Важным и необходимым компонентом культуры мышления является логическая грамотность, т.е. владение определенным минимумом логических понятий и действий, составляющих азбуку логического мышления. Обучение логической грамоте и, более широко, привитие логической культуры происходит в основном на уроках математики. Это обусловлено спецификой математики как науки, в которой логические формы и отношения выступают в обнаженном, очищенном от всевозможных наслоений виде.
Изучая математику, школьники постоянно встречаются с такими логическими понятиями и действиями, как определение, классификация, логические связки, логические отношения, доказательство. Однако знакомство с логическими понятиями еще не обеспечивает логической грамотности, так же как и знание правил грамматики не всегда надежно предохраняет от ошибок в письменной и устной речи.
Обогатят ли приобретенные на уроках математики логические знания интеллектуальную культуру обучающихся, станут ли для них действенным инструментом мышления или же обременят их память бесполезным грузом, а то и вовсе забудутся – во многом зависит от учителя.
Логические связки “и”, “или” (конъюнкция и дизъюнкция)
С помощью слов “и”, “или”, “если …, то” и других, связывающих предложения, образуются новые предложения. Эти слова называют логическими связками. В математике логическим связкам придается точный смысл. Многие логические ошибки обучающихся являются результатом незнания точного смысла логических связок либо пренебрежением им.
Рассмотрим примеры характерных ошибок:
- Если
> 1, то
х > 1 и х < -1; 
ложно, т.к. 
равно 4, но не меньше 4.
В первом примере неуместна связка “и”;
вместо нее должно быть “или”. Во втором
примере ошибка заключается в неверном
утверждении о ложности предложения , а аргументация этого
утверждения показывает, что причиной ошибки
является непонимание смысла связки “или”.
В повседневной речи союзы “и” и “или” связывают отдельные слова либо предложения. В качестве логических связок эти союзы рассматриваются только применительно к предложениям и определяются следующим образом:
1) связка “и” в составных суждениях А и В всегда предполагает одновременную истинность составляющих суждений;
2) составное суждение А или В со связкой “или” считается истинным, если истинно хотя бы одно из составных суждений, и считается ложным, если ложны все его составляющие.
Определенные таким образом логические связки “и” и “или” становятся именами логических функций – конъюнкцией и дизъюнкцией соответственно, которые можно представить таблицами:
| А | В | А и В (конъюнкция | А | В | А или В (дизъюнкция) | |
| истинно | истинно | истинно | истинно | истинно | истинно | |
| истинно | ложно |
ложно | истинно | ложно | истинно | |
| ложно | истинно | ложно | ложно | истинно | истинно | |
| ложно | ложно | ложно | ложно | ложно | ложно |
Эти определения, равно как и термины “конъюнкция” и “дизъюнкция”, явно в школьном курсе не фигурируют, и вводить их специально едва ли целесообразно. Для того чтобы сформировать у обучающихся правильные представления о связках “и” и “или”, достаточно постепенно выявлять их смысл в связи с изучением программного материала.
Первый повод для выяснения связок “и” и “или”
дает изучение тем “Сравнение чисел” (5, 6 кл.),
“Сравнение значений выражений” (7 кл.). Здесь
уместно обратить внимание обучающихся на то, что
двойное неравенство есть не что иное, как
предложение, составленное из двух неравенств с
помощью союза “и”, а нестрогое неравенство
можно представить как предложение, составленное
с помощью союза “или”. Например, 3 < x < 7
можно записать как 3 < x и x < 7; х 
6 означает то
же, что и предложение x < 6 или х = 6.
После выяснения этих вопросов обучающимся можно предложить такие, например, упражнения:
- Верно ли, что число 0,5 удовлетворяет
неравенствам: а) x < 0,5; б) х
0,5; в) -1
х < 2; г) 0,5 < х 3? - Какие четные числа удовлетворяют неравенству 10 < x < 21?
- Какие числа, кратные 5, удовлетворяют
неравенству 3 < х
25?
При изображении множеств решений неравенств на
координатной прямой (8 кл.) можно показать
обучающимся, что открытый числовой отрезок,
соответствующий неравенству вида а < x
< b, является пересечением открытых
числовых лучей, соответствующих неравенствам а
< x и x < b, а числовой луч,
соответствующий неравенству х а (х b), есть объединение
множеств решений неравенства x < а (x
> b) и уравнения x = а (x = b).
Представления о соответствии между связками “и”
и “или”, с одной стороны, и пересечением и
объединением множеств – с другой, закрепляются
при выполнении более сложных упражнений на
решение неравенств с переменной под знаком
модуля, если выяснить предварительно, опираясь
на графические иллюстрации, что неравенство вида
< a можно
представить как сложное предложение x < а
и x > - а, а неравенство > a – как x > а
или x < - а.
К восприятию идеи связи конъюнкции и дизъюнкции предложений с переменными с пересечением и объединением множеств обучающихся можно подвести с помощью специальных упражнений, например:
1. Вставьте нужное слово (“и” и “или”):
а) 
тогда и
только тогда, когда 
… 
;
б) 
тогда и
только тогда, когда 
… 
.
2. Даны множества 
и 
. Запишите:
а) множество 
букв, принадлежащих множеству 
и множеству 
;
б) множество 
букв, принадлежащих множеству 
или множеству 
.
3. Запишите множество 
однозначных четных чисел. Выразите это
множество через множество 
однозначных чисел и множество 
четных чисел.
4. Запишите множество 
однозначных чисел, являющихся
нечетными или кратными трем. Выразите это
множество через множество однозначных нечетных чисел и
множество
однозначных чисел, кратных трем.
Дальнейшее развитие представления о конъюнкции естественным образом увязывается с изучением темы “Системы линейных уравнений с двумя переменными” (7 кл.). Здесь не говорится прямо, что систему уравнений можно рассматривать как предложение, составленное из данных предложений (уравнений) с помощью связки “и”; однако определение “Пара значений переменных, обращающая в истинное равенство каждое уравнение системы, называется решением системы уравнений с двумя переменными” предполагает именно такое толкование. В самом деле, утверждение “пара значений переменных обращает в истинное равенство каждое уравнение системы” равносильно утверждению “пара значений переменных обращает конъюнкцию уравнений системы в истинное высказывание”. Поэтому целесообразно сообщить обучающимся, что знак системы заменяет связку “и”, и систему уравнений можно рассматривать как сложное предложение с двумя переменными, истинное тогда и только тогда, когда все составляющие его предложения истинны. Тем самым уточнение смысла союза “и” будет произведено в естественной и органической связи с программным материалом. Графический способ решения систем еще раз проиллюстрирует связь между логической операцией “и” и операцией пересечения множеств.
Представление о дизъюнкции развивается в связи с применением разложения на множители к решению уравнений (7 кл.). Здесь следует еще раз подчеркнуть связь операции “или” с объединением множеств и обратить внимание обучающихся на неразделительный смысл, придаваемый связке “или”, которая рассматривается как синонимическая обороту “хотя бы одно из” (предложение “Хотя бы одно из чисел a и b равно нулю” отождествляется по смыслу с предложением “a = 0 или b = 0”).
Обучающимся можно предлагать разнообразные упражнения на применение определений конъюнкции и дизъюнкции, вкрапляя их в устный опрос и упражнения для повторения. Вот несколько примеров таких упражнений:
1. Какие из следующих высказываний истинны:
а) 2 – число четное и простое; б) 2 – число четное или простое;
в) 15 делится на 3 или на 4; г) 15 кратно 3 и 5; д)
?
2. Какие из следующих высказываний истинны, а какие ложны:
а) натуральное число n четно и число n + 1 четно;
б) натуральное число n четно или число n + 1 четно;
в) 
г) х 0 или х 0; д)
натуральное число n четно или нечетно?
3. Вставьте нужное слово (“и” либо “или”):
а) = 1 тогда
и только тогда, когда (
) x = 1 … x = -1;
б) < 1 
x > - 1 …
x < 1;
в) > 1 x < - 1 …
x > 1;
г) ab = 0 a
= 0 … b = 0;
д) ab 
0 a 0 … b 0;
е) 
a = 0 …
b 0;
ж) a2 + b2 = 0 a = 0 … b = 0;
з) 
(a > 0
… b > 0) … (a < 0 … b < 0).
Таким образом, обучающиеся уже в начале 8 класса
будут владеть достаточно общими и полными
знаниями об операциях “и” и “или”,
которыми смогут пользоваться далее на
протяжении всего курса алгебры. Выработанная
точка зрения на системы, как на сложные
предложения, образованные с помощью союза “и”,
позволит унифицировать подходы к решению систем
линейных неравенств с одной переменной в 8 классе
и систем уравнений с двумя переменными в 9 классе.
Для обучающихся станет естественным переход от
системы уравнений к дизъюнкции систем. Например,
решение системы 
будет выглядеть естественным и
понятным в записи: 
Ответ: (3;0), (0;1,5).
Логические связки “если …, то”
и “тогда и только тогда, когда”
(импликация и эквиваленция)
Кроме операций конъюнкции и дизъюнкции для составления сложных высказываний используются также операции импликации и эквиваленции.
Импликация известна обучающимся 7 класса как
“логическое следование” высказывания В из
высказывания А (обозначается А 
В). В русском языке А 
В обычно
означает “если А, то В” или “из А следует В”. Тот
же смысл имеют высказывания “А есть достаточное
условие для В”, “В есть необходимое условие для
А”. Высказывание А в импликации А В называют условием или
основанием, а высказывание В – следствием или
заключением. Очевидно, что из истинности А
следует истинность В, а из ложности В – ложность
А.
Эквиваленция (логическая равносильность) – это
операция над высказываниями А и В, при которой А В и В А. Обозначается:
АВ. В
словесной формулировке: “Если А, то В, и если В, то
А”, “А тогда и только тогда, когда В”, “А есть
необходимое и достаточное условие для В”.
Решение следующих упражнений поможет обучающимся лучше усвоить смысл и значение логических операций, т.е. поможет в развитии правильного мышления:
1. Какие из приведенных ниже высказываний верные:
а) если произведение двух натуральных чисел делится на 6, то хотя бы один из множителей делится на 6;
б) сумма двух нечетных чисел есть нечетное число;
в) не существует целого числа, куб которого оканчивался бы цифрой 2;
г) квадрат любого четного числа делится на 4;
д) если
=
, то a = b;
е) если a = b, то
ж) (a
з) (a + b
и)
;
к)
?
2. Напомним: условие называется достаточным, если из него вытекает заключение; условие называется необходимым, если оно вытекает из заключения. В каждом из следующих предложений вместо многоточия вставьте “необходимо”, “достаточно” или “необходимо и достаточно”:
а) для того, что бы сумма двух целых чисел была четным числом, …, чтобы каждое слагаемое было четным;
б) для того, чтобы число делилось на 15, …, чтобы оно делилось на 5;
в) для того, чтобы число делилось на 3, …, чтобы оно делилось на 6;
г) для того, чтобы число делилось на 10, …, чтобы оно делилось на 2 и на 5;
д) для того, чтобы сумма двух натуральных чисел была больше 30, …, чтобы хотя бы одно из слагаемых было больше 15;
е) для того, чтобы произведение (х-3)(х+2)(х-5) было равно 0, …, чтобы х = 3;
ж) для того, чтобы четырехугольник был прямоугольником, …, чтобы его диагонали были равны;
з) для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом, …, чтобы все его стороны были равны;
и) для того, чтобы параллелограмм был прямоугольником, …, чтобы его диагонали были равны.
Выяснение смысла и правил употребления логических связок представляется необходимым в целях повышения как математической, так и общей культуры мышления обучающихся. Неуточненность смысла логических связок часто приводит к ошибкам в рассуждениях. Привыкнув к однозначности и определенности употребления логических связок в математике, обучающиеся задумываются над их смыслом и в нематематических контекстах; тем самым воспитывается вдумчивое отношение к слову как средству выражения мысли.