Показательные уравнения. Подготовка к ЕГЭ

Тип урока: урок обобщения и комплексных применений знаний, умений и навыков по теме “Показательные уравнения и способы их решения”.

• Обучающие: повторить и систематизировать основной материал темы “Показательные уравнения, их решения”; закрепить способность к использованию соответствующих алгоритмов при решении показательных уравнений различных видов; подготовка к ЕГЭ.
• Развивающие: развивать логическое и ассоциативное мышление учащихся; способствовать развитию навыка самостоятельного применения знаний.
• Воспитательные: воспитывать целеустремленность, внимание и аккуратность при решении уравнений.

Оборудование: компьютер и мультимедийный проектор.

На уроке используются информационные технологии: методическое обеспечение к уроку – презентация в программе Microsoft Power Point.

I. Постановка цели урока (Слайд № 2)

На этом уроке подведём итог и обобщим тему “Показательные уравнения, их решения”. Познакомимся с типовыми заданиями ЕГЭ разных лет по данной теме.

Задачи на решение показательных уравнений могут встречаться в любой части заданий ЕГЭ. В части “В” обычно предлагают решить простейшие показательные уравнения. В части “С” можно встретить более сложные показательные уравнения, решение которых обычно является одним из этапов выполнения задания.

Например (Слайд № 3).

• ЕГЭ – 2007

В₄ – Найдите наибольшее значение выражения х • у, где (х; у) – решение системы:

• ЕГЭ – 2008

В₁– Решить уравнения:

а) х • 6^3х – 36 • 6^3х = 0;

б) 4^{х +1} + 8 • 4^х = 3.

• ЕГЭ – 2009

В₄ – Найдите значение выражения х + у, где (х; у) – решение системы:

В₃ – Решите уравнение: 7^{х – 2} = 49.

С₁ – Найдите корни уравнения: 4^{х2 + 3х – 2} - 0,5^{2х2 + 2х – 1} = 0.

С₃ – Решите систему уравнений:

II. Актуализация опорных знаний. Повторение (Слайды № 4 – 6 презентации к уроку)

На экран демонстрируется опорный конспект теоретического материала по теме.

Обсуждаются следующие вопросы:

1. Какие уравнения называются показательными?
2. Назвать основные способы их решения. Привести примеры их видов (Слайд № 4)

(Самостоятельно решить предлагаемые уравнения к каждому способу и выполнить самопроверку с помощью слайда)

3. Какую теорему используют при решении простейших показательных уравнений вида: а ^f(x) = a ^g(x)?
4. Какие ещё методы решения показательных уравнений существуют? (Слайд № 5)

• Метод разложения на множители (основан на свойствах степеней с одинаковыми основаниями, приём: выносится за скобку степень с наименьшим показателем).
• Приём деления (умножения) на показательное выражение, отличное от нуля, при решении однородных показательных уравнений.

• Совет: при решении показательных уравнений полезно сначала произвести преобразования, получив в обеих частях уравнения степени с одинаковыми основаниями.

5. Решение уравнений двумя последними методами с последующими комментариями

(Слайд № 6).

Пример. 4^{х + 1} – 2 • 4^{х – 2} = 124, 4^{х – 2} • (4³ - 2) = 124, 4^{х – 2} • 62 = 124,

4 ^{х – 2} = 2, 4 ^{х – 2} = 4 ^0,5, х – 2 = 0,5, х = 2,5.

Пример. 2 • 2^2х – 3 • 2^х • 5^х – 5 • 5^2х = 0¦: 5^2х 0,

2 • (2/5)^2х – 3 • (2/5) ^х - 5 = 0,

t = (2/5)^х, t > 0, 2t² - 3 t - 5 = 0, t = -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5)^х , х = ?...

III. Решение заданий ЕГЭ 2010

Учащиеся самостоятельно решают предлагаемые в начале урока на слайде № 3 задания, используя указания к решению, проверяют свой ход решения и ответы к ним с помощью презентации (Слайд № 7). В процессе работы обсуждаются варианты и способы решения, обращается внимание на возможные ошибки при решении.

В₃: а) 7^{х – 2} = 49, б) (1/6)^{12 – 7 х} = 36. Ответ: а) х = 4, б) х = 2.

С₁: 4^{х2 + 3х – 2} - 0,5^{2х2 + 2х – 1} = 0. (Можно заменить 0,5 = 4^{– 0,5})

Решение. ,

х² + 3х – 2 = -х² - 4х + 0,5 …

Ответ: х = -5/2, х = 1/2.

С₃: 5 • 5^tgy + 4 = 5^-tgy, при сos y < 0.

Указание к решению. 5 • 5^tgy + 4 = 5 ^-tgy ¦•5^tgy 0,

5 • 5^2gy + 4 • 5 ^tgy – 1 = 0. Пусть х = 5 ^tgy , …

5^tgy = -1 (?...), 5^tgy =1/5.

Так как tgy = -1 и сos y < 0, то у II координатной четверти

Ответ: у = 3/4 + 2k, k N.

IV. Совместная работа у доски

Рассматривается задание высокого уровня обученности – Слайд № 8. С помощью данного слайда происходит диалог учителя и учащихся, способствующий развитию решения.

С₅ – При каком параметре а уравнение 2^2х – 3 • 2^х + а² – 4а = 0 имеет два корня?

Пусть t = 2^х, где t > 0. Получаем t ² – 3t + (а² – 4а) = 0 .

1). Так как уравнение имеет два корня, то D > 0;

2). Так как t_1,2 > 0, то t₁ • t₂ > 0, то есть а² – 4а > 0 (?...).

Значит,

V. Проверочная работа (Слайд № 9)

Учащиеся выполняют проверочную работу на листочках, осуществляя самоконтроль и самооценку выполненной работы с помощью презентации, утверждаясь в теме. Самостоятельно определяют для себя программу регулирования и коррекции знаний по допущенным ошибкам в рабочих тетрадях. Листы с выполненной самостоятельной работой сдаются учителю на проверку.

Подчёркнутые номера – базового уровня, со звёздочкой – повышенной сложности.

Решение и ответы.

1. 0,3^{2х + 1} = 0,3^{– 2}, 2х + 1 = -2, х = -1,5.
2. (1; 1).

3. 2^{х – 1}(5 • 2 ⁴ - 4) = 19, 2^{х – 1} • 76 = 19, 2^{х – 1} = 1/4, 2^{х – 1} = 2 ^{– 2}, х – 1 = -2,

х = -1.

4*. 3 • 9^х = 2 • 3^х • 5^х + 5 • 25^х | : 25^х,

3 • (9/25)^х = 2 • (3/5)^х + 5,

3 • (9/27)^х = 2 • (3/5)^х + 5 = 0,

3 • (3/5)^2х – 2 • (3/5)^х - 5 = 0,…, (3/5) ^х = -1 (не подходит),

(3/5)^х = 5, х = -1.

VI. Задание на дом (Слайд № 10)

• Повторить § 11, 12.
• Из материалов ЕГЭ 2008 – 2010 г. выбрать задания по теме и решить их.
• Домашняя проверочная работа: