Площадь поверхности сферы.

Рассмотрим сферу радиуса r с центром в точке O и описанный около нее многогранник, имеющий n граней. Занумируем грани в произвольном порядке и обозначим через Si площадь i-й грани (i=1, 2, ..., n). Соединим центр O сферы отрезками со всеми вершинами многогранника, получим n пирамид с общей вершиной O, основаниями которых являются грани многогранника, а высотами - радиусы сферы, проведенные в точки касания граней многогранника со сферой. Следовательно, объем i-й пирамиды равен ·Sir, а объем Vn всего описанного многогранника равен:
Vn=,
где Pn= - площадь поверхности многогранника. Отсюда получаем Pn=.
Будем теперь неограниченно увеличивать n таким образом, чтобы наибольший размер каждой грани описанного многогранника стремился к нулю. При этом объем Vn описанного многогранника будет стремиться к объему сферы. В самом деле, если наибольший размер каждой грани описанного многогранника не превосходит , то описанный многогранник содержит в сфере радиуса r+ с центром в точке O. С другой стороны, описанный многогранник содержит исходную сферу радиусом r. Поэтому πr3 < Vn < π(r+)3.
Так как π(r+)3πr3 при , то и Vnπr3 при ().
Переходя затем к пределу в равенстве Pn=, получаем
Pn==Vn=πr3=4πr2.
По определению площади сферы S=Pn, следовательно,
S=4πr2.
Площадь сферического сегмента равна S=2πrh, где r-радиус сферы, а h-высота. Площадь сферического пояса равна произведению длины окружности большого круга на высоту пояса.
Назад