Усеченный конуса.
Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между основанием и плоскостью, параллельной основанию.
Часть конической поверхности, ограничевающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью.
Отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаниями, называются образующими усеченного конуса.
Часть высоты полного конуса, заключенного между основаниями усеченного конуса, называется высотой усеченного конуса.
Выразим площадь Sбок боковой поверхности усеченного конуса через его образующую l и радиусы r и r1 оснований (r>r1).
Пусть P-вершина конуса, из которого получен усеченный конус, AA1-одна из образующих усеченного конуса, O и O1-центры оснований.
Используя формулу боковой поверхности конуса, получим:
Sбок=πr·PA-πr1·PA1=πr(PA1+AA1)-πr1·PA1.
Отсюда, учитывая, что AA1=l, находим
Sбок=πrl+π(r-r1)PA1.
Выразим PA1 через l, r и r1. Прямоугольные треугольники PO1A1 и POA подобны, так как имеют общий острый угол P, поэтому
, или
.
Отсюда получаем, что PA1= .
Далее получаем, что Sбок=π(r+r1)l.
Таким образом, Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.
Следствие: Sполн=πl(r+r1)+π(r2+r12).