямых, проx0дящих через точку (x0;уо), имеет вид:

у - уо = а (х- x0); (x0;уо) — центр пучка; параметр а угловой коэффициент конкретной прямой.

III. Усвоение новых знаний и способов действий

Слово учителя: Мы сегодня будем решать задачи с параметром, в которых надо найти значения параметра, при которых уравнение имеет заданное число корней. При этом применим понятие пучка прямых.

Решение задач

Задача 1 Найдите значения параметра а, при котором уравнение | x2 - 5х +6| = ах имеет ровно три корня.

Решение:

Рассмотрим систему:

у=|x2 -5х+6|
у=ах

Построим графики данных функций на одной координатной плоскости.

Уравнение у = ах - уравнение пучка прямых с центром в точке (0;0).

Работа по слайду 4: Ищем значения параметра а, при которых прямая из пучка у = ах пересекает график функции у =|x2 -5х+6| в 3-х точках. В динамике видно, что такой прямой будет прямая пучка, касающаяся графика в точке, абсцисса которой принадлежит промежутку [2 ; 3].

Выведем ее уравнение:

f(x0)= - x02 +5x0 - 6, f‘= - 2х+5.f‘(x0)= - 2x0 +5

Получим у = (5-2x0)х - x02 - 6

Так как эта прямая принадлежит пучку прямых у = ах, имеем x02 - 6 = 0.

Отсюда, x0 = ±,  є [2;3]. Тогда а = 5- 2.

Уравнение прямой имеет вид: у = (5 - 2) х.

Ответ: а = 5-2.

Задача 2 Найдите значения параметра а, при которых уравнение |3х +3| = ах +5 имеет единственное решение.

Решение:

Решим графически систему уравнении

y = |3х +3|          y = |3х +3|
у=ах+5   у-5=а(х-0)

Построим графики данных функций на одной координатной плоскости.

Работа по слайдам 5 и 6

Что представляет собой 2-е уравнение системы?

В чем состоит графический способ решения данной системы?

Из множества прямых пучка у - 5 = а (х - 0) выбрать те прямые, которые пересекают

график функции у =|3х +3 | в единственной точке и определить, при каких значениях параметра это происxодит.

Проследим за динамикой прямых пучка по слайду 6.

Определим границы: у = - 3х+5, у = 3х +5. Кроме этих прямых условию задачи удовлетворяют и прямые пучка «внутри» угла.

Ответ: а є (- ∞; - 3]U [3; +∞).

IV. Первичная проверка знания

Самостоятельная работа учащихся с последующей проверкой.

Задача 3 Определите значения параметра а, при которых уравнение |x2- 2х -3| = ах+1- а имеет три решения.

Проверка по образцу:

Показ слайдов 7 и 8.

Ответ: а = ± ½

V. Закрепление знаний и способов действий

Работа у доски учащегося

Задача 4. Исследовать количество решений уравнения |х| -3 =а (х-9) в зависимости от а.

Ответ: Уравнение

  • имеет 1 корень, если а є (- ∞; - 1] U (1;+ ∞) и а = ⅓
  • имеет два корня, если а є (-1; ⅓ );
  • не имеет корней, если а є (⅓; 1].

VI. Обобщение и систематизация знаний

Работа по задачам 1. 2, 3

Задание: Исследовать количество решений в зависимости от параметра а.

VII. Контроль и самопроверка знаний

Самостоятельная работа учащихся по вариантам

  1. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение х – а = 2| 2 |х| – а2 | имеет три различных корня.
  2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение |2х – а| + 1 = |х + 3| имеет единственное решение.

VIII. Подведение итогов занятия

IX. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

Приложение.