Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения

Цели урока: познакомить учащихся с общим видом квадратного уравнения, понятием неполного квадратного уравнения и способами их решения, показать, что источником возникновения квадратных уравнений является реальный мир, что эти уравнения возникли из практических потребностей людей.

Ход урока

I. Повторение пройденного материала.

Сегодняшний урок посвящен изучению квадратных уравнений. Ответьте ребята мне на следующие вопросы:

• Что такое уравнение?
• Что значит «решить уравнение»?
• Что называется корнем уравнения?
• А как вы думаете, когда появились квадратные уравнения?

На этот вопрос нам поможет ответить один из учащихся класса (подготовленная историческая справка).

II. Объяснение нового материала. Историческая справка.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а так же с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются квадратные уравнения вида:

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонянских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

В Древней Индии уже в 499 году были распространены публичные соревнования в решении трудных задач на составление квадратных уравнений. Одной из таких задач является задача знаменитого индийского математика Бхаскары:

Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекаясь,
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.
А двенадцать по лианам
Стали прыгать, повисая.
Сколько было обезьянок
Ты скажи мне в этой стае?

Ребята! Составим уравнение к этой задаче.

Если за х взять число обезьянок в стае, то уравнение будет выглядеть так:

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 году итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду , было сформулировано в Европе лишь в 1544 году Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни.

Лишь в 17 веке благодаря трудам Рене Декарта, Исаака Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Так вот, хотя квадратные уравнения возникли еще 2000 лет до нашей эры, но и сегодня решение квадратных уравнений актуально. Так, решая задачи по геометрии или физике, мы приходим к необходимости решения квадратных уравнений.

Задача 1.

Дан прямоугольный равнобедренный треугольник, у которого длина гипотенузы равна 50. Чему равна длина катета?

Посмотрите на рисунок на слайде:

Решение:

Пусть х – длина катета, тогда по теореме Пифагора:

 Если подставить значения сторон треугольника в данное равенство, получим уравнение:

.

Задача 2.

Дан слиток серебра формы прямоугольного параллелепипеда, в основании которого квадрат. Масса слитка – m, ρ – плотность, h – высота. Найти сторону основания.

Посмотрите на рисунок на слайде:

Давайте попробуем составить уравнение.

Для этого вспомним: чему равна масса тела?

Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда?  

По условию задачи основанием прямоугольного параллелепипеда является квадрат. Пусть сторона квадрата х, тогда объем

Составим уравнение: .

Все эти уравнения являются квадратными. Так, что же такое квадратное уравнение?

Определение 1: Уравнение вида , где  - некоторые числа,  - переменная, называется квадратным уравнением или уравнением второй степени.

Ребята! А почему число ?

Правильно, если , то уравнение принимает вид . А это линейное уравнение.

А если числа будут равны нулю, будет ли уравнение квадратным?

Правильно, будет.

Числа  - коэффициенты квадратного уравнения.

Посмотрите на слайд и назовите из написанных уравнений квадратные.

В названных вами уравнениях назовите коэффициенты .

Определение 2: Те квадратные уравнения, в которых коэффициенты  равны нулю, называются неполными квадратными уравнениями.

А теперь рассмотрим методы решения неполных квадратных уравнений.

Возможные варианты:

Посмотрите на слайд:

Уравнения 1 типа:

.

Уравнение (1) примет вид: .

.

Всегда ли это уравнение имеет корни? Конечно, все зависит от знаков коэффициентов .

• Если  одного знака, то уравнение действительных корней не имеет.
• Если  разного знака, то уравнение имеет два корня, которые равны по модулю, но противоположны по знаку:
  .

Уравнения 2 типа:

.

Уравнение (1) примет вид: .

Как можно решить такое уравнение?

Правильно, разложить на множители.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому данное уравнение равносильно следующей совокупности уравнений:

Уравнение имеет два корня, один из которых равен нулю.

Уравнения 3типа:

Уравнение примет вид: . Это уравнение имеет единственный корень .

Рассмотрим решение неполных квадратных уравнений на следующих примерах:

Пример 1.

Решите уравнение

Решение:

Ответ: 0, 1.

Пример 2.

Решите уравнение

Решение:

Данное уравнение корней не имеет, так как  одного знака.

Ответ: корней нет.

Пример 3.

Решите уравнение

Решение:

Ответ: 0.

III. Отработка умений и навыков учащихся.

А теперь, ребята, решим несколько уравнений устно.

Устные упражнения на слайде.

2.

3.

4.

5.

6.

Письменно решим следующие уравнения (по рядам):

Проверим полученные результаты.

А теперь, ребята, прейдем к решению более сложных уравнений. Такими являются уравнения с параметром. Какие уравнения называются уравнениями с параметром?

Галицкий № 5.10(в).

При каких значениях m ровно один из корней уравнения

равен нулю?

Решение.

 будет иметь ровно один корень, равный нулю, если выполняются следующие условия: .

Итак, для данного уравнения составим следующую систему условий и решим ее.

Следовательно, при  уравнение будет иметь ровно один корень, равный нулю.

Ответ: .

IV. Подведение итогов урока.

На сегодняшнем уроке мы с вами познакомились с понятиями: квадратное уравнение, неполные квадратные уравнения и научились решать неполные квадратные уравнения.

V. Объявление оценок, полученных за урок.

VI. Домашнее задание с комментариями: Макарычев п. 19 № 511, Галицкий № 5.11(а).