Решение задачи №8.

1) Рассмотрим треугольник DOB, где DO=r (r - радиус вписанного шара);
угол DBO=α ; отсюда DB=rctgα.
2) Из треугольника DSB: SB=l= (угол DBS=2α).
3) Тогда полная поверхность конуса будет равна Sпк=πR(R+l)=πrctgα(rctgα+). После преобразований получаем, что Sпк=πr2ctg2α(1+).
4) Так как Sш=4πr2 и по условию Sпк=2Sш, то после сокращения на πr2 и некоторых преобразований приходим к тригонометрическому уравнению =8tg2α. Выразив tg2α через cos2α, получаем =8, откуда cos2α=.
5) Найдем теперь отношение объемов.
Vк=πR2h; Из треугольника DBS: h=rctgαtg2α ; значит
Vк=πr3ctg3αtg2α ; Vш=πr3.
Преобразуем выражение ctg3αtg2α, учитывая, что cos2α=:
ctg3αtg2α=ctg2αctgα
6) Следовательно Vк=2Vш, то есть отношение объема конуса к объему шара равно 2.
Ответ: 2.

Назад