Касательная плоскость к сфере

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы. Плоскость a - касательная к сфере с центром O, A - точка касания. Касательная плоскость к сфере обладает свойством, оно выражено теоремой:
Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендекулярен к касательной плоскости.
Докажем эту теорему: Рассмотрим плоскость a, касающуюся сферы с центром O в точке A. Докажем, что радиус OA перпендекулярен к плоскости a.
Предположим, что это не так. Тогда радиус OA является наклонной к плоскости a, и, следовательно, расстояние от центра сферы до плоскости a меньше радиуса сферы. Поэтому сфера и плоскость пересекаются по окружности. Но это противоречит тому, что плоскость a - касательная, т.е. сфера и плоскость a имеют только одну общую точку. Полученное противоречие доказывает, что радиус OA перпендикулярен к плоскости a.
Теорема доказана.
Докажем обратную теорему: Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.
Доказательство: Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра сферы к данной плоскости. Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, и, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Это и означает, что данная плоскость является касательной к сфере. Теорема доказана.
Назад