Примеры решения неравенств обобщенным методом интервалов

Разделы: Математика

Решение иррациональных неравенств.

Схемы решения иррациональных неравенств довольно сложны для запоминания. Поэтому некоторым учащимся будет легче применить обобщенный метод интервалов. Под словами область определения функции будем понимать естественную область определения.

Рассмотрим основную схему решения неравенства вида методом интервалов.

1. Привести неравенство к такому виду, где в левой части находится функция, а в правой части 0.

2. Найти область определения функции.

3. Найти нули функции

4. Изобразить на числовой прямой область определения и нули функции.

5. Определить знаки функции на полученных интервалах.

6. Выбрать интервалы, где функция принимает необходимые значения, и записать ответ.

Решить неравенство < х+1.

Решение.

1. Запишем неравенство в виде –х–1<0

2. Область определения функции у = –х–1найдем, решив неравенство > 0

Ею является объединение промежутков (-оо; -1] U [0; + оо)

3. Найдем нули функции –х–1

    –х–1=0

     

    x=1

Изобразим графически (рисунок 1):]

4. Знак функции у =–х–1определим подсчетом ее значения в точках х=–2, х=2; у(-2)>0, у(2)<0

Ответ: [0; + oo)

Решение комбинированных неравенств

А) Решить неравенство:>0

Решение. Данное неравенство равносильно системе

5. Областью определения функции у = является промежуток

      (-oo; +oo)

6. Найдем нули функции

7. Изобразим графически, учитывая (рисунок 2):

4) Исследуем знаки функции у= :

  1. у(1)>0,
  2. на остальных промежутках будет чередование знаков.

Ответ: (-oo; -8) U [;+ oo)

В) Решить неравенство:

(33• – 2• – 16) • (2х–3) < 0

1. Область определения функции

у = (33• – 2• – 16) • (2х–3) найдем, решив неравенство

2х-3>0

х >1,5

2. Найдем нули функции у = (33• – 2• – 16) • (2х–3)

(33• – 2• – 16) • (2х–3)=0     (1)

1) 33• – 2• – 16 =0

      Пусть = t, тогда 33t – 2 16=0

      =16

       = 0,5.

Вернувшись к х, получим =4, = -1.

2) (2х–3)=0

2х–3=1

х=2

Вернемся к системе:

 

 

3. Изобразим графически (рисунок 3):

4) Исследуем знаки функции у = (33• – 2• – 16) • (2х–3) на промежутках, учитывая, что (2х–3)>0:

  1. у(5)<0,
  2. у>0 на промежутке (2;4) в силу правила чередования знаков;
  3. у>0 на промежутке (1,5;2) в силу того, что х=2 – корень второй кратности уравнения (1) .

Ответ: ;+oo)

С) Решить неравенство: ( +)(–2х)<0

1. Область определения функции у = ( +)(–2х):

2. Найдем нули функции у = ( +)(–2х).

( +)(–2х)=0

Заметим, что +>0 .

–2х=0

=0, = 2.

3. Изобразим графически (рисунок 4):

4. Исследуем знаки функции у = ( +)(–2х) на промежутках, учитывая,

что +>0:

  1. у(-1) >0;
  2. множитель –2х) меняет знак в точках 0 и 2.

Ответ: ; U; .

D) Решить неравенство <1

1. Запишем неравенство в виде: <0

0

Данное неравенство равносильно неравенству

(

2. Областью определения функции

у = (

является промежуток (-oo; +oo)

3. Найдём нули функции у = (

 

1. =0

2–х=2х–3 или 2–х=–(2х–3)

=, = 1.

2.

=-2, = 1.

4. Изобразим графически (рисунок 5):

5. Исследуем знаки функции у = (на промежутках:

  1. у(-3)<0;
  2. у >0 на промежутке (-2;1) в силу правила чередования знаков;
  3. у >0 на промежутке (1; ) в силу того, что х=1 - корень второй кратности уравнения (2);
  4. у<0 на промежутке ( в силу правила чередования знаков;

Ответ: (-oo; -2) U +oo).

E) Решить неравенство: .>0 [1]

1. Данное неравенство равносильно системе

т.е.

2. Областью определения функции

у = является объединение промежутков [2;13)U(13;+oo)

3. Найдем нули функции у

=0:

4. Изобразим графически, учитывая х ( рисунок 6):

5. Исследуем знаки функции

у =на промежутках:

  1. у(3)>0;
  2. на остальных промежутках (4;13) U(13;15), , будет чередование знаков.

Ответ: [2;4)U[15;22).

F) Решить неравенство: <0 [2]

Данное неравенство равносильно неравенству

1. Область определения функции

у=

найдем, решив неравенство:

 

х-1>1

х>2

2. Найдем нули функции

у =· (3)

3. Изобразим графически (рисунок 7):

4. Исследуем знаки функции на промежутках:

  1. у(6)<0;
  2. у <0 на промежутке (4;5) в силу правила чередования знаков;
  3. у <0 на промежутке (3;4 ) в силу того, что х=4 - корень второй кратности уравнения (3);
  4. у>0 на промежутке ( в силу правила чередования знаков;

Ответ:(3;4)U(4;5)

Литература

  1. Тестовые задания для подготовки к ЕГЭ-2011 по математике. Под редакцией Е. А. Семенко, “Просвещение-Юг”, Краснодар, 2011.
  2. Математика. Всё для ЕГЭ 2011. Часть 1, Д. А. Мальцев. Москва, 2010.