Решение задачи №8.
1) Рассмотрим треугольник DOB, где DO=r (r - радиус вписанного шара);
угол DBO=α ; отсюда DB=rctgα.
2) Из треугольника DSB: SB=l=
(угол DBS=2α).
3) Тогда полная поверхность конуса будет равна Sпк=πR(R+l)=πrctgα(rctgα+
).
После преобразований получаем, что Sпк=πr2ctg2α(1+
).
4) Так как Sш=4πr2 и по условию Sпк=2Sш, то после сокращения на πr2 и некоторых преобразований приходим к тригонометрическому уравнению
=8tg2α. Выразив tg2α через cos2α, получаем
=8
, откуда cos2α=
.
5) Найдем теперь отношение объемов.
Vк=
πR2h; Из треугольника DBS: h=rctgαtg2α ; значит
Vк=
πr3ctg3αtg2α ;
Vш=
πr3.
Преобразуем выражение ctg3αtg2α, учитывая, что cos2α=
:
ctg3αtg2α=ctg2αctgα
6) Следовательно Vк=2Vш, то есть отношение объема конуса к объему шара равно 2.
Ответ: 2.
Назад