Решение задачи №7.
1) Пусть O1 и O2 - центры меньших шаров, O3 - центр большого шара, а O - центр шара, радиус которого нужно определить.
Спроектируем точки O1, O2, O3 и O на плоскость. Треугольник P1P2P3 равнобедренный и точка лежит на его медиане и высоте.
2) Обозначим радиус OP=x. Отложим на O3P3=R отрезок BP3=r и CP3=x. Треугольники O1O2B и P1P2P3 равны, как основания призмы.
3) Из треугольника O3AO2 находим AO32=O2O32+AO22=(R+r)2-r2=R2+2Rr;
Из треугольника O3AB находим AB2=AO32-O3B2=R2+2Rr-(R-r)2=4Rr-r2;
Так как DP3=AB,то DP32=4Rr-r2.
Так как OO3=R+x и O3C=R-x, то P3P2=CO2=OO32-O3C2=(R+x)2-(R-x)2=4Rx;
P1P2=EO2=O1O2-O1E2=(r+x)2-(r-x)2=4rx;
В треугольнике P1DP катет P1D=r, а катет DP=DP3-P3P=
-
.
По теореме пифагора P1P2=P1D2+DP2, то есть 4rx=r2+4Rr-r2-4
+4Rx, или
(R-r)x-
+Rr=0.
Решая это уравнение, находим
.
Хотя правая часть в обоих случаях положительна, нужно взять только знак минус, так как второе значение для
оказывается больше
, что невозможно.
Значит x=
.
Ответ:
.
Назад