Площадь поверхности сферы.
Рассмотрим сферу радиуса r с центром в точке O и описанный около нее многогранник, имеющий n граней.
Занумируем грани в произвольном порядке и обозначим через Si площадь i-й грани (i=1, 2, ..., n).
Соединим центр O сферы отрезками со всеми вершинами многогранника, получим n пирамид с общей вершиной O, основаниями которых являются грани многогранника, а высотами - радиусы сферы, проведенные в точки касания граней многогранника со сферой.
Следовательно, объем i-й пирамиды равен
·Sir, а объем Vn всего описанного многогранника равен:
Vn=
,
где Pn=
- площадь поверхности многогранника. Отсюда получаем Pn=
.
Будем теперь неограниченно увеличивать n таким образом, чтобы наибольший размер каждой грани описанного многогранника стремился к нулю.
При этом объем Vn описанного многогранника будет стремиться к объему сферы. В самом деле, если наибольший размер каждой грани описанного многогранника не превосходит
, то описанный многогранник содержит в сфере радиуса r+
с центром в точке O.
С другой стороны, описанный многогранник содержит исходную сферу радиусом r. Поэтому
πr3 < Vn <
π(r+
)3.
Так как
π(r+
)3
πr3
при
, то и Vn
πr3
при
(
).
Переходя затем к пределу в равенстве Pn=
, получаем
Pn=
=
Vn=
πr3=4πr2.
По определению площади сферы S=
Pn, следовательно,
S=4πr2.
Площадь сферического сегмента равна S=2πrh, где r-радиус сферы, а h-высота. Площадь сферического пояса равна произведению длины окружности большого круга на высоту пояса.
Назад