Объем сферы.

Теорема:
Объем шара радиуса r равен · πr3

Доказательство:
Рассмотрим шар радиусом r с центром в точке O и выберем ось Ox произвольным образом. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ox и проходящей через точку M этой оси, является кругом с центром в точке M. Обозначим радиус этго круга через r1, а его площадь через S(x), где x - абсцисса точки M. Выразим S(x) через x и r. Из прямоугольного треугольника OMC находим
r1=
Так как S(x)=πr12, то S(x)=π(r2-x2).
Заметим, что эта формула верна для любого положения точки M на диаметре AB, то есть для всех x, удовлетворяющих условию -r<=x<=r. Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при a=-r, b=r, получим
V=.
Теорема доказана.
Назад