Объем конуса.

Теорема:
Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Доказательство:
Рассмотрим конус с объемом V, радиусом основания r1, высотой h и вершиной в точке O. Введем ось Ox так, как показано на рисунке. Произвольное сечение конуса плоскостью, перпендикулярной к оси Ox, является кругом с центром в точке M пересечения этой плоскости с осью Ox. Обозначим радиус этого круга через r, а площадь сечения через S(x), где x - абсцисса точки M. Из подобия треугольников OMA и OM1A1 следует, что
, или ,
откуда r=x. Так как S(x)=πr2, то
S(x)=x2.
Применяя основную формулу для вычисления объемов тел, получаем
V=.
Площадь S основания конуса равна πr12, поэтому V=Sh. Теорема доказана.

Следствие:
Объем усеченного конуса, высота которого равна h, а площади оснований S и S1, вычисляется по формуле:
V=h(S+S1+).
Назад